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ジョン・ナッシュの生涯

年表 19286 月 13 日、アメリカ合衆国ウェストバージニア州ブルーフィールドに生まれる。 1945ピッツバーグのカーネギー工科大学に入学し、化学工学を学ぶ。のちに数学へ移る。 1948プリンストンに来る。仲間が「ナッシュ」と呼んだゲーム、今日のヘックスを考案する。 1950博士論文「非協力ゲーム」でナッシュ均衡を示す。「交渉問題」を発表する。 1951MIT の講師になる。 1956等長埋め込み定理を発表する。 1957MIT の物理学科の学生アリシア・ラルデと結婚する。 1958放物型方程式の正則性に関する結果を発表する。 1959初めて精神科に入院する。三十年にわたる病が始まる。 1994ジョン・ハーサニ、ラインハルト・ゼルテンとともにノーベル経済学賞を受ける。 2001アリシアと再婚する。映画『ビューティフル・マインド』が公開される。 2015ルイス・ニーレンバーグとともにアーベル賞を受ける。5 月 23 日、アリシアとともに交通事故で亡くなる。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1928–1945 ブルーフィールド鉄道と石炭の町で育つ。『数学をつくった人びと』を読み、フェルマーの小定理を独力で証明する。 1945–1948 ピッツバーグカーネギー工科大学で化学工学から数学に移り、交渉の考えを思いつく。 1948–1951 プリンストンヘックスを考案し、ナッシュ均衡をふくむ 28 ページの博士論文を提出する。 1951–1959 MITMIT で教える。埋め込み定理と放物型方程式の結果を証明する。1959 年、病が始まる。 1970–2015 プリンストン「ファイン・ホールの幽霊」として廊下をさまよい、1980 年代の終わりに回復する。 1994 ストックホルムジョン・ハーサニ、ラインハルト・ゼルテンとともにノーベル経済学賞を受ける。 2015 オスロルイス・ニーレンバーグとともにアーベル賞を受ける。帰国した 5 月 23 日、ニュージャージー州のタクシー事故でアリシアとともに亡くなる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 ブルーフィールドからプリンストンへ。ジョン・ナッシュの場所と、ノーベル賞・アーベル賞を受けに行った旅。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 14, 2026 読んだ
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ヘックス：なぜ先手が勝つのか

