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ヤコブ・ベルヌーイの生涯

年表 16551 月 6 日、バーゼルの香辛料商人の家に生まれる。 1671哲学の修士号を取る。父の望みで神学の勉強を続ける。 1676神学を修め、旅に出る。ジュネーヴで目の見えない少女に数学を教える。 1681イギリスを訪れ、ロバート・ボイルとロバート・フックに会う。1680 年の大彗星について書く。 1683バーゼルに戻り、実験物理学を講じ、複利の問題を研究する。 1684ユディット・シュトゥパヌスと結婚。ライプニッツの微積分の論文を読みはじめる。 1687バーゼル大学の数学教授になり、死ぬまでその職にとどまる。 1689無限級数についての最初の論文を発表。調和級数を扱う。 1690等時曲線の問題を解き、integral（積分）という言葉を初めて使う。 1694レムニスケートを記述する。 1697最速降下線をめぐって弟ヨハンと公然と決裂する。 17058 月 16 日、バーゼルで亡くなる。『推測術』は未完のまま残る。 1713甥のニコラウスが『推測術』を出版する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1655–1676 バーゼル香辛料商の家に生まれる。父の望みで神学を、自分の意志で数学を学ぶ。 1676 ジュネーヴ目の見えない少女エリーザベト・フォン・ヴァルトキルヒの家庭教師となり、読み書きと少しの数学を教える。 1677–1680 フランスデカルトとマルブランシュの哲学を学ぶ。 1681 オランダ新しい実験哲学の科学者たちと知り合う。 1681 イングランドロバート・ボイルとロバート・フックに会い、1680 年の大彗星について書く。 1683–1705 バーゼル故郷に戻り、ライプニッツの微積分を独学し、1705 年に亡くなるまで大学の教授をつとめる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 バーゼルからイングランドへ、そしてふたたびバーゼルへ。ヤコブ・ベルヌーイの遍歴の年月。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1655–1676 · バーゼル1676 · ジュネーヴ1677–1680 · フランス1681 · オランダ1681 · イングランド1683–1705 · バーゼル バーゼルからイングランドへ、そしてふたたびバーゼルへ。ヤコブ・ベルヌーイの遍歴の年月。 商人の一族 ベルヌーイ家はアントウェルペンのプロテスタントで、十六世紀の終わりにスペインの迫害を逃れ、最後はスイスのバーゼルにたどりつき、香辛料の商いで栄えました。ヤコブの父ニコラウス・ベルヌーイは商人で、市参事会の一員でもありました。息子たちの将来ははっきり決めていました。長男は牧師に、末っ子のヨハンは商人に。

October 14, 2026 読んだ
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終わらない利息と数 e

年利 100% を払ってくれる気前のいい銀行を想像してください。1 月に 1 円預けると、12 月には 2 円になります。ここで銀行が別の提案をします。年末に 100% 払うかわりに、半年ごとに 50% 払い、前半の利息にも後半に利息がつく。得でしょうか。毎月、毎日、毎秒払ったら？限りなく金持ちになれるでしょうか。 これは、ヤコブ・ベルヌーイが 1683 年ごろ自分に問いかけ、1690 年に『学術紀要』に発表した問題です。帳簿づけの話のようですが、答えは数学で最も重要な数のひとつです。 計算してみる 一年を $n$ 個の等しい期間に分けると、各期間に $\frac{100\%}{n}$ が支払われます。つまり残高は $1+\frac1n$ 倍になります。$n$ 期間ののち、1 円は $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$になります。二期間なら $a_2=1.5^2=2.25$ で、2 より多くなります。期間を増やすと、さらに増えます。 利息の支払い $n$ 年末の残高 一回 1 2.000000 半年ごと 2 2.250000 四半期ごと 4 2.441406 毎月 12 2.613035 毎日 365 2.714567 毎時 8 760 2.718127 残高は増えますが、増え方はだんだん小さくなります。毎月から毎日に変えても、増えるのはわずかです。毎日から毎時では、さらにわずかです。残高は $2.718$ くらいの天井に近づいていくように見えます。 天井がある理由 ベルヌーイは今日の意味での「極限」という言葉をもっていませんでしたが、ニュートンの二項定理 をもっていました。$a_n$ を展開すると、 $$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$各項を整理すると、 $$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$$n$ が大きくなると二つのことが起こります。かっこ $\left(1-\frac kn\right)$ は 1 に近づくので、各項は 大きくなり、さらに新しい項が現れ、それもすべて正です。だから $a_n$ は増える一方です。一方、どのかっこも 1 より小さいので、

