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ブレーズ・パスカルの生涯

年表 16236 月 19 日、フランスのオーヴェルニュ地方のクレルモンに生まれる。 1626母アントワネット・ベゴンが亡くなる。ブレーズは 3 歳。 1631父エティエンヌ・パスカルが三人の子どもを連れてパリへ移る。 163512 歳で、三角形の内角の和が二直角に等しいことを独力で再発見する。 164016 歳で『円錐曲線試論』を発表。六角形の定理が含まれていた。 1642ルーアンで徴税官をしていた父を助けるため、計算機の製作を始める。 1647『真空に関する新実験』を発表。デカルトが訪ねてくる。 1648義兄フロラン・ペリエがピュイ・ド・ドームに登り、空気の重さを測る。 1654賭けの問題についてフェルマーと手紙を交わし、『算術三角形論』を書く。11 月 23 日に「火の夜」を体験する。 1656偽名で『プロヴァンシアル』の刊行を始める。 1658サイクロイドの問題を解き、それについての懸賞を出す。 1662パリで乗合馬車の路線を開く。8 月 19 日、39 歳で亡くなる。 1670友人たちが、彼のメモをまとめた『パンセ』を出版する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1623–1631 クレルモンオーヴェルニュのクレルモンに生まれる。三歳で母を亡くす。 1631–1639 パリ父が家で教育し、メルセンヌの集まりに連れて行く。16 歳で『円錐曲線試論』を書く。 1640–1647 ルーアン父はノルマンディーの徴税官。父を助けるためにブレーズはパスカリーヌを作り、真空の実験を行う。 1648 ピュイ・ド・ドームパスカルに頼まれ、義兄フロラン・ペリエが気圧計を持って山に登り、山頂では空気が軽いことを示す。 1647–1662 パリ賭けについてのフェルマーとの往復書簡、火の夜、『プロヴァンシアル』、サイクロイド、乗合馬車。1662 年、39 歳で亡くなる。 1655 ポール・ロワイヤル・デ・シャン火の夜のあと、妹ジャクリーヌのいる修道院にたびたび滞在し、イエズス会に対してポール・ロワイヤルを擁護する。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 クレルモン、パリ、ルーアンを行き来したパスカルと、空気の重さを量った山。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1623–1631 · クレルモン1631–1639 · パリ1640–1647 · ルーアン1648 · ピュイ・ド・ドーム1647–1662 · パリ1655 · ポール・ロワイヤル・デ・シャン クレルモン、パリ、ルーアンを行き来したパスカルと、空気の重さを量った山。 ブレーズ・パスカルの肖像。作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ所蔵。彼の死後に描かれた複製です。作者不詳 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 幾何学の本を隠した父 ブレーズ・パスカルは 1623 年、フランス中部のクレルモンで生まれました。3 歳のときに母が亡くなり、数学好きの裁判官だった父エティエンヌは、ジルベルト、ブレーズ、ジャクリーヌの三人の子どもを自分で教育することにしました。1631 年、一家はパリに移ります。

October 11, 2026 読んだ
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パスカルの三角形：足し算で組み立てる

