数論や算術では、加算、減算、乗算、除算などの演算を使用できます。集合論では、演算は和集合、積集合、差分です。それらの一部は前の投稿で定義されています。この投稿では、セット間の演算の結果について説明します。 セット間の違い まず、セットの違いについて説明します。これを行うには、次の定義に従います。 定義 (集合の差): A と B を 2 つの集合とし、集合 $A$ と $B,$ の差を表します。 $A \setminus B$ または $A−B,$ によるセットは、$A$ にあり、$B.$ にはない要素によって形成されます。象徴的に次のように書きます。 $$A - B = \\{x; \quad x \in A \wedge x \notin B\\}.$$ $A \subseteq B,$ の場合、集合 $B − A$ は B における A の補数とも言われ、 $A^c_B$で表されます。 $A$ がユニバースセット $U,$ に含まれている場合、その補数は $U$の$A$を単に と表記します。 $$A^c = \\{x;\quad x \notin A \\}.$$セット間の演算のプロパティ 定理 1 A、B、C を集合とする。それから： (a) 協会: $A \cup(B \cup C) = (A \cup B)\cup C$ $A \cap(B \cap C) = (A \cap B)\cap C.$ (b) 可換性: $A \cup B = B \cup A$ $A \cap B = B \cap A.$ (c) 分配率: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).$ (d) 冪等性: $A \cup A = A$ $A \cap A = A.$ (e) 相違点: $A − B \subseteq A$ $(A − B) \cap B = \emptyset.$ (f) 差分 1: $A − B = \emptyset \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B$ $A − (A − B) = B \quad \Leftrightarrow \quad B \subseteq A .$ $A$ と $B$ が同じユニバース セット U のサブセットである場合、次のようになります。 (g) モルガンの法則 $(A \cup B)^c= A^c \cap B^c$ $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c.$ (h) 追加: $(A^c)^c = A$ $A \cap A^c = \emptyset.$ (i) $B^c \subseteq A^c.$ の場合およびその場合に限り、$A \subseteq B$