October 14, 2026 読んだ
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一般化された二項式：整数のべきを超えて

学校では $(1+x)^2=1+2x+x^2$ や $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$ の展開を習います。係数は算術三角形（パスカルが研究し、それ以前から知られていたもの）から得られます。正の整数の指数なら、展開は必ず終わります。 1664 年から 1665 年の冬、まだ学生だったニュートンは、誰もこれほど大胆には問わなかった問いを立てました。指数が $\frac12$ だったら？ $-1$ だったら？ $(1+x)^{1/2}$、つまり $\sqrt{1+x}$ を $x$ のべきの和として書くとどうなるのか？ 係数の規則 ニュートンはジョン・ウォリスの『無限算術』を読んでいました。この本は数表の間を補間して面積を求めていました。同じ発想をたどって、ニュートンは二項係数が、指数が整数であることに依存しない規則に従うことに気づきました。 $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots$$各係数は、一つ前の係数に $\dfrac{\alpha-k}{k+1}$ を掛けると得られます。$\alpha$ が正の整数なら、どこかで因子 $(\alpha-k)$ がゼロになり、それ以降の項はすべて消えます。これが学校で習う二項式です。$\alpha$ が正の整数でなければ、どの因子もゼロにならず、和はどこまでも続きます。 この級数は $|x|<1$ のときに成り立ちます。その範囲の外では項が小さくならずに大きくなり、和は収束しません。 二つの例 $\alpha=-1$ のとき、係数は $1,-1,1,-1,\dots$ となり、すでに知られていた級数、等比級数が得られます。 $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$$\alpha=\frac12$ のとき、新しいものが現れます。 $$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$ニュートンは現代的な意味での証明を持っていませんでした。彼は検算したのです。この級数を自分自身と掛け合わせ、項が打ち消し合って $1+x$ だけが残ることを確かめました。最初の 3 項で試してみましょう。 $$\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\right)^2=1+x+\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}\right)+\cdots=1+x+0\cdot x^2+\cdots$$$x^2$ の項は、あるべきとおり消えます。その先の項も同様です。 足し算で平方根を求める $\sqrt{1.21}$ を計算するには $x=0.21$ とします。 $$1+0.105-0.0055125+0.0005788125=1.1000663125.$$正確な値は $1.1$ です。4 項だけで誤差はすでに小数第 4 位にあり、第 5 項 $-5x^4/128\approx-0.000076$ でさらに改善します。特別なアルゴリズムが必要な平方根が、掛け算と足し算の連続になったのです。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 「恥ずかしくて言えない」

October 11, 2026 読んだ
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調和級数と助けを求める声

無限の級数が有限の和に収められ、限りないもののなかに限りが見てとれるように、果てしなさの魂は微小なもののなかに宿り、最も狭い限界のなかに限界はない。 — ヤコブ・ベルヌーイ『無限級数論』（1689） 1689 年から 1704 年にかけて、ヤコブ・ベルヌーイはバーゼルで 無限級数、つまり無限に多くの項をもつ和についての論文を五編発表しました。新しく、危険な主題でした。こうした和のなかには、 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2$$のように、ある数になるものがあります。止まらずに増え続けるものもあります。むずかしいのは、それぞれがどちらなのかを見分けることです。常識はあてにならないからです。 調和級数 整数の逆数の和を考えましょう。 $$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$音楽家はこれを 調和 級数と呼びました。$\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ は、ある音の倍音を出す弦の長さだからです。項はどんどん小さくなり、0 に近づきます。直観では、和はどこかで止まりそうです。ところがこの和は、だまされるほどゆっくり増えます。 項の数 和の近似値 10 2.93 1 000 7.49 1 000 000 14.39 $10^{43}$ 100.0 100 に達するには $10^{43}$ 項以上が必要です。それでもヤコブは、この和が どんな 数をも超えることを示しました。 ヤコブの証明 彼は級数を、平方数で終わるかたまりに分けました。ある数 $a$ をとり、$\frac1a$ から $\frac1{a^2}$ までの項を考えます。$\frac1a$ をわきに置くと $a^2-a$ 個の項が残り、どれも最小の項 $\frac1{a^2}$ 以上です。したがって $$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$このようなかたまりは、どれも 1 以上です。あとはつなげていくだけです。$\frac12$ から $\frac14$ まで、$\frac15$ から $\frac1{25}$ まで、$\frac1{26}$ から $\frac1{676}$ まで、というふうに。 $$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$かたまりは無限にあり、どれも 1 以上なので、和はどんな数をも超えます。和は 発散 します。 ヤコブは、弟ヨハンが自分より先に別の証明を見つけていたことを認め、同じ論文にそれを載せました。二人とも、フランスのニコル・オレームが 1350 年ごろ、項を 1、2、4、8……個ずつのまとまりに分けて同じことをしていたとは知りませんでした。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 14, 2026 読んだ
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驚異の螺旋とレムニスケート