$1$ を一つ書きます。その下に $1$ を二つ。そこから先は、どの行も $1$ で始まり $1$ で終わり、あいだの数はそれぞれすぐ上にある二つの数の和です。 $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$これだけです。子どもが一分で覚えられる規則から、数学で最も豊かな表の一つが生まれます。今日これはパスカルの三角形と呼ばれていますが、パスカルはこれを見つけた最後の一人のようなものでした。 持ち主がたくさんいる三角形 インドでは紀元前 2 世紀ごろ、詩人ピンガラが詩の一行で長い音節と短い音節を組み合わせる方法の数を数え、同じ数にたどり着きました。10 世紀には注釈者ハラーユダがこの表を描き、メール・プラスターラ、「メール山の階段」と呼びました。 バグダードでは西暦 1000 年ごろ、カラジーがこの三角形を使って $(a+b)^5$ のような累乗を展開しました。彼の本は失われましたが、一世紀半後の 1150 年ごろ、サマウアルが表と推論を書き写し、カラジーの功績だと記しました。ペルシアでは、この三角形は詩人で数学者のウマル・ハイヤームとも結びつけられています。 中国では、賈憲が 1050 年ごろ、これを開平・開立に使っていました。楊輝が 1261 年に書物に載せ、朱世傑は 1303 年の『四元玉鑑』に算木で数を記した図を描きました。 朱世傑の 1303 年の書物にある三角形。中国では楊輝の三角形と呼ばれます。朱世傑『四元玉鑑』（1303） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ヨーロッパでは、1527 年にペトルス・アピアヌスの算術書の表紙に印刷されたのが最初です。その後、1544 年にミヒャエル・シュティーフェル、1556 年にニコロ・タルタリアが使いました。今でもイタリアではタルタリアの三角形、イランではハイヤームの三角形、中国では楊輝の三角形と呼ばれています。 パスカルの論文 1654 年、フェルマーと賭けについて議論していたころ、パスカルは『算術三角形論』を書きました。フランス語版とラテン語版があり、次のように始まります。 算術三角形は次のように作る。任意の点 Z から、互いに垂直な二本の直線 ZL と ZT を引き、それぞれの上に好きなだけ等しい部分を印す。 — ブレーズ・パスカル『算術三角形』（1654） 論文のラテン語版の最初のページ。知られている唯一の一冊で、パスカルの故郷クレルモン＝フェランに保管されています。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 パスカルの三角形は、実は階段の形をしたマス目の表でした。彼は一つひとつのマスをセル、行を平行列、列を垂直列、斜めの並びを底と呼びました。各セルは、上のセルと左のセルの和になっています。今日私たちが使う規則と同じで、ただ向きが回っているだけです。

October 11, 2026 読んだ
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組合せ：書き出さずに数える

ブラジルの宝くじ「メガセナ」では、60 個の数から 6 個を選びます。異なる選び方は何通りあるでしょうか。全部書き出していたら一生かかります。五千万通り以上あるのです。でも書き出さずに数えることはできますし、パスカルがその方法を示しました。 順番を気にせずに選ぶ 小さな例から始めましょう。5 人のグループから委員を 2 人選ぶ方法は何通りでしょうか。 順番が問題になるなら、1 人目は $5$ 通り、2 人目は $4$ 通りで、$5\cdot4=20$ 通りです。でも委員会では「アナとブルーノ」も「ブルーノとアナ」も同じなので、どの組も二回ずつ数えられています。委員会は $20/2=10$ 通りです。 一般に、$n$ 個のものから順番を気にせず $k$ 個を選ぶ方法の数は $$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$です。ここで $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$ です。「$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの数」と読みます。委員会の場合は $\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$ です。 なぜ三角形の数になるのか パスカルは、$\binom nk$ がちょうど算術三角形の数 $C(n,k)$ であることに気づきました。理由は同じ足し算の規則です。 グループの中から一人、たとえばアナを選んでおきます。$n$ 人から選んだ $k$ 人の委員会は、アナを含むか、含まないかのどちらかです。含むなら、残りの $n-1$ 人から $k-1$ 人を選べばよく、含まないなら、$k$ 人全員が残りの $n-1$ 人から選ばれます。したがって $$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$これはまさに三角形の規則です。どちらも端は同じ $1$ で始まり、同じ規則に従うので、同じ表になります。 メガセナ これで大きな計算も簡単です。 $$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$一口の当選確率は五千万分の一あまりです。毎週一口ずつ買っても、当たるまでに平均で百万年近く待つことになります。 和の累乗 同じ考え方で、三角形のもう一つの登場の仕方も説明できます。 $$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$を展開すると、結果の各項は、三つのかっこのそれぞれから $a$ か $b$ を一つずつ選んでできます。$a^2b$ を得るには、三つのうちちょうど一つのかっこで $b$ を選べばよく、その選び方は $\binom31=3$ 通りです。だから $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$となり、一般には $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$です。$a=b=1$ とすると左辺は $2^n$ になり、またしても $n$ 行目の和です。この公式は指数が整数のときに成り立ちます。十年後、ニュートンは指数が分数のときどうなるかを発見しました。一般化された二項式を見てください。

