Euler's Eyes
2026-10-11
3 - 角度一章中的练习
练习和决议
下面的计算器逐步计算练习 29 到 33 的度、分和秒。先尝试解决它并用它来检查。
简化以下测量： a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$
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a) $31^{\circ}10^{\prime}$ · b) $47^{\circ}30^{\prime}$ · c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ · d) $111^{\circ}3^{\prime}$ · e) $31^{\circ}$
确定总和： a) $30^{\circ}40^{\prime} + 15^{\circ}35^{\prime}$ · b) $10^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime} + 15^{\circ}29^{\prime}20^{\prime\prime}$
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a) $46^{\circ}15^{\prime}$ · b) $26^{\circ}0^{\prime}5^{\prime\prime}$
确定差异： a) $20^{\circ}50^{\prime}45^{\prime\prime} - 5^{\circ}45^{\prime}30^{\prime\prime}$ · b) $31^{\circ}40^{\prime} - 20^{\circ}45^{\prime}$ · c) $90^{\circ}15^{\prime}20^{\prime\prime} - 45^{\circ}30^{\prime}50^{\prime\prime}$ · d) $90^{\circ} - 50^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime}$
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a) $15^{\circ}5^{\prime}15^{\prime\prime}$ · b) $10^{\circ}55^{\prime}$ · c) $44^{\circ}44^{\prime}30^{\prime\prime}$ · d) $39^{\circ}29^{\prime}15^{\prime\prime}$
确定乘积：a) $2 \times (10^{\circ}35^{\prime}45^{\prime\prime})$ · b) $5 \times (6^{\circ}15^{\prime}30^{\prime\prime})$
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a) $21^{\circ}11^{\prime}30^{\prime\prime}$ · b) $31^{\circ}17^{\prime}30^{\prime\prime}$
确定划分： a) $(46^{\circ}48^{\prime}54^{\prime\prime}) \div 2$ · b) $(31^{\circ}32^{\prime}45^{\prime\prime}) \div 3$ · c) $(52^{\circ}63^{\prime}42^{\prime\prime}) \div 5$
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a) $23^{\circ}24^{\prime}27^{\prime\prime}$ · b) $10^{\circ}30^{\prime}55^{\prime\prime}$ · c) $10^{\circ}36^{\prime}44{,}4^{\prime\prime}$
在以下情况下确定$x$的值：
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a) $20^{\circ}$ · b) $55^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ · d) $23^{\circ}$ · e) $25^{\circ}$
$\overrightarrow{Oa}$和$\overrightarrow{Ob}$是两条相反的共线射线。 $\overrightarrow{Oc}$ 是任意射线。角度 $a\hat{O}c$ 和 $c\hat{O}b$ 是否相邻？它们是补充吗？
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它们是相邻且互补的。
证明：如果两个角对角，则它们全等。
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这是与顶点相对的角度定理，如上所示：$x + z = 180^{\circ}$ 和 $y + z = 180^{\circ}$ 给出 $x = y$。
在以下情况下确定$x$的值：
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a) $25^{\circ}$ · b) $30^{\circ}$
在以下情况下确定$\alpha$的值：
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a) $(2x - 10^{\circ}) + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$，然后 $\alpha = 60^{\circ}$。
b) 在顶点对面：$3x - 15^{\circ} = x + 35^{\circ} \Rightarrow x = 25^{\circ}$，每个测量$60^{\circ}$； $\alpha$补充：$\alpha = 120^{\circ}$。
c) $x + y = 2x - y \Rightarrow x = 2y$；和$(4x - 2y) + (x + y) = 180^{\circ}$。因此，$y = 20^{\circ}$、$x = 40^{\circ}$ 和 $\alpha = 4x - 2y = 120^{\circ}$。
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a) $\alpha = 60^{\circ}$ · b) $\alpha = 120^{\circ}$ · c) $\alpha = 120^{\circ}$
如果$\overrightarrow{OP}$是角平分线或$A\hat{O}B$，则在以下情况下确定$x$：
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a) $x = 15^{\circ}$ · b) $x = 10^{\circ}$
练习 40 — 分类为真 (V) 或假 (F)
-
两个连续的角是相邻的。
Falso. 它们可能有共同的内部点（一个在另一个“内部”）。
-
两个相邻的角是连续的。
Verdadeiro. 它是相邻定义的一部分。
-
两个相邻的角以顶点相对。
Falso. o.p.v 角它们没有公共边。
-
顶点相对的两个角是相邻的。
Falso. 它们甚至不是连续的。
-
与顶点相对的两个角是连续的。
Falso. 一侧与另一侧相反；没有哪一方是共同的。
练习 41 — 分类为真 (V) 或假 (F)
-
两个补角相邻。
Falso. 补充只看措施；角度可以是任何地方。
-
两个互补角相邻。
Falso. 同上：参见练习 42。
-
两个相邻的角互补。
Falso. 总和可以是小于 $360^{\circ}$ 的任何值。
-
测量角度 $10^{\circ}$、$20^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$ 是互补的。
Falso. 该定义适用于两个角度（此外，总和为 $90^{\circ}$ 纯属巧合）。
-
测量角度 $30^{\circ}$、$60^{\circ}$ 和 $90^{\circ}$ 是补充的。
Falso. 也有三个角。
下图中的角互补吗？它们相邻吗？
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它们是互补的 ($60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$)，但不相邻。
计算下面情况中$x$的值，其中$m(r\hat{O}s) = 90^{\circ}$。
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$x = 10^{\circ}$，因为 $2x + 3x + 4x = 90^{\circ}$。
两个相邻角度的和为 $120^{\circ}$。计算每个角度的尺寸，知道其中一个角度的尺寸是另一个角度的三倍与 $40^{\circ}$ 之间的差。
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$40^{\circ}$ e $80^{\circ}$.