ライプニッツの微積分を手にしたベルヌーイ兄弟は、曲線狩りに出かけました。曲線ごとに問います。接線はどうか、長さは、面積は、曲率は？こうした曲線の多くはギリシャ人のころから知られていましたが、これらの問いに一般的な規則で答えられるようになったのはこのときからです。そのうち二つの曲線は、永遠にヤコブの名を帯びることになりました。 形の変わらない螺旋 対数 螺旋は、すでにデカルトやトリチェリが研究していました。各点を中心からの距離 $r$ と角 $\theta$ で表す極座標では、 $$r=a\,e^{b\theta}$$です。ひと回りするたびに角は $2\pi$ 増え、半径はいつも同じ倍率 $e^{2\pi b}$ で大きくなります。だから巻きの間隔は等しくありません。どの巻きも、前の巻きより同じ割合で大きいのです。 ここから、ヤコブを魅了した性質が出てきます。螺旋を角 $\alpha$ だけ 回転 させることは、$e^{b\alpha}$ 倍に 拡大 することと同じ効果をもちます。この螺旋の写真を拡大すると、回転しただけの同じ螺旋が現れます。どの縮尺でも自分自身と同じなのです。 左は、ヤコブが墓に望んだ対数螺旋。ひと巻きごとに前より広くなる。右は、石工が刻んだアルキメデスの螺旋。巻きの間隔が等しい。Euler’s Eyes 作図 一定の角 螺旋上の一点で、中心から来る半径と曲線の接線は角 $\psi$ をなします。角 $\theta$ がほんの少し $d\theta$ だけ増えると、その点は半径に垂直な方向に $r\,d\theta$、半径に沿って $dr$ 動きます。したがって $$\tan\psi=\frac{r\,d\theta}{dr}=\frac{r}{dr/d\theta}=\frac{r}{b\,r}=\frac1b.$$$r$ が消えます。角は すべての 点で同じです。そのためこの曲線は 等角螺旋 とも呼ばれます。ランプに対していつも一定の角度を保って飛ぶ虫は、蛾が月に対してそうするといわれるように、こうした螺旋を描いて、最後にはランプに落ちてしまいます。 ヤコブはさらに発見しました。螺旋の曲率中心がつくる曲線は、最初のものと同じ対数螺旋です。中心から出て螺旋で反射した光線も、また同じ螺旋をつくります。どこを見ても、曲線は同じ姿でよみがえりました。彼はこれを spira mirabilis、驚異の螺旋 と名づけました。 オウムガイの殻の断面。ひと巻きごとに部屋がほぼ同じ割合で大きくなり、対数螺旋に近い形をつくる。Florian Elias Rieser · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 自然もこの曲線を同じ理由で好みます。オウムガイのように形を変えずに層を足して成長する生き物は、対数螺旋の殻をつくります。多くの銀河の腕や台風の雲も、似た形をしています。 Eadem mutata resurgo ヤコブは螺旋に復活の象徴を見ました。からだは変わっても、人は同じものとしてよみがえる。だから彼は、Eadem mutata resurgo、「変わりながらも、私は同じものとしてよみがえる」という銘とともに、それを墓に刻んでほしいと頼んだのです。石工が刻んだのはアルキメデスの螺旋で、これにはその性質がありません。拡大すると巻きの間隔が広がり、曲線が変わってしまいます。まちがった墓石は今もバーゼル大聖堂にあります。 レムニスケート：横倒しの 8 1694 年、ヤコブは『学術紀要』の論文で新しい曲線を示しました。二つの定点、焦点 $F_1=(-c,0)$ と $F_2=(c,0)$ をとります。楕円では、点から焦点までの距離の 和 が一定です。ヤコブは和を 積 に置きかえました。