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シュヴァリエ・ド・メレのサイコロと公平な分配

シュヴァリエ・ド・メレと名乗っていたアントワーヌ・ゴンボーは、フランス宮廷の文筆家で、熱心な賭博師でもありました。1654 年ごろ、彼はパスカルに賭けについての問いを二つ持ち込みました。パスカルはその問いがとても良いと思い、ピエール・ド・フェルマーに手紙を書きました。確率論はその手紙のやりとりから生まれたのです。 この友人について、パスカルはフェルマーにこう書いています。 彼はとても頭がよいのですが、幾何学者ではありません。それは、ご存じのとおり、大きな欠点です。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1654 年 7 月 29 日） 第一の問題：6 の目と 6 のぞろ目 ド・メレは得をする賭け方を知っていました。サイコロを一つ 4 回振り、少なくとも一回 6 が出るほうに賭けるのです。彼は負けるより勝つほうが多かったのです。 そこで彼はこう考えました。サイコロ二つで 6 のぞろ目が出るのは、サイコロ一つで 6 が出るより 6 倍まれだ。それなら 6 倍多く振れば埋め合わせられる。$4\cdot6=24$ 回です。「サイコロ二つを 24 回振って、少なくとも一回 6 のぞろ目が出る」という賭けは、最初の賭けと同じくらい有利なはずだ、と。 そうはなりませんでした。ド・メレはお金を失い、その理由がわかりませんでした。 正しい計算は、反対の出来事から考えます。サイコロ一つで 6 が出ない確率は $\frac56$ です。独立に 4 回振って一度も 6 が出ない確率は $\left(\frac56\right)^4$ です。したがって $$P(\text{4 回で少なくとも一回 6})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$サイコロ二つの出方は $36$ 通りで、6 のぞろ目はそのうち一つだけです。一回振って 6 のぞろ目が出ない確率は $\frac{35}{36}$ です。 $$P(\text{24 回で少なくとも一回 6 のぞろ目})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$最初の賭けは 51.8% の割合で勝ち、二つ目は 49.1% しか勝てません。ド・メレの比例の規則はもっともらしく見えましたが、確率はそのようには足し算できないのです。25 回振れば、確率はようやく半分を超えます。$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$ です。 賭けているだけで気づけるか？ ほとんど無理です。49.1% と 50% の差はとても小さく、確実に気づくには何千回も賭ける必要があります。そのため歴史家たちは、ド・メレが疑ったのは財布ではなく計算のほうだったと考えています。正しいと信じていた二つの規則が違う答えを出したので、どちらが間違っているのかを知りたかったのです。

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パスカリーヌ：歯車でする足し算

1640 年、エティエンヌ・パスカルはノルマンディーの徴税官に任命されました。夜遅くまで数字の列を何本も足していく仕事で、17 歳だった息子のブレーズも手伝いました。さらに厄介なことに、当時のフランスの通貨は十進法ではありませんでした。 $$1\ \text{リーヴル}=20\ \text{ソル},\qquad 1\ \text{ソル}=12\ \text{ドゥニエ}.$$$3$ リーヴル $15$ ソル $8$ ドゥニエと、$2$ リーヴル $7$ ソル $9$ ドゥニエを足すには、三種類の繰り上がりが必要です。 ドゥニエ：$8+9=17$、つまり $1$ ソル $5$ ドゥニエ。 ソル：$15+7+1=23$、つまり $1$ リーヴル $3$ ソル。 リーヴル：$3+2+1=6$。 答えは $6$ リーヴル $3$ ソル $5$ ドゥニエです。これを一晩に千回もやれば、必ず間違えます。1642 年、ブレーズは間違えない機械を作り始めました。 数を数える歯車 パスカリーヌの仕組みは単純です。数の各桁に、$0$ から $9$ までの数字がついた歯車が一つずつあります。$7$ を足すには、$7$ の穴に針を差し込み、止め金に当たるまで歯車を回します。数は小さな窓に表示されます。 パリの工芸博物館にある、六つの歯車をもつ十進法のパスカリーヌ。お金の計算用のものには、ソルとドゥニエのための 20 目盛りと 12 目盛りの歯車もありました。David Monniaux、2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 難しいのは繰り上がりです。一の位の歯車が $9$ から $0$ に変わるとき、十の位の歯車はひとりでに一目盛り進まなければなりません。しかも、それが次々に伝わることがあります。 $$999+1=1000.$$ここでは、一の位の歯車を一回回すだけで、四つの歯車を同時に動かさなければなりません。力がすべて回す人の指から来るのでは、歯車が動かなくなってしまいます。

