$u$ がどう変わり、$v$ がどう変わるかわかっているとき、積 $uv$ はどう変わるでしょうか。自然な予想は変化同士を掛けること、$d(uv)=du\cdot dv$ です。なんとも対称的で、エレガントに見えます…… ライプニッツも同じ予想をしました。 ライプニッツの検証と失敗 文字 $d$ を使い始めた 1675 年 11 月 11 日の同じ手稿で、ライプニッツは自問しました。$d(xy)$ は $dx\,dy$ と等しいのか、$d\!\left(\frac xy\right)$ は $\dfrac{dx}{dy}$ と等しいのか。彼はエレガントさを信じるかわりに、例を使って確かめ、成り立たないことを見つけました。数日後、彼は正しい法則を見つけました。 これは大切な教訓です。微積分の発明者でさえまちがえ、彼らを救ったのは検算でした。 自分でも試してみましょう。$u=x$、$v=x$ とすると積は $x^2$ で、その導関数は $2x$。ところが導関数同士の積は $1\cdot1=1$。合いません。 大きくなる長方形 $u$ と $v$ を長方形の 2 辺、$uv$ をその面積と考えましょう。2 辺をほんの少しずつ増やします。$u$ は $u+du$ に、$v$ は $v+dv$ になります。 新しい面積は $(u+du)(v+dv)$ です。どれだけ増えたでしょうか。 $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$幾何学的には、長方形は三つの部分を得ました。面積 $v\,du$ の細長い帯、面積 $u\,dv$ のもう一本の細長い帯、そして角にある面積 $du\,dv$ の小さな正方形です。 小さな正方形は二つの無限小の量の積なので、帯に比べて無限に小さい。ライプニッツはそれを無視して、 $$d(uv)=u\,dv+v\,du$$を得ました。予想の $du\,dv$ は、まさにどうでもいい部分だったのです。 極限を使った書き方 今日では $p(x)=f(x)\,g(x)$ と書き、増加分を増分 $h\ne0$ で割ります。 $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$$h\to0$ のとき、最初の 2 項はそれぞれ $gf'$ と $fg'$ に近づきます。最後の項はゼロに近づきます。$\dfrac{\Delta f}{h}$ は決まった数 $f'$ に近づき、$\Delta g$ はゼロに近づくからです。したがって
ある車が、90 キロ離れた別の街まで 1 時間で着きました。平均の速さは時速 90 キロです。でも速度計は、一瞬ごとに違う数字を示していました。速度計はいったい何を測っているのでしょうか。速さは距離を時間で割ったものですが、一瞬のあいだには距離も進まず、時間も経ちません。ゼロをゼロで割っても答えは出ません。 これこそ、1665 年にニュートンが答えようとした問いでした。その答えが流率法です。 流れる量 ニュートンは、変化する量を、川の水のように時間とともに流れるものと考えました。流れる量を流量（フルーエント）、それが流れる速さを流率（フラクション）と呼びました。流率を表すには、文字の上に小さな点を打ちました。1704 年に出版された『曲線の求積について』で、彼はこう書いています。 $x$、$y$、$z$ を流量とし、その流率をそれぞれ $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$ で表す。 — アイザック・ニュートン『曲線の求積について』（1704） $x$ が位置なら、$\dot x$ は速度です。言いかえれば、速度は空間から「流れ出る」のです。二つの点 $\ddot x$ は流率の流率、つまり加速度を表します。 ニュートンの計算 $y=x^2$ がどう変化するかを調べるため、ニュートンはごく短い時間を流しました。それを $o$ と書きます。その間に $x$ は $x+\dot x\,o$ に、$y$ は $y+\dot y\,o$ になります。関係 $y=x^2$ は変わらず成り立つので、 $$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$両辺から $y=x^2$ を引いて $o$ で割ると、 $$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$ここで大胆な一歩です。$o$ は「無限に小さい」ので、ニュートンは最後の項を捨てました。残るのは $\dot y=2x\dot x$、つまり $y$ は $x$ の $2x$ 倍の速さで変化する、ということです。 消え去った量の亡霊 $o$ で割っておきながら、その後 $o$ をゼロとみなす。この一歩は多くの人を悩ませました。1734 年、アイルランドの主教ジョージ・バークリーは『解析家』を出版して微積分を攻撃し、現れたり消えたりするこの量は「消え去った量の亡霊」ではないかと問いました。批判はもっともでした。答えが出たのは 19 世紀、コーシーとワイエルシュトラスによる極限の定義によってです。