October 14, 2026 読んだ
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推測術：チャンスを数える

あることを推測するとは、その確率を測ることである。それゆえ私たちは、推測術、すなわち確率術を、事物の確率をできるかぎり正確に測る技術と定める。それによって、判断と行動において、よりよく、より満足でき、より安全で、より熟慮されたと思われるものを、いつも選び、したがうことができるように。 — ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』（1713）第四部 1654 年、パスカルとフェルマー は、途中で打ち切られた勝負の賭け金をどう分けるかについて手紙をやりとりしました。1657 年には、オランダのクリスティアーン・ホイヘンスがサイコロ遊びの計算についての十五ページの小冊子を出版しました。どれも客間の問題でした。サイコロ、トランプ、賭け。 ヤコブ・ベルヌーイが求めたのは、ずっと大きなものでした。彼にとって確率とは 確実さ の尺度であり、0（不可能）と 1（確実）のあいだの数で、法廷で証言を量り、人がどれだけ生きるかを予測し、保険を評価し、薬が効くかどうかを判断するのに役立つはずのものでした。その方法を示す本を、彼は二十年かけて書きました。題は Ars conjectandi、『推測術』です。 『推測術』の扉。ヤコブの死から八年後の 1713 年、バーゼルで出版された。Wikimedia Commons · パブリックドメイン 四部からなる本 『推測術』は四部からなります。第一部はホイヘンスの本を再録し、原文より長いヤコブの注釈をつけたものです。第二部は 組合せ論 の完全な講義で、順列、組合せ、そしてそのなかに、今ではヤコブの名がついている べき乗の和 があります。第三部はそれらすべてを何十もの遊びに応用します。未完の第四部は、市民生活、道徳、経済における確率を扱い、そこに 黄金の定理 があります。 ベルヌーイ試行 この本のいちばん単純なアイデアが、統計学で最もよく使われるもののひとつになりました。結果が二つしかない実験を考えます。硬貨が表か否か、患者が治るか否か、部品が不良か否か。一方の結果を 成功、その確率を $p$、他方を 失敗、その確率を $q=1-p$ と呼びます。この言葉はただのラベルです。工場では、数える「成功」が不良品の発見かもしれません。 今日、このような実験は ベルヌーイ試行 と呼ばれます。ヤコブの問いはこうです。いつも同じ条件で、ある結果がほかの結果に影響しないようにして試行を $n$ 回くり返すとき、ちょうど $k$ 回成功する確率はいくらか。 公式を一歩ずつ 小さな例から始めましょう。サイコロを 3 回投げ、「成功」は 6 の目、$p=\frac16$ とします。6 がちょうど二回出る確率はいくらでしょうか。 ありうる並びのひとつは 6、6、ほか です。その確率は、各回の確率の積です。 $$\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac5{216}.$$けれども 6 が二回出る順番はほかにもあります。6、ほか、6 と ほか、6、6 です。同じ因数が順番を変えて現れるだけなので、どれも確率は $\frac5{216}$ です。順番は 3 通りなので、 $$P(\text{6 が二回})=3\cdot\frac5{216}=\frac{15}{216}\approx6.9\%.$$順番の数は、どの 回が成功になるかを選ぶ方法の数、つまり 3 回から 2 回を選ぶ数 $\binom32=3$ です。一般に、成功 $k$ 回、失敗 $n-k$ 回の並びはそれぞれ確率 $p^kq^{n-k}$ をもち、そうした並びは $\binom nk$ 通りあります。足し合わせると、

October 14, 2026 読んだ
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黄金の定理：大数の法則