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神秘の六角形：円錐曲線上の六つの点

1640 年 2 月、片面だけに印刷された、ポスターのような一枚の紙がパリで出回りました。題は『円錐曲線試論』。証明はなく、定義と三つの補題、そして結果の一覧だけが載っていました。著者は 16 歳で、名前はブレーズ・パスカルといいました。 メルセンヌ神父がこの紙をデカルトに見せると、デカルトは疑いました。この若者は、パスカルが敬愛していた建築家で幾何学者のジラール・デザルグから、すべてを借りてきたのだろうと考えたのです。デザルグの影響は確かにあり、パスカル自身もそれを認めていました。しかし、この紙の中心にある結果は新しいものでした。 円錐曲線 円錐を平面で切ってみましょう。傾きによって、切り口のふちは楕円、放物線、双曲線のいずれかになります。円は楕円の特別な場合です。これらの曲線、円錐曲線は、紀元前 3 世紀のアポロニオスの時代から研究されてきました。 デザルグは、この分野を変える発想をもっていました。円錐曲線を円の影として見るのです。懐中電灯で円を照らすと、壁に映る影は楕円にも放物線にも双曲線にもなります。ですから、円の性質のうち、距離や角度を測らずに点と直線だけで語れるものは、影の中でも生き残り、すべての円錐曲線について成り立ちます。これが射影幾何学の考え方です。 六角形の定理 円錐曲線上に六つの点 $A,B,C,D,E,F$ をこの順にとり、結んで六角形を作ります。向かい合う辺は $AB$ と $DE$、$BC$ と $EF$、$CD$ と $FA$ です。それぞれの組を交わるまで延ばします。 $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$パスカルの定理によれば、三点 $P$、$Q$、$R$ はいつも一直線上にあります。 六つの点は曲線上でどんな順番に並んでいてもよく、六角形は自分自身と交差していてもかまいません。向かい合う二辺が平行なら、それらは「無限遠点」で交わり、直線はそれらと平行になります。パスカルはこの図形を神秘の六角形と呼びました。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 四百の系 メルセンヌによれば、パスカルはこのたった一つの定理から約四百の系を導き、その中にはアポロニオスの円錐曲線論のほとんどすべてが含まれていました。彼は 1654 年ごろ、完全な論文を書き上げました。1676 年、ライプニッツはパリでその原稿を読み、すばらしいと考えて一家に出版を勧めました。しかし誰も出版せず、論文は失われてしまいました。 放物線で確かめる 計算で定理を確かめてみましょう。放物線 $y=x^2$ 上に、$x$ 座標が $0,1,2,3,4,7$ の六つの点をとります。 $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$まず近道を一つ。放物線上の $x$ 座標が $u$ と $v$ の二点を通る直線は $$y=(u+v)x-uv.$$です。実際、$x=u$ では $u^2+uv-uv=u^2$、$x=v$ では $v^2$ になります。では三つの交点を計算しましょう。