计算下列角的余角： a) $25^{\circ}$ · b) $47^{\circ}$ · c) $37^{\circ}25^{\prime}$
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a) $65^{\circ}$ · b) $43^{\circ}$ · c) $52^{\circ}35^{\prime}$
计算下列角的余角： a) $72^{\circ}$ · b) $141^{\circ}$ · c) $93^{\circ}15^{\prime}$
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a) $108^{\circ}$ · b) $39^{\circ}$ · c) $86^{\circ}45^{\prime}$
给定测量角度$x$，指示： a) 其补角； b) 其补充； c) 其补数的两倍； d) 补助金的一半； e) 您的补助金增加三倍； f) 补语的第七部分； g) 补充的第五部分； h) 第三部分的补集； i) 第五部分的补充三倍。
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a) $90^{\circ} - x$ · b) $180^{\circ} - x$ · c) $2(90^{\circ} - x)$ · d) $\dfrac{180^{\circ} - x}{2}$ · e) $3(180^{\circ} - x)$ · f) $\dfrac{90^{\circ} - x}{7}$ · g) $\dfrac{180^{\circ} - x}{5}$ · h) $90^{\circ} - \dfrac{x}{3}$ · i) $3\left(180^{\circ} - \dfrac{x}{5}\right)$
Exemplo如何翻译问题
调用角度 $x$。所以补码是$90^{\circ} - x$，补码是$180^{\circ} - x$。将句子翻译成方程。在练习 52 中，“角度超过 $76^{\circ}$ 中的补角”变为 $x - (90^{\circ} - x) = 76^{\circ}$，因此 $2x = 166^{\circ}$ 和 $x = 83^{\circ}$。
给出角的余角的两倍。
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$60^{\circ}$
确定角度的大小等于其补角的三倍。
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$67^{\circ}30^{\prime}$
计算四倍补角的角度。
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$72^{\circ}$
计算一个角度，知道您的补充的四分之一价值 $36^{\circ}$。
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$36^{\circ}$
超出补角 $76^{\circ}$ 的角是多少？
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$83^{\circ}$（在上面的示例中已解决）。
超过你的补充 $66^{\circ}$ 的角度是多少？
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$123^{\circ}$
确定一个角度，已知其补角超出角度本身 $70^{\circ}$。
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$55^{\circ}$
与其补数的三倍相加得到的角度是多少？$210^{\circ}$？
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$30^{\circ}$
角度超出补角 $48^{\circ}$。求这个角的补角。
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$111^{\circ}$（角度测量 $69^{\circ}$）。
角度的补角超出该角度$120^{\circ}$。确定角度。
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$30^{\circ}$
角的三次补数比该角的补数超出 $30^{\circ}$。确定角度。
看书上的解决办法
角度：$x$；补角：$90^{\circ} - x$；第三部分的补充：$90^{\circ} - \dfrac{x}{3}$。
$$\left(90^{\circ} - \frac{x}{3}\right) - (90^{\circ} - x) = 30^{\circ} \ \Longrightarrow\ \frac{2x}{3} = 30^{\circ} \ \Longrightarrow\ x = 45^{\circ}.$$Ver resposta
$45^{\circ}$
一个角的半补数的三倍的补等于该角的补数的三倍。确定角度。
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$80^{\circ}$
某个角的余数的补数超过 $85^{\circ}$ 中该角的二倍数的补数的三分之一。确定角度。
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$15^{\circ}$
两个角互补，其中一个角的补角与另一个角的补角之比为 $\dfrac{1}{8}$。确定这些角度。
看书上的解决办法
让 $x$ 和 $y$ 为测量值。补码：$90^{\circ} - x$；另补充：$180^{\circ} - y$。
$$x + y = 180^{\circ} \quad\text{e}\quad \frac{90^{\circ} - x}{180^{\circ} - y} = \frac{1}{8} \ \Longrightarrow\ 720^{\circ} - 8x = 180^{\circ} - y.$$对于 $y = 180^{\circ} - x$：$720^{\circ} - 8x = x$，然后是 $x = 80^{\circ}$ 和 $y = 100^{\circ}$。
