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定規とコンパスを使った作図

マークのない定規とコンパス。この 2 つの道具だけを使って、ギリシャ人は中点、垂線、平行線を極めて正確に作成しました。 発見者 古典的な構造は、ユークリッド の 原論 (紀元前 300 頃) の 垂直二等分線 と中間点 (命題 I.10) の 角の二等分線 にあります。 (I.9)、1 点による垂直(I.11およびI.12)、1 点による平行(I.31)。マークのない定規とコンパスのみを使用するというルールは、ユークリッドの最初の 3 つの公準から来ています。つまり、2 点を通る直線を引き、それを延長し、任意の中心と半径の円を描きます。 歴史 ギリシャ人にとって、 建設とは図面の形での実証であり、各段階はすでに証明された結果によって正当化される必要がありました。だからこそ、目盛り付き定規には価値がなかったのです。測定は概算であり、構築は保証です。 2,000 年以上にわたってこれらのツールに抵抗してきた 3 つの有名な問題は、あらゆる角を 3 等分すること、別の体積の 2 倍の立方体を構築すること、円と同じ面積の正方形を構築することです。 19 世紀、ピエール ヴァンツェル (1837) とフェルディナント フォン リンデマン (1882) は、定規とコンパスだけではこの 3 つが不可能であることを証明しました。 日常生活での応用 大工仕事と金属細工。 ドライポイント コンパスは中心をマークし、ピースを半分に分割し、直角を必要とせずに垂直を描きます。 技術図面。 CAD プログラムや GeoGebra の「垂直二等分線」、「角の二等分線」、および「垂直」ツールは、Euclid の構造を繰り返します。 ガーデニング。 2 本の杭と紐を使って、円形の花壇や壁に垂直な線を引くことができます。 4つの構造 各図で、点をドラッグして 1 ステップずつ進めます。本物の定規とコンパスを使って、紙の上で作図を繰り返します。 垂直二等分線 と中点 定義 · 垂直二等分線 線分$\overline{AB}$ の垂直二等分線 は、$\overline{AB}$の中点を通る垂線です。 垂直二等分線 上のすべての点は、$A$ および $B$ から同じ距離にあります。

October 12, 2026 読んだ
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6 章の演習 — 直角度

演習と解決策 189 $\overline{AH}$が$\triangle ABC$の$\overline{BC}$辺を基準とした高さである場合、次の場合の$\hat{B}$と$\hat{C}$を決定します。 解答を見るa) $\hat{B} = 70^{\circ}$ および $\hat{C} = 40^{\circ}$ b) $\hat{B} = 60^{\circ}$ および $\hat{C} = 40^{\circ}$ 190 以下の各ケースでは、ベース 二等辺三角形 $\overline{BC}$ があります。ベースの角度を決めます。 解答を見るa) $65^{\circ}$ b) $61^{\circ}$ 191 図の三角形$ABC$において、$\overline{AH}$が高さ、$\overline{BS}$が角の二等分線の場合、$B\hat{A}H = 30^{\circ}$と$A\hat{C}B = 40^{\circ}$から$B\hat{S}C$を求めます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 解答を見る$B\hat{S}C = 110^{\circ}$

October 11, 2026 読んだ
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投影と距離

太陽が頭上にある物体の影は正投影です。エンジニアはこのアイデアを、今日でも使用されている描画方法に変えました。 発見者 図形を平面に投影するという考えは古いものです。日時計はすでにノーモンの投影された影を読み取っていました。それを手法に変えたのが記述幾何学の創始者であるフランス人のガスパール・ モンジュ（1746～1818）です。モンジュは、平面図と立面図という 2 つの垂直面への正投影によってオブジェクトを表現し、紙の上での構築上の問題を解決しました。点から直線までの距離を垂線の長さとして表すのは、ユークリッドの原論の典型的な結果です。 ガスパール・モンジュ。Мурад Зиналиев · ウィキメディア コモンズ · CC BY-SA 4.0 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 モンジュは、メジエール陸軍学校の製図者として、1765 年頃に、長い計算をせずに要塞を計算する方法を開発しました。この方法は長年軍事機密とみなされていた。フランス革命後に初めて、新設されたパリ工科学校で公に教え、1799 に出版することができました。 日時計：文字盤に投影された棒（ノーモン）の影が時刻を示します。オイラーの目ブログのコレクション。 すべての建築計画と部品のすべての技術図面は今でもモンジュの予測に従っています。 3D モデリング プログラムは、投影を使用してオブジェクトの正面図、上面図、および側面図を生成します。 日常生活での応用 敷地図。 平面図は、住宅を地表面に正投影したものです。 正午の影 太陽がその高さにあるとき、傾いた棒の影は地面への投影であり、常に棒よりも小さくなります。 道路までの距離 家から直線の道路までの距離は、垂直線の最小の線分で測定されます。 等距離。 角の 2 つの壁から等距離にあるテーブルの場所は、それらの間の角度の 角の二等分線 上にあります。 出典: モンク (MacTutor) · 要素、命題 I.12。 理論と作図 定義 · 正投影 直線$r$上の点$P$の射影(直交)は、$r$から$P$を通る垂線が$r$を切った点$P^{\prime}$となります。 $P \in r$なら$P^{\prime} = P$。 セグメント $\overline{AB}$ ($r$ に垂直ではない) の $r$ への投影はセグメント $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ です。ここで、$A^{\prime}$ と $B^{\prime}$ は $A$ と $B$ の投影です。 垂直セグメントと斜めセグメント $r$ の外側の点 $P$ を介して、垂直線分 $\overline{PP^{\prime}}$ と斜線分 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$、… $r$ までを描きます。