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サイクロイド：歯痛の曲線

自転車のタイヤに点を一つ描き、まっすぐに押して進んでみましょう。点は上がっていき、アーチを描いて、また下りてきて地面に触れます。車輪が一回転するごとにこれをくり返します。この点が描く曲線をサイクロイドといいます。 17 世紀には、これが流行の曲線でした。フランス人は ルレット と呼びました。あまりに多くの数学者がこの曲線についての発見をめぐって争ったので、あだ名までつきました。トロイア戦争を引き起こしたヘレネーにちなんで、幾何学者たちのヘレネーです。 車輪の方程式 半径 $r$ の車輪が直線の上をすべらずに転がるとします。車輪が角 $t$（ラジアンで測る）だけ回ると、中心は距離 $rt$ だけ進みます。これは地面に触れた縁の長さです。いちばん下から出発した点は、そのとき $$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$の位置にあります。$t=0$ から $t=2\pi$ までで、車輪はちょうど一回転します。アーチの幅は車輪の周の長さに等しい $2\pi r$、いちばん高いところは直径の $2r$ です。 半径 1 の車輪が描くサイクロイドの一つのアーチ。アーチの下の面積は 3π で、車輪の面積の三倍です。ブログのオリジナル図版。 ガリレオ、曲線の重さを量る 1599 年ごろ、ガリレオはこの曲線に名前をつけ、一つのアーチの下の面積を知りたいと考えました。計算できなかったので、同じ材料の板からサイクロイドと、それを生み出す円とを切り抜いて、重さを量りました。サイクロイドは円のほぼ三倍の重さでした。ガリレオは、比はちょうど 3 ではないのではないかと疑い、そこでやめてしまいました。 比はちょうど 3 でした。ジル・ド・ロベルヴァルが 1634 年にそれを証明し、今ではその計算は数行で済みます。 微積分で面積を求める 曲線の下の面積は、高さ $y$、幅 $dx$ の細い帯の和です。$dx=r(1-\cos t)\,dt$ なので、 $$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$二乗を展開すると、三つの部分が残ります。 $$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最後のものは $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$ から出てきます。合計すると $$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$サイクロイドの一つのアーチの下の面積は、それを描いた車輪の面積の三倍です。ガリレオの切り抜きは正しかったのです。 1658 年の夜 1658 年には、パスカルが数学から離れて四年がたっていました。姉ジルベルトによると、ある夜、彼はひどい歯痛で眠れませんでした。痛みを忘れようとして、サイクロイドについて考え始めると、痛みが消えました。パスカルはそれを研究を続けてよいという許しと受けとり、八日のうちに、誰も解いたことのない問題を解きました。曲線の各部分の面積、その重心、そして曲線を軸のまわりに回転させてできる立体の体積です。 それから彼は、アモス・デトンヴィルという偽名で、ヨーロッパ中に公開の挑戦状を出しました。一位には金貨 40 ピストル、二位には 20 ピストルを出すとし、締め切りは 1658 年 10 月 1 日でした。

October 11, 2026 読んだ
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パスカルの原理：水で力を何倍にもする