1948 年、プリンストンの数学棟の談話室では、教授や学生が午後にチェスや囲碁を打っていました。そこでジョン・ナッシュは新しいゲームを披露しました。盤はひし形で、ハチの巣のような六角形のマスで覆われています。赤と青の二人が交互に、一つずつ、空いたマスに石を置きます。石は二度と動きません。赤は上の辺と下の辺を赤い石の列でつなぎたい。青は左右の辺を青い石の列でつなぎたいのです。 仲間はこのゲームを「ナッシュ」と呼びました。彼は、デンマークのピート・ハインが 1942 年に Polygon という名前でこれを考案していたことを知りませんでした。1952 年、パーカー・ブラザーズ社が、今も残る名前で発売しました。ヘックス（Hex）です。 7×7 のヘックスの盤。赤の勝ち：黄色で強調した赤いマスの列が、上と下の辺をつないでいる。Euler’s Eyes 作図 引き分けは決してない 最初の驚くべき性質：ヘックスでは、埋まった盤には必ず勝者がいます。だれも列を作らずにすべてのマスを埋めることはできません。 直観はこうです。赤が上から下へ渡るのを止めるには、青は盤を端から端まで横切る「壁」が必要です。そして、一方の辺から他方の辺まで続く青いマスの壁は、まさに勝ちになる青い列です。赤が勝っていないなら、それは青にふさがれたからであり、ふさぐことは勝つことなのです。 これはマスが六角形であることによります。チェス盤のような正方形の盤では、二つのマスが角だけで接することがあり、色の違う二本の道が斜めに交差して、どちらも完成しないことがあります。六角形では各頂点で三つのマスが出会うので、そのような交差は起こりません。1979 年、数学者デイヴィッド・ゲールは、ヘックスに引き分けがないことがブラウワーの不動点定理と同値であることを示しました。ナッシュがゲームの均衡に使うのと同じ種類の結果です。 戦略の盗用 二つ目の性質はさらに奇妙です。ナッシュは、先手には必勝戦略があること、つまり完璧に打てば必ず勝てることを証明しました。しかし証明は、その戦略が何であるかを教えてくれません。戦略盗用と呼ばれるこの論法は、次のとおりです。 ゲームは有限で、引き分けがない。したがって二人のうちどちらかが必勝戦略をもつ。どの局面で何を打つかを決め、どんな守りに対しても勝ちを保証する規則である。 背理法のために、必勝戦略をもつのが後手だと仮定する。 すると先手はそれを「盗む」ことができる。最初に好きな手を打ち、あとは余分な石を無視して自分が後手であるかのようにふるまい、後手の必勝戦略に従う。 もし戦略が、余分な石のあるマスに打てと言ったら、どこか別のマスに打てばよい。その新しい石が余分な石になる。 ヘックスでは、盤上に石が一つ多くても不利になることはない。だから盗んだ戦略に従う先手は勝つ。 しかしこれは、後手が必勝戦略をもつという仮定に矛盾する。よって必勝戦略をもつのは先手である。 $$\boxed{\text{ヘックスでは、先手はいつでも勝てる。}}$$これは存在証明です。戦略が存在することは保証しますが、それを示しはしません。9×9 までの盤については、コンピューターが具体的な必勝戦略を見つけています。標準の 11×11 の盤については、だれも知りません。 パイ・ルール 先手が有利なので、ヘックスの大会ではパイ・ルールを使います。二人の子どもがパイを公平に分ける方法、一人が切り、もう一人が選ぶ、にならったものです。ヘックスでは、先手が最初の一手を打ち、後手はその手を色を入れ替えて引き取るか、そのままにするかを決めます。そこで先手は、よすぎず悪すぎない手を打つことになります。 練習問題：1×1 と 2×2 のヘックスの盤で、先手はどう勝つか。1×1 の盤では、ただ一つのマスが四つの辺すべてに接しているので、先手は最初の一手で勝ちます。2×2 の盤では、赤が先手なら、勝ちの一手はひし形の二つの鈍角の隅のマスのどちらかです。そのマスはもう一方の列の二つのマスの両方に接しており、青はそのうち一つしかふさげません。次の手で赤は列を完成させます。 練習問題：戦略盗用論法は三目並べで使えるか。チェスではどうか。三目並べでも石が一つ多くて不利になることはなく、論法は後手が必勝戦略をもてないことを示します。しかし三目並べは引き分けがありえて、実際、完璧に打てば引き分けになります。論法が保証するのは先手が負けないことだけです。チェスでは論法は最初から成り立ちません。駒が一つ多いことが不利になりうるからです。動かなければならないこと自体が不利になる、いわゆるツークツワンクです。 出典： David Gale、“The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem”、The American Mathematical Monthly 86（1979）· Martin Gardner、“The game of Hex”、Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions（Chicago、1988）所収 · Sylvia Nasar、A Beautiful Mind（Simon & Schuster、1998）、第 11 章。

October 14, 2026 読んだ
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ナッシュ均衡：だれも一人では得をしない