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$80^{\circ}$ e $100^{\circ}$
两个角度的关系是$\dfrac{4}{9}$。作为其和的$130^{\circ}$，确定最小的补集。
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$50^{\circ}$（角度测量 $40^{\circ}$ 和 $90^{\circ}$）。
确定两个补角，并知道其中一个是另一个的三倍。
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$135^{\circ}$ e $45^{\circ}$
两个角互补。其中一个是另一个第四部分的补集。计算这些角度。
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$60^{\circ}$ e $120^{\circ}$
两个补角之比等于$\dfrac{2}{7}$。确定小数的补语。
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$50^{\circ}$（角度测量 $40^{\circ}$ 和 $140^{\circ}$）。
确定角的补角，已知该角与其补角之比等于$\dfrac{5}{4}$。
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$40^{\circ}$（角度测量 $50^{\circ}$）。
角的补角是其补角，即2到7。计算角度的大小。
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$54^{\circ}$
角的补数的三倍加上$50^{\circ}$，等于角的补角。确定角度的大小。
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$70^{\circ}$
确定两个补角的尺寸，知道其中一个的两倍，加上另一个的第七部分，结果为 $100^{\circ}$。
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$40^{\circ}$ e $140^{\circ}$
角度与其补码的第三部分之和得出 $46^{\circ}$。求这个角的补角。
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$156^{\circ}$（角度测量 $24^{\circ}$）。
确定两个互补角，使一个角的两倍加上另一个角的三分之一等于直角。
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$36^{\circ}$ e $54^{\circ}$
图中，角度 $x$ 是角度 $y$ 的六分之一，再加上角度 $z$ 的一半。计算角度 $y$。
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$x$ 和 $z$ 的顶点相对，因此 $z = x$。由条件可知，$x = \dfrac{y}{6} + \dfrac{x}{2}$，即$y = 3x$。 $x + y = 180^{\circ}$ 是 $4x = 180^{\circ}$、$x = 45^{\circ}$ 和 $y = 135^{\circ}$。
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$y = 135^{\circ}$
角度 $\alpha$ 和 $\beta$ 在顶点处相反。第一个由 $9x - 2$ 以度数表示，第二个由 $4x + 8$ 表示。确定这些角度。
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$16^{\circ}$ e $16^{\circ}$ ($x = 2$).
5条射线从同一点$V$出发，形成覆盖整个平面的五个角度，并且与数字2、3、4、5和6成比例。计算最大角度。
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$108^{\circ}$
证明与顶点相对的两个角的角平分线是相反的射线。 （使用 o.p.v. 角度图中的“x 和 y 的 角平分线”按钮。）
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角平分线形成$x/2 + (180^{\circ} - x) + x/2 = 180^{\circ}$角；两条同源且成$180^{\circ}$角的射线方向相反。
证明两个相邻补角的角平分线形成直角。
看书上的解决办法
假设： $r\hat{O}s$ 和 $s\hat{O}t$ 相邻且互补； $\overrightarrow{Ox}$ 和 $\overrightarrow{Oy}$ 他们的 角平分线。 论文： $x\hat{O}y$ 是直的。
令 $a$ 为 $r\hat{O}x$ 和 $x\hat{O}s$ 的度量，$b$ 为 $s\hat{O}y$ 和 $y\hat{O}t$ 的度量。然后
$$a + a + b + b = 180^{\circ} \ \Longrightarrow\ 2a + 2b = 180^{\circ} \ \Longrightarrow\ a + b = 90^{\circ},$$因此 $x\hat{O}y$ 是直的。
证明两个相邻且互补的角的角平分线形成的角为$45^{\circ}$。
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$a + a + b + b = 90^{\circ} \Rightarrow a + b = 45^{\circ}$.
两个相邻的角度之和为 $136^{\circ}$。 角平分线 形成的角度是多少？
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$68^{\circ}$
两个连续角的角平分线形成一个角$52^{\circ}$。如果其中一个的测量值是 $40^{\circ}$，则另一个的测量值是多少？
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$64^{\circ}$ 或 $144^{\circ}$，取决于角度是否相邻。