ゾウとハイヒールをはいた女性。やわらかい地面に深く沈むのはどちらでしょうか。女性のほうかもしれません。ゾウは五十倍も重いのですが、その重さは四本の大きな足に広がっています。女性の重さは、細いヒールの先に集中しています。 地面を沈ませるのは力ではなく圧力です。圧力とは、力をそれがかかる面積で割ったものです。 $$p=\frac FA.$$圧力の単位はパスカルです。$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$、つまり 1 ニュートンの力が 1 平方メートルに広がった圧力です。これはとても小さな圧力で、海面での大気の圧力は約 $100\,000$ Pa です。 液体についての論文 1653 年ごろ、パスカルは『流体の平衡について』を書きました。出版されたのは彼の死後の 1663 年です。そこには、今日パスカルの原理と呼ばれる規則が書かれています。 閉じこめられて静止している液体の一点に加えられた圧力の増加は、液体のすべての点と容器の壁に、等しく伝わる。 歯みがきのチューブの真ん中を押すと、口から中身が出てきます。指の圧力がそこまで届いたのです。風船に水を入れ、何か所か穴をあけて押すと、すべての穴から、あらゆる方向に水が噴き出します。 破裂した樽 パスカルが有名な実演をしたという話があります。水をいっぱいに入れてしっかり閉じた樽のふたに、高さ約 10 メートルの細くて長い管を差し込みました。バルコニーに上がって管に水を注ぐと、1 リットルあまりで樽が破裂したというのです。 この場面が本当にそのとおりだったかはわかりませんが、計算するとありえたことがわかります。高さ $h$ の液柱の底での圧力は $$p=\rho gh,$$です。$\rho$ は液体の密度、$g\approx9.8\ \text{m/s}^2$ です。高さ 10 メートルの水なら、$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ として $$p=1000\cdot9.8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$大事なのは水柱の高さで、水の量ではありません。管の断面積が $1\ \text{cm}^2$ なら、10 メートルの水はたった $1$ リットルです。ところが、この $98\,000$ Pa は樽のふた全体に伝わります。ふたの面積が $0.2\ \text{m}^2$ なら、ふたにかかる力は $$F=pA=98\,000\cdot0.2=19\,600\ \text{N},$$2 トンのものの重さに相当します。細い管の中のたった 1 リットルの水が、自動車が載っているような力でふたを押すのです。 水圧機 パスカルは、この原理を使えば力を何倍にもできることに気づきました。水を満たした二つの円筒が底でつながり、それぞれピストンでふさがれているとします。一方は細く、もう一方は太い。細いピストンを力 $F_1$ で押すと、圧力は $F_1/A_1$ だけ増え、その同じ増加が太いピストンに伝わります。 $$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$ 小さなピストンを押す一人の人は、百倍広いピストンを押す百人の人の力に等しくなる。 — ブレーズ・パスカル『流体の平衡について』 小さいほうの面積が $2\ \text{cm}^2$、大きいほうが $8\ \text{cm}^2$ なら、比は $4$ です。小さいピストンに $50$ N の力をかけると、大きいピストンでは $200$ N になります。車を持ち上げる油圧ジャッキも、足一本の力で車を止めるブレーキも、ショベルカーも、この仕組みで動いています。

October 11, 2026 読んだ
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空気の重さ：ピュイ・ド・ドームの実験

二千年ものあいだ、学者たちはアリストテレスの言葉をくり返してきました。自然は真空を嫌う。ストローで空気を吸うと液体が上がってくるのは、自然がそこを空っぽのままにしておかないからだ、というのです。これですべてが説明できるように思えました。 ところが、フィレンツェの井戸掘り職人たちは困っていました。どんなに頑張っても、吸い上げポンプでは水を約 10 メートルより高く上げられなかったのです。自然の真空嫌いが、なぜ 10 メートルで止まるのでしょうか。 トリチェリの管 1643 年、ガリレオの弟子だったイタリアのエヴァンジェリスタ・トリチェリは、一方の端を閉じた長さ 1 メートルのガラス管に水銀を満たしました。もう一方の端を指でふさぎ、管を逆さにして水銀を入れた盆に立て、指を離しました。水銀は下がって約 76 cm の高さで止まり、管の上部に何もない空間が残りました。 トリチェリの説明は大胆なものでした。水銀柱を支えているのは真空嫌いではなく、盆の表面を押している空気の重さだというのです。私たちは空気の海の底に住んでいる、と彼は書きました。水銀は水の約 13.6 倍の密度があり、$76\ \text{cm}\times13.6\approx10.3$ m です。フィレンツェのポンプの限界と同じ値です。 パスカル、実験を高いところへ パスカルは 1646 年にこの実験のことを聞き、ルーアンで水やワインを満たした巨大なガラス管を使って再現しました。しかし彼は決定的な検証をしたいと考えました。彼の推論はこうです。もし水銀を支えているのが空気の重さなら、上にある空気が少ない山の頂上では、水銀柱は低くなるはずだ。もし原因が真空嫌いなら、高さは何の違いももたらさないはずだ。 パスカルはパリに住んでいて、体も弱かったので、1647 年 11 月、クレルモンに住む義兄フロラン・ペリエに手紙を書きました。クレルモンは、高さ 1500 メートル近い死火山ピュイ・ド・ドームのふもとにある町です。 1648 年 9 月 19 日 ペリエは証人になってもらうために、クレルモンの神父や名士たちと一緒に山に登りました。管を二本と水銀を持っていきました。この実験には現代的な発想がありました。登る前に、町でいちばん低いところにあるミニム会修道院の庭で二本の管を組み立て、同じ高さになることを確かめたのです。一本はそこに残し、シャスタン神父という修道士に一日じゅう見張ってもらいました。もう一本を持って山に登りました。 ピュイ・ド・ドームの山頂にある 1648 年の実験の記念碑。パスカル生誕三百年の 1923 年に撮影。Agence Rol、1923 年 · フランス国立図書館 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 当時の単位での測定結果は次のとおりです。 場所 水銀の高さ クレルモンのミニム会修道院の庭 26 プース 3½ リーニュ ピュイ・ド・ドームの山頂（約 500 トワーズ上） 23 プース 2 リーニュ フランスの 1 プースは約 $27.07$ mm、1 リーニュは 1 プースの $\frac1{12}$ です。換算すると