均衡点とは、ほかのプレイヤーの戦略を固定したとき、各プレイヤーの混合戦略が自分の利得を最大にするような n 組である。 — ジョン・ナッシュ、米国科学アカデミー紀要（1950） 1944 年、ジョン・フォン・ノイマンと経済学者オスカー・モルゲンシュテルンは『ゲームの理論と経済行動』を出版しました。トランプ遊び、戦争、市場といった戦略的な決定を数学に変える大著です。フォン・ノイマンの大きな結果は、二人のゼロサム・ゲーム、つまり一方の得が他方の損になるゲーム、たとえばチェスやポーカーに当てはまるものでした。しかし人生の大部分はそうではありません。貿易協定でも、交渉でも、交通でも、両者がいっしょに得をすることも、いっしょに損をすることもあります。 1949 年、21 歳の学生が、どんなゲームにも、何人のプレイヤーにも使えるアイデアを見つけました。 アイデア ゲームでは、各プレイヤーが戦略を選び、各自の結果は全員の選択によって決まります。ナッシュ均衡とは、ほかの人が戦略を変えないとき、どのプレイヤーも一人で戦略を変えて得をすることができないような戦略の組み合わせです。 記号で書きましょう。$s_i^*$ をプレイヤー $i$ の戦略、$s_{-i}^*$ をほかの人の戦略、$u_i$ をプレイヤー $i$ の利得とすると、 $$\boxed{u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*)\quad\text{すべてのプレイヤー }i\text{ とすべての戦略 }s_i\text{ について}.}$$均衡では、各自がほかの人のしていることを前提にして、できる最善のことをしています。だれも自分の選択を後悔しません。 広場かカフェか アナとブルーノは午後に会う約束をしましたが、場所を決め忘れ、二人とも携帯電話を持っていません。それぞれ広場かカフェに行けます。二人ともカフェのほうが好きですが、いちばん大事なのは会えることです。利得（先がアナ、後がブルーノ）は次のとおりです。 アナ / ブルーノ 広場 カフェ 広場 (2, 2) (0, 0) カフェ (0, 0) (3, 3) それぞれの組み合わせを調べましょう。（カフェ、カフェ）で、アナが一人で広場に変えると 3 から 0 になります。ブルーノも同じです。だれも変えたくない：均衡です。（広場、広場）でも、一人で変えるとそれぞれ 2 から 0 になります。これも均衡です！ 一方（広場、カフェ）では、アナはカフェに行けば得をするので、均衡ではありません。 このゲームには均衡が二つあり、一方は両者にとってもう一方よりよいものです。ナッシュの概念はどの組み合わせが安定かを教えてくれますが、そのどれが起こるかは教えてくれません。実際には、慣習や習慣、二人がいつも行く場所が決めます。 囚人のジレンマ ナッシュの論文と同じ 1950 年、ランド研究所の二人の研究者メリル・フラッドとメルヴィン・ドレシャーが、このアイデアを試すためのゲームを考え、数学者アルバート・タッカーがそれを二人の囚人の物語として語りました。警察が二人の共犯者を逮捕し、別々の部屋で取り調べます。それぞれ黙秘するか、相手を自白で売るかを選べます。刑期（年）は次のとおりです。 A / B 黙秘 自白 黙秘 (1, 1) (10, 0) 自白 (0, 10) (5, 5) 囚人 A の立場で考えましょう。B が黙秘するなら、A は黙秘で 1 年、自白で 0 年：自白のほうがよい。B が自白するなら、A は黙秘で 10 年、自白で 5 年：やはり自白のほうがよい。B が何を選んでも、A にとっては自白のほうがよいのです。 同じ推論が B にも当てはまります。ナッシュ均衡は（自白、自白）ただ一つで、それぞれ 5 年です。

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混合戦略：PK と指の偶奇当て

すべての有限ゲームには均衡点がある。 — ジョン・ナッシュ、博士論文「非協力ゲーム」（1950） ゲームによっては、各プレイヤーが決まった手を選ぶかぎり、均衡がまったくないものがあります。いちばん簡単なのは指の偶奇当てです。アナは「偶数」、ブルーノは「奇数」に賭け、それぞれ指を一本か二本出します。合計が偶数ならアナが 1 点、奇数ならブルーノが 1 点を得ます。各自の選択を指「一本」か「二本」にしぼると、利得は次のとおりです。 アナ / ブルーノ 1 本 2 本 1 本 (1, −1) (−1, 1) 2 本 (−1, 1) (1, −1) 四つの組み合わせを調べてみましょう。どの場合も、負けた側が手を変えれば得をします。決まった手では均衡はありません。もっともな話です。いつも同じ手を出す人は、相手に気づかれたとたんに負けるのです。 くじを引くのが最善の戦略 抜け道は混ぜることです。ある確率で、でたらめに選ぶのです。混合戦略とは、手の上の確率分布のことです。アナは確率 $p$ で指を 1 本、ブルーノは確率 $q$ で 1 本出し、互いに独立にくじを引くとします。 アナが 1 本出すと、期待利得は $q\cdot1+(1-q)\cdot(-1)=2q-1$。2 本出すと $q\cdot(-1)+(1-q)\cdot1=1-2q$ です。アナが二つの手を混ぜてもよいと思うのは、両方が同じ利得をもたらすとき、つまりブルーノがアナを無差別にするときだけです。 $$2q-1=1-2q\quad\Longrightarrow\quad q=\frac12.$$同じ理由で、ブルーノが混ぜるのは $p=\frac12$ のときだけです。ただ一つの均衡は、各自が 50% の確率で指を 1 本か 2 本出すことです。この混合に対しては、純粋でも混合でも、どんな戦略も相手に 0 より大きい期待利得を与えません。 ナッシュの定理 これが 1950 年の博士論文の大きな結果です。プレイヤーの数も手の数も有限なゲームには、混合戦略を許せば、ナッシュ均衡が少なくとも一つある。 証明には不動点定理を使います。混合戦略の各組み合わせに対して、各プレイヤーが自分の混合を利得の高い手のほうへ少しずらした別の組み合わせを作ります。これで、組み合わせの集合からそれ自身への連続関数が決まります。この集合は穴のない球のようなもので、ブラウワーの定理によれば、球からそれ自身へのどんな連続関数にも不動点、つまり関数が動かさない組み合わせがあります。動かない点とは、まさにだれも変えたくない組み合わせ、すなわち均衡です。 定理は均衡が存在することを保証しますが、それがただ一つだとも、計算しやすいとも言っていません。今日では、大きなゲームでナッシュ均衡を見つけることは、計算の上できわめて難しい問題になりうることが知られています。 PK 混合戦略のいちばん有名な例はスタジアムで起こります。PK では、キッカーがコースを選び、ゴールキーパーはボールを見る前に跳ばなければなりません。右利きのキッカーにとって得意なコースは自分の左、つまりキーパーの右です。ゴールの確率が次のとおりだとしましょう。 キッカー / キーパー キーパーが得意コースへ跳ぶ キーパーが反対へ跳ぶ 得意コースへ蹴る 60% 95% 反対へ蹴る 90% 70% 数字は丸めてありますが、ヨーロッパのサッカーの実際のデータに近いものです。キーパーが逆に跳べば、キッカーはまず外しません。得意コースはいちばん蹴りやすいコースですが、キーパーが方向を読んだときにいちばん止められやすいコースでもあります。

