Euler's Eyes
2026-10-14
最速降线：1696 年的挑战
给定竖直平面上的两点 A 和 B，求一条曲线 AMB，使运动物体 M 仅凭自身重量下降，沿此曲线从 A 到 B 所用时间最短。
— 约翰·伯努利，《学者学报》（1696 年 6 月）
1696 年 6 月，约翰·伯努利在《学者学报》上向"全世界最敏锐的数学家"发起挑战。这个问题听起来像游乐场里的事：两点之间最快的滑梯是什么形状？问题的名字来自希腊语：brachistos，最短；chronos，时间。最速降线，即用时最短的曲线。
约翰给了六个月的期限，并宣布自己已经有了答案。这是对所有人的挑战，但有两个目标：一个是正与他公开交战的哥哥雅各布，另一个是被莱布尼茨的朋友们指控抄袭微积分的艾萨克·牛顿。
答案不是直线
直线是 最短 的路径，但不是 最快 的。一个无摩擦下滑的小球在下落中不断加速。所以先陡峭地往下冲、尽早获得速度是划算的，即使路程因此变长。另一方面，冲得太猛又会让路程过长。最好的路径是一种折中，而找到它，就是在无穷多条可能的曲线中找出一整条曲线。
让 $x$ 轴水平，$y$ 轴 朝下，起点为 $A=(0,0)$。由能量守恒，下落高度 $y$ 后的速度是
$$\frac12mv^2=mgy\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{2gy}.$$它只取决于高度，与路径无关。
约翰的想法：小球是一束光
约翰有一个绝妙的主意。费马已经证明，光从一种介质进入另一种介质时，走的是 用时最短的路径，由此得出斯涅尔折射定律：
$$\frac{\sin\alpha_1}{v_1}=\frac{\sin\alpha_2}{v_2},$$其中 $\alpha$ 是光线与竖直方向的夹角，$v$ 是光在各介质中的速度。光也想尽快到达！
于是约翰设想把 $A$ 与 $B$ 之间的空间切成极薄的水平层，像一层层玻璃板，每层有一个速度 $v=\sqrt{2gy}$，越往下越大。穿过这些层的光线每经过一层就弯折一次。层无限薄时，光线就成了一条光滑曲线，斯涅尔定律在每一点都成立：
$$\frac{\sin\alpha}{v}=\text{常数}.$$这就是曲线的方程。由于 $\alpha$ 是切线与竖直方向的夹角，$\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+y'^2}}$。代入 $v=\sqrt{2gy}$ 并平方，
$$\boxed{\ y\left(1+y'^2\right)=2a\ }$$其中 $a>0$ 为常数。
答案：摆线
约翰认出了这个方程：它是 摆线 的方程。摆线是轮子沿直线滚动时，轮缘上一点画出的曲线，这里是倒过来的。半径为 $a$ 的轮子转过角 $\theta$ 时，
$$x=a(\theta-\sin\theta),\qquad y=a(1-\cos\theta).$$我们来验证。两导数相除，$y'=\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\cot\dfrac\theta2$，又因为 $1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac\theta2$，
$$y(1+y'^2)=2a\sin^2\frac\theta2\cdot\frac1{\sin^2(\theta/2)}=2a.$$验证无误。最快的滑梯是一段摆线弧：开始时竖直下落，结尾时较为平缓。
能快多少
取 $B=(\pi a,2a)$，即摆线的最低点，对应 $\theta=\pi$。在摆线上，弧长元和速度分别是
$$ds=2a\sin\frac\theta2\,d\theta,\qquad v=\sqrt{2g\cdot2a\sin^2\frac\theta2}=2\sqrt{ga}\sin\frac\theta2.$$每一小段的时间是 $dt=\dfrac{ds}v=\sqrt{\dfrac ag}\,d\theta$：正弦约掉了！从 $\theta=0$ 到 $\theta=\pi$，
$$T_{\text{摆线}}=\pi\sqrt{\frac ag}.$$沿 $A$ 到 $B$ 的直线，长度为 $\ell=a\sqrt{\pi^2+4}$，沿斜面的加速度为常数 $g\cdot\frac{2a}\ell$。由公式 $\ell=\frac12\cdot\text{加速度}\cdot T^2$，
$$T_{\text{直线}}=\sqrt{\pi^2+4}\,\sqrt{\frac ag}.$$由于 $\pi\approx3.14$，$\sqrt{\pi^2+4}\approx3.72$，摆线 大约快 16%。取 $a=1$ 米，即一个宽 3.14 米、高 2 米的滑梯，小球沿摆线用时 $1.00$ 秒，沿直线用时 $1.19$ 秒。
狮子的爪子
期限到时，只有莱布尼茨寄来了解答。应他的请求，约翰把期限延长到 1697 年复活节，并把印好的问题直接寄给几位数学家，其中包括伦敦的牛顿。
牛顿当时 54 岁，在造币厂工作。据他的外甥女凯瑟琳·康杜伊特说，1697 年 1 月 29 日下午四点，他下班疲惫地回到家时收到了信，一直没睡，直到凌晨四点解出了问题。他把解答不署名、不附证明地寄给皇家学会，学会匿名发表了它。
1697 年 5 月，《学者学报》发表了五份解答：约翰的、雅各布的、莱布尼茨的、洛必达的和契恩豪斯的，还转载了来自英国的匿名答案。约翰毫不怀疑作者是谁。他写道，他认出了他，tanquam ex ungue leonem：“正如凭爪子认出狮子”。
然而最重要的解答是雅各布的。它比弟弟的更费力，没有用光的类比，而是把曲线与邻近的曲线相比较。这个想法经过推广，诞生了欧拉和拉格朗日的 变分法。
练习：如果滑梯的所有尺寸都乘以四，时间会怎样？
在两个公式里，时间都与 $\sqrt a$ 成正比。$a$ 乘以 4，时间就乘以 $\sqrt4=2$。摆线的优势保持不变，约 16%：比值 $\frac{\pi}{\sqrt{\pi^2+4}}\approx0.844$ 与尺寸无关。
练习：在摆线上，时间过了一半时小球在哪里？
由于 $dt=\sqrt{a/g}\,d\theta$，时间与 $\theta$ 成正比。时间过半时 $\theta=\frac\pi2$，这时的点是 $x=a\left(\frac\pi2-1\right)\approx0.57a$，$y=a$。小球已经下降了总高度 $2a$ 的 一半，水平方向却只走了总距离 $\pi a$ 的 18%。这就是摆线的策略：先下落，后前进。
来源： Johann Bernoulli，“Curvatura radii in diaphanis non uniformibus”，Acta Eruditorum（1697 年 5 月）· Herman H. Goldstine，A History of the Calculus of Variations（Springer，1980），第 1 章 · Richard S. Westfall，《牛顿传》。
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