牛顿是有史以来最伟大的天才，也是最幸运的：宇宙只有一个，而发现它的机会也只有一次。

— 约瑟夫-路易·拉格朗日，据同时代人记述

微积分之争

牛顿在 1665–1666 年创立了流数法，但没有发表。莱布尼茨在 1675 年独立地得到了微积分，并于 1684 年发表。最初几年里，没有人争执。1676 年，两人甚至通过亨利·奥尔登堡友好地通信，牛顿还把自己的想法藏在一个字谜里。

大约 1700 年，气氛开始恶化。牛顿的追随者暗示莱布尼茨抄袭了他在伦敦见过的手稿。莱布尼茨向皇家学会申诉，请求公正调查。皇家学会任命了一个委员会，并于 1712 年发表报告，裁定牛顿胜诉。

当时很少有人知道：皇家学会会长正是牛顿本人，报告也是他亲手写的。之后，他还匿名发表了一篇赞扬这份报告的书评。

今天的历史学家一致认为，两人是各自独立发明微积分的。牛顿先得到，莱布尼茨先发表，并创造了最终胜出的记号。这场争执代价高昂：出于民族自尊，英国数学家一百多年里坚守牛顿的小点记号，而欧洲大陆则借助莱布尼茨的 $dx$，在伯努利家族和欧拉手中突飞猛进。直到 1812 年，一群剑桥学生成立了分析学会，才把莱布尼茨的记号重新带回英国。

在莱布尼茨专题中可以看到这个故事的另一面。

牛顿力学的边界

两百多年里，牛顿定律似乎处处成立。20 世纪初，两大理论揭示了它的界限：

  • 相对论。 在接近光速时，时间和空间不再像牛顿所设想的那样是绝对的。在相对论中，运动时钟测得的时间间隔 $t'$，对于静止的观察者对应更长的时间间隔：

    $$t=\frac{t'}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$

    当速度 $v$ 远小于光速 $c$ 时，根号几乎等于 1，我们回到了牛顿的世界：$\displaystyle\lim_{v\to0}t=t'$。而当 $v\to c$ 时，差别无限增大。

  • 量子力学。 对于原子和粒子，明确的运动轨迹不再有意义。

这并不意味着牛顿在日常生活中是错的。对于桥梁、汽车、飞机和火箭，他的力学精确到至今仍是首选工具。相对论没有抹去牛顿，而是指明了他适用的范围。

纪念

牛顿安葬在威斯敏斯特教堂，与历代君王为邻。他的墓碑上刻着手持棱镜、反射望远镜和新铸钱币的小天使，还有一个标出 1680 年彗星轨迹的天球。

要点回顾

  • 按当时英国的历法，牛顿生于 1642 年；按我们的历法，生于 1643 年。
  • 22 岁时，因瘟疫隔离在家，他创立了二项式级数、流数法和颜色理论。
  • 二项式 $(1+x)^\alpha$ 对任意指数成立，只要 $|x|<1$。
  • 流数 $\dot x$ 度量变化率；面积是它的逆运算。
  • 牛顿法沿着切线逼近方程的根：$x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$。
  • 《原理》（1687）包含三大运动定律和万有引力定律。
  • 月球检验表明地球引力随距离的平方减弱。
  • 棱镜分开的是白光中本来就有的颜色，而不是制造颜色。
  • 牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。

资料来源： 手稿导读，牛顿项目 · MacTutor 传记。

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