October 11, 2026 読んだ
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パスカルの遺産

心には、理性の知らない理由がある。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』 パスカルが完成させた本はわずかです。数学について書いたもののほとんどは、一枚刷りや手紙の形で、あるいは死後に発表されました。それでも、これほど多くの場所に顔を出す著者はめったにいません。学校で習う三角形、天気予報、車のブレーキ、保険の計算、そしてプログラミング言語の名前にまで。 賭け 『パンセ』の中で最も有名な一節は、幾何学についてのものではありませんが、パスカルがフェルマーと生み出したばかりの数学を使っています。それがパスカルの賭けです。これは神の存在を証明しようとするものではありません。パスカルは、理性ではこの問いに決着がつかないと述べ、期待値のように得と損を見込みで重みづけて、どちらに賭けるほうが得かを問います。信仰の側の利得が無限大なら、正の確率でさえあれば十分です。この議論とその三つの形、ディドロとヴォルテールの反論はパスカルの賭けにまとめました。これは、不確かさのもとで選ぶための数学である意思決定理論の最初の文章とみなされています。 短くする時間がなかった 第 16 の『プロヴァンシアル』の終わりで、パスカルは読者にこう詫びています。「この手紙が長くなったのは、短くする時間がなかったからにほかなりません。」 この一文は、急いでよい文章を書かなければならない人たちに、今も引用されています。 フェルマーへの最後の手紙 1660 年、フェルマーは、トゥールーズとクレルモンのあいだの道のりを半分ずつ旅して会おうと提案しました。病気だったパスカルはそれを断り、その手紙には晩年の彼が数学をどう見ていたかが表れています。 率直に申しますと、幾何学は精神の最高の鍛錬だと思います。しかし同時に、それがあまりに役に立たないものだとも知っていますので、ただの幾何学者と腕のよい職人とのあいだに、ほとんど違いを認めません。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1660 年 8 月 10 日） 二人はついに会うことはありませんでした。 残されたもの 確率論。 1654 年の書簡はホイヘンスを刺激し、彼は 1657 年にこの分野で最初の本を出版しました。その後にヤコブ・ベルヌーイ、ド・モアブル、ラプラスが続きます。保険、宝くじ、統計学、データサイエンスは、あの手紙の子孫です。 組合せ論と帰納法。 『算術三角形論』は組合せを整理し、数学的帰納法をはじめてはっきりと述べました。 射影幾何学。 神秘の六角形は射影幾何学の基礎となる定理の一つとなり、19 世紀にポンスレやブリアンションによって再び取り上げられました。 微積分。 ライプニッツは、パスカルの四分円についての著作を読んでいるときに特性三角形の考えを得たと語っています。これは微積分への一歩でした。 物理学。 真空の実験とピュイ・ド・ドームの実験は真空嫌いの説に終止符を打ち、気圧計と高度計を生みました。パスカルの原理は、あらゆる油圧装置に使われています。 計算機。 パスカリーヌは、製造され販売された最初の計算機でした。 残った名前 1971 年、国際単位系の圧力の単位はパスカル（Pa）と名づけられました。天気予報で「1013 ヘクトパスカル」と言うとき、それは $101\,300$ Pa、つまりパスカルが義兄に測らせた海面の気圧のことです。 1970 年、スイスの計算機科学者ニクラウス・ヴィルトは、プログラミングをわかりやすく教えるための言語を作り、パスカリーヌの発明者をたたえて Pascal と名づけました。何世代もの学生がこの言語でプログラミングを学びました。 考える葦 このコースの冒頭の言葉には続きがあります。「彼をおしつぶすために、宇宙全体が武装する必要はない。一吹きの蒸気、一滴の水でも彼を殺すには十分である。