どんなに愚かな人でも、ある自然の本能によって、ひとりで、なんの教えも受けずに、観察を重ねれば重ねるほど的をはずす危険は小さくなると確信している。 — ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』（1713）第四部 サイコロなら、それぞれの目の確率は前もってわかっています。$\frac16$ です。けれども、40 歳の男性があと二十年生きる確率は？明日雨が降る確率は？薬が効く確率は？こうした場合には、数えられる同じ面がありません。ヤコブは別の道を提案しました。何度も観察し、頻度を確率の推定に使うのです。40 歳の男性のうち半分が 60 歳まで生きたなら、その確率は半分に近いはずです。 上の引用が言うとおり、だれもがすでにそう考えていました。ヤコブの問いはもっと深いものでした。それは 証明 できるのか。観察の数が増えると、頻度はほんとうに確率に近づくのか、それとも誤差はいつまでも大きいままでありうるのか。実際上の確実さを得るには、何回の観察が必要なのか。彼は答えるのに二十年かかり、その結果をたいへん誇りにして 黄金の定理 と呼びました。 壺 ヤコブは、白い石 3 000 個と黒い石 2 000 個の入った、中の見えない壺で問題を立てました。中をのぞけない人が、白い石の割合、つまり $\frac35$ を知りたいとします。そのために石をひとつ取り出し、色を記録して戻し、これをくり返します。 $n$ 回取り出して白が $S_n$ 回なら、観察された頻度は $\frac{S_n}n$ です。正確な問いはこうなります。頻度が $\frac{29}{50}$ と $\frac{31}{50}$ のあいだ、つまり $\frac35$ との差が $\frac1{50}$ 未満になることが 道徳的に確実、すなわち $\frac{1000}{1001}$ 以上の確率で成り立つには、何回取り出せばよいか。 定理が言うこと ヤコブの答えには二つの部分があります。第一は定性的なものです。どんなに小さな誤差の幅 $\varepsilon$ をとっても、頻度が $p$ から $\varepsilon$ より大きくずれる確率は、$n$ が大きくなると 0 に近づく。今日のことばでは、 $$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$これが 大数の法則 の最初の形で、この名は 1837 年にポアソンがつけました。第二の部分は数値的なものです。ヤコブは、この壺なら 25 550 回 の取り出しで道徳的確実さに足りると計算しました。 硬貨投げのシミュレーション。はじめは表の割合が大きくゆれるが、数千回投げると 1/2 に近づく。横軸は対数目盛り。Euler’s Eyes 作図 今日の道具による証明 ヤコブの証明は、二項展開の項のあいだの不等式に何章も費やしています。今日では、ロシアのパフヌティ・チェビシェフが 1867 年に発表した不等式を使えば、同じ考えが数行で書けます。

October 14, 2026 読んだ
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ベルヌーイ数：千個のべき乗を七分で足す

