自然数について話すときは、自然数の公理的な定義が必要です。これを行うために、自然数の基本演算を定義する方法を示します。 ペアノ公理 最初に、自然数の集合 $\mathbb{N}$ を公理的に定義します。このようなプロパティを説明するには、0 (ゼロ) および s (後継) という記号を使用します。 (a) $0 \in \mathbb{N};$ ゼロは自然数の集合に属します。 (b) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \in \mathbb{N};$ 自然数のセットに属するすべての数値について、後続数は自然数に属します。 (c) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \neq 0;$ 自然数の集合に属するすべての数値について、後続する数値はゼロとは異なります。 (d) $\forall m,n \in \mathbb{N}\quad s(n)=s(m) \Rightarrow n=m;$ 自然集合に属する 2 つの数値のペアごとに、後続の数値が等しいということは、これらの数値が等しいことを意味します。 (e) $P(x)$ を $\mathbb{N}.$ の要素のプロパティとする: (i) $P(0);$ (ii) $\forall n \in \mathbb{N}, \quad P(n)\Rightarrow P(s(n))$ すると、すべての $n \in \mathbb{N}.$ に対して有効 $P(n)$ 公理$(e)$は帰納法として知られています。記号 $s(n)$ を $n + 1.$ として解釈すると、集合 $\\{0, 1, 2, \dots\\}$ は上記の性質を満たします。このような集合では帰納法則が成り立つことに注意するために、帰納法則が成り立たないと仮定します。次に、P(n) に値しない最小のものは $n$ です。