定規とコンパスでレムニスケートを分ける
1694 年、ヤコブ・ベルヌーイは、横に寝かせた 8 の字の形の曲線を調べ、lemniscus、つまりリボン結びと名づけました。焦点を点 $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$ にとると、それは二つの焦点までの距離の積が $\frac12$ になる点の集まりです。方程式は
$$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$$で、極座標では $r^2=\cos2\theta$ です。一世紀半後、アーベルはこの曲線について、ユークリッドの本から出てきたような定理を証明しました。どんな数 $n$ なら、定規とコンパスだけでレムニスケートを長さの等しい $n$ 個の弧に分けられるのか。
ベルヌーイのレムニスケート r² = cos 2θ と、それを長さの等しい八つの弧に分ける七つの点。曲線は中心を二度通る。Euler’s Eyes 作図 弧の長さ まず、曲線の一部分の長さはいくらでしょうか。極座標では、小さな弧は $ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2$ を満たします。$r^2=\cos2\theta$ を微分すると、
$$2r\,dr=-2\sin2\theta\,d\theta,\qquad\sin2\theta=\sqrt{1-\cos^22\theta}=\sqrt{1-r^4}$$なので、$d\theta=-\dfrac{r\,dr}{\sqrt{1-r^4}}$ であり、
$$ds^2=dr^2+\frac{r^4\,dr^2}{1-r^4}=\frac{dr^2}{1-r^4}.$$したがって、中心から、中心からの距離が $r$ の点までの弧の長さは
$$\boxed{s=\int_0^r\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}.}$$これはレムニスケート積分で、レムニスケート正弦を定義するのと同じ積分です。言いかえれば、中心から弧に沿って $s$ の距離にあるレムニスケート上の点は、中心から $\operatorname{sl}(s)$ の距離にあります。レムニスケート正弦は、正弦が円に対してすることを、レムニスケートに対してするのです。中心から先端までの弧は $\frac\varpi2\approx1.3110$、曲線全体は $2\varpi\approx5.2441$ です。
1751 年のクリスマス 1718 年、イタリアの伯爵ジュリオ・ファニャーノは、レムニスケートの弧を定規とコンパスで2 倍にする方法を見つけました。ある弧が与えられたとき、その 2 倍の長さの弧を作図するのです。ほとんどだれも気にとめませんでした。1751 年 12 月 23 日、ベルリン科学アカデミーはファニャーノの著作をオイラーに渡し、意見を求めました。オイラーはそこにあるものをすぐに見抜き、ファニャーノの公式をこれらの積分の加法公式へと一般化しました。一世紀近くのち、ヤコビはその日を楕円関数の誕生日と呼びました。
八つに分ける ファニャーノの公式を、レムニスケート正弦で書きましょう。
$$\operatorname{sl}(2u)=\frac{2\operatorname{sl}(u)\sqrt{1-\operatorname{sl}(u)^4}}{1+\operatorname{sl}(u)^4}.$$曲線を八等分するには、中心から先端までの弧を二等分する点を見つければ十分です。先端は $r=1$ にあるので、$\operatorname{sl}(2u)=1$ となる $s=\operatorname{sl}(u)$ を探します。
$$1+s^4=2s\sqrt{1-s^4}.$$両辺を 2 乗し、$w=s^2$ とおくと、