October 14, 2026 読んだ
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ナッシュ交渉解

古典的な経済問題に新しい扱いを与える。この問題は交渉や双方独占など、さまざまな形で現れる。 — ジョン・ナッシュ「交渉問題」（1950） 1948 年、まだカーネギー工科大学の学部生だったナッシュは、国際経済学の授業を受けました。彼が生涯で受けた唯一の経済学の授業です。そこから一つの問いを持ち帰りました。二人が交渉するとき、合意から生まれる利益をどう分けるのか。経済学者たちは、答えは双方の心理や手腕やはったりしだいで、一般には何も言えないと考えていました。ナッシュは、合意がいくつかのもっともな要請を満たさなければならないなら、ありうる答えは一つしかないことを示しました。論文はプリンストンに来る前に書かれ、1950 年に雑誌『エコノメトリカ』（Econometrica）に発表されました。 問題 二人、1 と 2 が合意を結べるとします。ありうる合意はそれぞれ、各自に効用で測った利得 $u_1$、$u_2$ をもたらします。合意しなければ、各自は元からもっていたものを保ちます。これが決裂点 $(d_1,d_2)$ です。合意に意味があるのは、各自に少なくとも合意しない場合と同じだけを与えるときだけです。 四つの要請 ナッシュは解に四つの性質を求めました。 効率性。 二人にとって同時によりよい別の合意があってはならない。 対称性。 状況が対称で、二人の可能性も決裂点も同じなら、二人の取り分は等しい。 不変性。 ある人の効用を別の尺度で測っても、セ氏をカ氏に換えるように、解は変わらない。 無関係な選択肢からの独立性。 ある問題の解がより小さな問題でも可能なら、それはやはり解である。だれも選ばない選択肢を取り除いても、合意は変わらない。 ナッシュの定理によれば、四つの性質をすべてもつ規則はただ一つです。決裂点からの利得の積 $$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$を最大にする合意を選ぶことです。 1000 円を分ける 二人が 1000 円を分けます。単位を 100 円として、合計を 10 としましょう。合意できなければ、だれも何も得られません：$d=(0,0)$。簡単のため、効用はお金そのものとします。1 が $x$ を受け取れば、2 は $10-x$ を受け取り、積は $$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$最大は $x=5$ です。それぞれ 5、つまり 500 円ずつ。対称な場合なので、驚くことではありません。 よい代わりの選択肢をもつ人が多くを得る 今度は 1 に代わりの選択肢があるとします。合意できなくても、よそで 4 を得られ、2 は相変わらず何も得られません。決裂点は $(4,0)$ です。決裂点からの利得は $x-4$ と $10-x$ で、積は $$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$ 決裂点からの利得の積 (x − 4)(10 − x)。x = 4 では 1 が合意から何も得ないので 0、x = 10 では 2 が何も得ないので 0 になる。最大値 9 は x = 7 にある。Euler’s Eyes 作図 最大は $x=7$ です。1 が 7、2 が 3 を受け取ります。どちらも合意しない場合より3 多く得ています。ナッシュ解は余剰を等分します。余剰とは、各自がすでに確保していた分を超えて合意が生み出す価値です。だから、よい代わりの選択肢をもつ人は多くを得るのです。それはただでもらえるものではなく、交渉の出発点なのです。