この表の助けを借りて、最初の千個の数の十乗を足すと 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500 になることを、私は四半時間の半分もかからずに見つけた。 — ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』（1713）第二部 少年 ガウス は、最初の数と最後の数を組にして、1 から 100 までの和を数秒で出したといわれます。$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ です。平方や立方の和にも、アルキメデスやアラビアの数学者のころから知られた公式があります。 $$\begin{aligned}1^2+2^2+\cdots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\\ 1^3+2^3+\cdots+n^3&=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.\end{aligned}$$では四乗、五乗、十乗は？十七世紀には何人もの数学者が、こうした公式をひとつずつ求めてページを埋めていました。フランスのイスマエル・ブイヨーは 1682 年に分厚い本を出しましたが、苦心のすえに六乗までしか届きませんでした。ヤコブ・ベルヌーイは、すべて を与える規則を見つけたのです。 表 『推測術』の第二部で、ヤコブは公式を上から下へ並べ、じっくりながめました。 $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k&=\tfrac12n^2+\tfrac12n\\ \sum_{k=1}^n k^2&=\tfrac13n^3+\tfrac12n^2+\tfrac16n\\ \sum_{k=1}^n k^3&=\tfrac14n^4+\tfrac12n^3+\tfrac14n^2\\ \sum_{k=1}^n k^4&=\tfrac15n^5+\tfrac12n^4+\tfrac13n^3-\tfrac1{30}n\\ \sum_{k=1}^n k^5&=\tfrac16n^6+\tfrac12n^5+\tfrac5{12}n^4-\tfrac1{12}n^2\end{aligned}$$規則があります。$m$ 乗の和はいつも $m+1$ 次の多項式です。最初の係数は、積分 $\int_0^n x^m\,dx=\frac{n^{m+1}}{m+1}$ と同じく $\frac1{m+1}$。二番目はいつも $\frac12$。そのあとの係数は 二項式 $(n+1)^{m+1}$ の係数に、ある決まった数をかけたもののように見えます。 不思議な数 ヤコブは、今日 $B_0,B_1,B_2,\dots$ と書かれ ベルヌーイ数 と呼ばれる数の列がひとつあれば、すべての公式を一度に書けることに気づきました。 $$\boxed{\sum_{k=1}^n k^m=\frac1{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j\,n^{m+1-j}}$$$B_j$ はどう求めるのでしょう。かんたんなこつがあります。公式は $n=1$ でも成り立たなくてはならず、そのとき和はただの $1^m=1$ です。$n=1$ とおくと $n$ のべき乗はすべて 1 になり、 $$\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j=m+1$$が残ります。$B_0=1$ から始めると、$m$ の値ごとに次の数が出てきます。 $m=1$：$1+2B_1=2$、よって $B_1=\frac12$。 $m=2$：$1+3\cdot\frac12+3B_2=3$、よって $B_2=\frac16$。 $m=3$：$1+4\cdot\frac12+6\cdot\frac16+4B_3=4$、よって $B_3=0$。 $m=4$：$1+5\cdot\frac12+10\cdot\frac16+0+5B_4=5$、よって $B_4=-\frac1{30}$。 続けると $B_6=\frac1{42}$、$B_8=-\frac1{30}$、$B_{10}=\frac5{66}$ で、1 より大きい奇数番目はすべて 0 です。これらの数には目に見える規則がありません。$B_{12}=-\frac{691}{2730}$ で、そこから先は急速に大きくなります。

October 14, 2026 読んだ
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ライプニッツの π の級数：単純でゆっくりな和

数 $\pi$ は円の幾何学から、奇数は算術から来ています。両者が出会う理由は見当たりません。ところが出会うのです。 $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$奇数の逆数を、符号を交互に変えながら足したり引いたりし、結果に 4 を掛けると $\pi$ になります。 一つの発見、3 回 ライプニッツがこの公式を見つけたのは 1673 年、パリでまだホイヘンスに数学を習っていたころでした。結果を先生に見せると、ホイヘンスは感心して彼をほめました。これはライプニッツの最初の大発見で、自分は数学者になれると確信させたものでした。 彼が最初ではありませんでした。1671 年、スコットランドのジェームズ・グレゴリーはすでに逆正接の級数を見つけていて、この公式はその特別な場合です。さらに約 250 年前、ケーララ学派の創始者であるインドの数学者サンガマグラーマのマーダヴァが同じ級数を発見していました。ヨーロッパの人々はこれらの業績を知りませんでした。そのため今日ではマーダヴァ–ライプニッツ級数、あるいはグレゴリー–ライプニッツ級数と呼ばれています。 「神は奇数を喜ぶ」 この級数についてライプニッツは、ローマの詩人ウェルギリウスの一節を引用しました。Numero Deus impare gaudet、「神は奇数を喜ぶ」。完全な円と深く結びついた数が、ほかならぬ奇数から生まれることを、彼は美しいと感じたのです。 証明 今日の道具を使って、3 つのステップで公式を証明しましょう。 1. 等比数列の和。 公比 $-q$ の等比数列 $1-q+q^2-q^3+\cdots$ の和には、よく知られた公式があります。$q=t^2$ として $N$ 項で打ち切り、余りの項を加えれば等式は正確になります。 $$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots+(-1)^{N-1}t^{2N-2}+\frac{(-1)^Nt^{2N}}{1+t^2}.$$2. 両辺を 0 から 1 まで積分する。 左辺では、$\dfrac{1}{1+t^2}$ の 0 から 1 までの面積は $\arctan1=\dfrac\pi4$ です。$45°$ の正接は 1 だからです。右辺では、各べき $t^{2k}$ が $\dfrac{1}{2k+1}$ を与えます。 $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{N-1}}{2N-1}+R_N.$$3. 余りはゼロに近づく。 $1+t^2\ge1$ なので、余りには上限があります。 $$|R_N|\le\int_0^1t^{2N}\,dt=\frac{1}{2N+1}.$$$N$ が大きくなると $\dfrac{1}{2N+1}$ はゼロに近づき、和は $\dfrac\pi4$ にいくらでも近づきます。 美しいが、遅い 4 を掛けると、和は誤差 $\dfrac{4}{2N+1}$ 以内で $\pi$ に近づきます。これは遅いのです。