だが、たとえ宇宙が彼をおしつぶしても、人間は彼を殺すものより尊い。人間は自分が死ぬことを知っているからである。」 これを書いたのは、18 歳のときから自分が長くは生きられないと知っていた人でした。 まとめ パスカルは 1623 年から 1662 年まで生きた。16 歳で六角形の定理を発表し、19 歳でパスカリーヌを作り始めた。 算術三角形では、各数はその上の二つの数の和で、$n$ 行目の和は $2^n$、そしてその数は組合せの数 $\binom nk$ である。 この三角形はパスカル以前にインド、ペルシア、中国、ヨーロッパで知られていた。彼はそれを深く研究した。 1654 年、パスカルはフェルマーとともに確率論と期待値の考えを生み出した。 サイクロイドの一つのアーチの下の面積は $3\pi r^2$ で、車輪の面積の三倍である。 静止した液体では、圧力の増加はすべての点に等しく伝わる。水圧機は力を何倍にもするが、仕事は増やさない。 ピュイ・ド・ドームの山頂では、水銀が 8.5 cm 下がった。空気には重さがある。 練習：5 レアルのくじが、25 分の 1 の確率で 100 レアルになります。期待値で考えると、買う価値はありますか？期待される利得は $100\cdot\frac{1}{25}=4$ レアルです。くじは 5 レアルなので、一枚あたりの期待値は $4-5=-1$ レアルです。平均すると、一枚ごとに 1 レアル損をします。

October 11, 2026 読んだ
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パスカルの画像クレジット

歴史的な画像 すべて Wikimedia Commons から取得しました。Commons が提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ブレーズ・パスカルの肖像、作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ：出典ページ · パブリックドメイン。 楊輝の三角形、朱世傑の 1303 年の書物より：出典ページ · パブリックドメイン。 『算術三角形』（Triangulus arithmeticus）の最初のページ、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵本：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 パリ工芸博物館のパスカリーヌ、David Monniaux 撮影、2005 年：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ピュイ・ド・ドームの実験の記念碑、Agence Rol、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 サン・テティエンヌ・デュ・モン教会の墓所の銘板、Agence Meurisse、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 『パンセ』の自筆原稿、フランス国立図書館の展覧会、ActuaLitté 撮影、2016 年：出典ページ · CC BY-SA 2.0。 『パンセ』の最初のページ、1670 年版の海賊版、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図版 表紙、鉢の噴水、繰り上がりの図、サイクロイドのアーチはオリジナルの図版です。三角形、賭け金の分配、水圧機の操作パネルは、このコースのために作ったものです。これらは学習のための補助で、写本の複製でも、パスカリーヌの内部機構の再現でもありません。 記録 ファイル data/pascal_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後に載せています。 パスカルの全トピック · ← パスカルの遺産

October 11, 2026 読んだ