October 14, 2026 読んだ
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伸ばさずに曲げる：埋め込み定理

紙を一枚取ってください。破らず、伸ばさずに、円柱に丸めることができます。紙の上でしなやかな定規で測った距離は変わりません。しかし、しわを作らずにボールを包むことはできません。紙と球面では内在的な幾何が違うのです。ガウスは 1827 年、この違い、すなわち曲率は、曲面を伸ばさずに曲げても変わらないことを証明しました。 19 世紀、ベルンハルト・リーマンはさらに大胆な考えをもちました。曲面や、任意の次元の空間を、どこにも描かずに、内側での測り方だけで記述しようというのです。必要なのは、どんな曲線の長さをどう測るかを決める規則、計量だけです。一般相対性理論はこうして時空を記述します。まわりにより大きな空間を置かず、内側から記述するのです。 問い では、抽象的なリーマン空間はどれも、ふつうのユークリッド空間（次元はとても高いかもしれません）の中に、内側で測った長さが描いたものの上での長さと一致するように描けるのでしょうか。この「ゆがみのない描き方」を等長埋め込みといいます。この問いは半世紀前からあり、幾何学者たちはきわめて難しいと考えていました。 1953 年ごろ、MIT で、幾何学者ウォーレン・アンブローズは若い同僚の傲慢さにいらだち、ナッシュに挑みました。そんなに優秀なら、これを解いてみろ。ナッシュは賭けに乗りました。 例：円柱 簡単な場合で、等長埋め込みとは何かを見てみましょう。平面の帯に座標 $(u,v)$ とふつうの計量 $ds^2=du^2+dv^2$ があるとします。変位 $du$、$dv$ の小さな曲線の長さは $\sqrt{du^2+dv^2}$ です。帯を半径 $R$ の円柱に巻きます。 $$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$導関数は $$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内積は $$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$したがって円柱上でも $ds^2=du^2+dv^2$ で、帯の上とまったく同じです。巻くことは等長的です。曲面の上を歩くアリは何の違いにも気づかないでしょう。ただし注意してください。円柱をはさんで近くにある二点も、曲面に沿って歩けば遠いことがあります。埋め込みが保つのは曲面上の曲線の長さであって、空間を通る直線距離ではありません。 平坦トーラス 今度は難しい場合です。正方形の紙を取り、上の辺と下の辺を貼り合わせると円柱になります。次に円柱の両端を貼り合わせると、ドーナツ、すなわちトーラスになります。本物の紙でやると、しわが寄ります。ふつうのドーナツは外側で曲率が正、内側で負だからです。平らな正方形から作り、正方形の測り方を保ったトーラスを平坦トーラスといい、古典的な定理によれば、それは三次元空間に滑らかに、ゆがみなく描くことはできません。四次元ならゆがみなく収まりますが、三次元には収まりません。 ナッシュが証明したこと 1954 年、ナッシュは驚くべき結果を発表しました。埋め込みが一回だけ滑らかであればよい、つまり各点で接平面は定まるが曲率はなくてもよいなら、どんな曲面も三次元空間に等長的に置けるというのです。オランダのニコラース・カイパーが 1955 年に議論を完成させました。ナッシュ＝カイパーの定理により、平坦トーラスでさえふつうの空間に収まります。その代償は、ひだの上にひだが重なり、尺度がどんどん小さくなる、フラクタルのようなきわめて奇妙な曲面です。 平坦トーラスの三次元空間への等長埋め込み。2012 年に Hevea プロジェクトが計算したもの。曲面はしだいに小さくなるひだの上のひだで覆われている。ここに見えているのは最初の三層。Hevea プロジェクト、Romainbehar によるアップロード · Wikimedia Commons · CC0 1956 年、ナッシュはアンブローズが持ち出した場合、すなわち完全に滑らかな埋め込みの場合を発表しました。どんなリーマン多様体も、十分高い次元のユークリッド空間に等長的に置けるのです。そのために彼は方程式を解く新しい技法を考案しました。各段階で、前の段階で失われた滑らかさを補正する逐次近似の方法です。この技法はのちにユルゲン・モーザーが改良し、ナッシュ＝モーザーの方法として知られるようになり、今日では天体力学や、幾何学とは何の関係もない微分方程式の問題で使われています。 くしゃくしゃの紙 ナッシュ＝カイパーの定理には、ばかげて聞こえる帰結があります。平らな一枚の紙を、伸ばさずに、いくらでも小さな球の中に入れられるのです。無限に細かいひだを許しさえすれば。2012 年、フランスのチーム、Hevea プロジェクトが、平坦トーラスのそのような埋め込みを初めて計算し、それがどんな姿かを示す画像を作りました。 練習問題：半径 R = 1 の円柱で、点 (1, 0, 0) と (−1, 0, 0) の間の曲面上の道の長さはいくらか。直線距離は？二点は $u=0$ と $u=\pi$、同じ $v$ に対応します。曲面上を歩けば、長さは帯の上と同じで $\pi\approx3.14$。円柱を横切る空間の直線距離は $2$ です。埋め込みが保つのは前者で、後者ではありません。