October 11, 2026 読んだ
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垂線の存在と独自性

直線の外側の点から、直線に対する垂線を下げるにはどうすればよいでしょうか?これは、著者名が登録されている数少ない古い号の 1 つです。 発見者 プロクロスは、 直線の外側の点を通る垂線を引く問題の最初の研究はキオスのエノピデス (紀元前5世紀) であるとしています。オイノピデスは、 日時計の垂直棒であるグノモンにちなんで、この線を「グノモニック」と呼びました。古典的な解決策はユークリッドの原論にあります。命題 I.11 は垂線を直線上の点だけ上げ、I.12 は垂線をその外側の点だけ下げます。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ユークリッドの構造は単純です。点を中心として、直線を 2 点で切る円が描かれます。垂線はそれらの間の中点を通過します。証明では合同な三角形を使用します。これは前の章と同じ方法です。 外側の点は文字列の端から等距離にあります。それを中点に接続すると、垂線が作成されます。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 線分の中点を通る垂線垂直二等分線は、学校の幾何学をはるかに超えて重要性を増しました。 1854 では、 医師のジョン・ スノウ がロンドンのコレラによる死亡者数をマッピングし、各症例を最寄りの給水ポンプに関連付け、近隣を近接性によって分割しました。点間の 垂直二等分線 によって領域を分割すること (「ボロノイ図」) は、どの学校、病院、またはアンテナがどの住所にサービスを提供するかを決定するために今でも使用されています。 ジョン・スノウ。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 エッジへの最短経路 直線の外側の点からその点への最短経路は垂線です。プールの端まで泳ぐ人はこのラインに従います。 建物の高さ 高さは、傾斜した階段に沿ったものではなく、床に対して垂直に測定されます。 垂直二等分線. 2 つの学校から同じ距離にある必要があるバス停は、それらを結合するセグメントの 垂直二等分線 にあります。 携帯電話。 通常、携帯電話は最も近いアンテナに接続します。各アンテナの領域間の境界は 垂直二等分線 に従います。 出典: エノピデス (MacTutor) · 要素、命題 I.12 · 要素、命題 I.11。

October 11, 2026 読んだ
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定義 - 直角

壁、四角形、紙など、構築された世界は直角でいっぱいです。 発見者 直角は、 定義されるずっと前からエジプト人、バビロニア人、インド人、 中国人によって実際に使用されていました。バビロニアのタブレットプリンプトン 322 (紀元前 1800 頃) には、45、60、75 などの直角三角形を形成する数字のセットがリストされています。三角形 3-4-5 を拡大したものは 15 です。回 — そして中国語のテキスト周備素京は、三角形 3-4-5 についての有名な人物を紹介しています。厳密な定義はユークリッド (定義 I.10) によるもので、直線が他の直線と交わって等しい隣接角を形成するとき、 それぞれの直線は直線であり、 直線はもう一方に対して垂直です。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 エジプトの「ロープストレッチャー」は、12 個の結び目のロープを直角にし、三角形 3-4-5 を形成したとよく言われます。これは美しい話ですが、それを裏付けるエジプトの文書はありません。これは 19 世紀の歴史家による仮説として浮上しました。確実に知られているのは、エジプトの建築家が非常に正確に直角を作ったということです。 ピタゴラスの定理 (命題 I.47) のユークリッドの中国語文字付き図: 1607 でマッテオ リッチと徐光啓によって作成された要素の翻訳では、ギリシャ語のラベルが 10 個の天の幹になりました。ブログに掲載されていたオリジナルの教訓的なイラストを、オイラーの目コレクションの図に基づいて再デザインしました。 ユークリッドは直角をすべての角度を比較するための標準とし、第 4 公準ですべての直角は等しいと述べました。 垂直という言葉は、ラテン語のperpendiculum、つまり鉛直線に由来しています。 日常生活での応用 煉瓦職人のルール 3-4-5 壁の直角度を確認するには、一方の辺に 3 m、もう一方の辺に 4 m の印を付け、対角線が 5 m であるかどうかを確認します。 鉛直と水平 鉛直は垂直、水準器は水平を示し、この 2 つは垂直になります。 紙とキャンバス。 A4 シート、写真、キャンバスの角はまっすぐです。これにより、積み重ね、取り付け、位置合わせが可能になります。 交差点 直角に交差する道路は、ドライバーの視認性を高めます。 出典: 要素、定義 I.10 · バビロニア数学: プリンプトン 322 (MacTutor) · 中国数学 (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