October 11, 2026 読んだ
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ヤコブ・ベルヌーイの遺産

ヤコブ・ベルヌーイは五十年しか生きず、生前に発表したものも多くはありません。ほとんどが『学術紀要』の短い論文です。それでも、今も毎日使われる言葉や記号や考えをこれほど多く残した数学者はまれです。積分、ベルヌーイ試行、二項分布、ベルヌーイ数、大数の法則、確率的（stochastic）。 積分という言葉 ライプニッツは、微分の逆の演算を calculus summatorius、和の計算と呼び、summa（和）の S を引きのばした $\int$ で書きました。1690 年 5 月、等時曲線の問題を解いたヤコブは、二つの式が「等しい積分」をもつと書きました。積分（integral）という言葉が数学の文献に印刷されたのは、これが最初です。ヨハンがこの用語を採用し、1696 年にはライプニッツも自分の「和の計算」をベルヌーイ兄弟の 積分計算 に改めることに同意しました。記号はライプニッツのもの、名前はヤコブのものとして残ったのです。 年 人物 記号または名前 出所 1659 ピエトロ・メンゴリ omnia $x$ Geometriae speciosae elementa 1675 ライプニッツ $\int x$ 1675 年 10 月 29 日の手稿 1690 ヤコブ・ベルヌーイ 「integral」 『学術紀要』 1696 ライプニッツとヨハン・ベルヌーイ calculus integralis 書簡 1822 フーリエ $\int_a^b f(x)\,dx$ 『熱の解析的理論』 つるされた鎖 1690 年の同じ論文で、ヤコブは、両端をつるした鎖がどんな形になるかを問いました。ガリレオは放物線だと考えていました。1691 年、ヨハン、ライプニッツ、ホイヘンスが正しい答え、懸垂線 を発表しました。今日では双曲線余弦を使って $y=a\cosh\frac xa$ と書かれます。ヤコブは弟との競争に負けましたが、問いは彼のものでした。懸垂線 の物語はヨハンのコースにあります。 ド・モアブルと正規曲線 黄金の定理は頻度が確率に近づくことを述べていましたが、必要な観察数についてのヤコブの見積もりは大きすぎました。1733 年、ロンドンに亡命していたフランス人アブラーム・ド・モアブルは、$n$ が大きいときの二項展開の項のよりよい近似を探し、釣鐘形の曲線 $$y=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}$$を見つけました。これが 正規曲線 の最初の登場で、のちにラプラスとガウスがこれを統計学の中心にすえます。これを使えば、ヤコブの壺に必要なのは、彼が計算した 25 550 回ではなく、およそ 6 500 回です。

October 14, 2026 読んだ
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歴史的な画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ヤコブ・ベルヌーイの肖像、1687 年に弟ニクラウス・ベルヌーイが描いたもの：元のページ · パブリックドメイン。 『推測術』の扉、バーゼル、1713 年：元のページ · パブリックドメイン。 ヤコブ・ベルヌーイの墓石、バーゼル大聖堂の回廊、Wladyslaw Sojka 撮影：元のページ · フリー・アート・ライセンス。 オウムガイの殻の断面、Florian Elias Rieser 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図 表紙、二つの螺旋の図、硬貨投げのシミュレーションでの表の割合のグラフは、このサイトのオリジナルのイラストで、サイトの各言語の版があります。遺産の記事にある積分の記号の表は、このサイトの旧微積分講座の表をもとに作りなおしたものです。 記録 ファイル data/bernoulli_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 ヤコブ・ベルヌーイの全トピック · ← ヤコブ・ベルヌーイの遺産

October 14, 2026 読んだ