現代数学における最も重要な関係の 1 つは等価関係です。ちなみに、これらは数学の研究の大部分に登場します。 等価関係 前回の投稿では、次のようないくつかのプロパティを示しました。 反射性; 対称的。 推移的; 反対称。 それらの中には同値関係であることが必要なものもあります。 定義 (同値関係): 集合 $A$ 上の関係 $\mathcal{R}$ は、$\mathcal{R}$ が再帰的、対称的、推移的である場合、$A$ 上の同値関係であると言われます。 例 これを説明するために、次の例を見てみましょう。 例 1: $\Delta = \\{(x,x); x\in A\\}$ として定義された対角関係は、$A.$ に対する同値関係です。これは、$A$ に対する「最小の」同値関係です。 例 2: $A$ に対する関係 $A\times A$ は、$A.$ に対する「最大の」同値関係です。 例 3: $A=\mathbb{Z}$ とします。関係: $$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$ は整数の集合に対する同値関係です。 同値クラスモジュール R 定義 $\mathcal{R}$ を空でない集合 $A.$ に対する同値関係とする。 各 $a \in A,$ に対して、次のように定義される $A$ の部分集合 $$\overline{a} = \\{x \in A;\quad x \mathcal{R} a\\},$$ は要素 a モジュール $\mathcal{R}$ によって決まる同値クラスと言われます。