October 14, 2026 読んだ
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熱方程式とド・ジョルジ＝ナッシュの正則性

1900 年、パリの国際数学者会議で、ダフィット・ヒルベルトは、20 世紀の数学を導くと彼が考えた 23 の問題を発表しました。第 19 問題は、平たく言えばこう問いかけます。変分法の「性質のよい」問題の解は、いつも滑らかな関数か。半世紀たっても、ある重要な種類の方程式について、この問いは未解決のままでした。1956 年、ナッシュは同僚からこの問題を聞き、取り組むことにしました。 熱方程式 いちばん簡単な例から始めましょう。とても長い金属の棒の、点 $x$、時刻 $t$ における温度を $u(x,t)$ とします。熱は熱いほうから冷たいほうへ流れ、温度はフーリエの熱方程式に従います。 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$ここで $\kappa>0$ は物質の拡散率です。この方程式は、ある点の温度は、まわりの平均より低ければ上がり、高ければ下がる、と言っています。 時刻 0 にすべての熱エネルギーが一点に集中していれば、$t>0$ での解はガウス関数 $$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}$$です。確かめましょう。$t$ で一回、$x$ で二回微分すると、 $$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$両者は等しくなります。釣鐘形の曲線は時間とともに広がって低くなり、面積は 1 のままです。エネルギーは保存され、広がっていきます。幅は $\sqrt t$ に比例して増え、アインシュタインのブラウン運動で進む距離とまったく同じです。偶然ではありません。熱は分子の揺れであり、熱方程式は遠くから見たランダムウォークを記述しているのです。 物質が不規則なとき ガウス関数にはすばらしい性質があります。初めの温度が無限に集中した尖った山であっても、どんな $t>0$ でも解は完全に滑らかです。拡散はすべてをならしてしまいます。 では、物質が一様でなかったら？ 銅や木やガラスのかけらを無造作に貼り合わせ、かけらごとに熱の伝わり方が違う板を想像してください。方程式は $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$となり、熱伝導率 $a(x,t)$ はかけらからかけらへ急に跳ぶことがあります。求められるのは、二つの正の限界の間にあること、$0<\lambda\leq a\leq\Lambda$ だけです。これほど不規則な係数では、解の公式はなく、解が導関数をもつかどうかさえはっきりしません。問いはこうです。温度は激しく変わりうるのか、それとも熱はやはりならすのか。 定理 ナッシュは 1957 年、熱はやはりならすことを証明しました。どんな次元でも、これらの方程式の解はヘルダー連続です。つまり、$\lambda$、$\Lambda$ と次元だけによる定数 $C$ と $0<\alpha\leq1$ があって、 $$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$物質がどれほど乱雑でも、温度は跳ぶことができません。ナッシュの証明はきわめて独創的でした。確率とエントロピーの考えを使い、熱を広がっていく質量として扱って、公式なしに解を制御したのです。この結果により、この種の方程式についてヒルベルトの第 19 問題は解決しました。

October 14, 2026 読んだ
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ジョン・ナッシュの遺産

統計的に見れば、66 歳の数学者や科学者が、研究を続けることによって以前の業績に多くを付け加えられるとは考えにくいだろう。しかし私はまだ努力を続けている。 — ジョン・ナッシュ、ノーベル財団のための自伝（1994） ジョン・ナッシュは、経済学と数学の二つの最高の栄誉であるノーベル賞とアーベル賞を、ともに受けたただ一人の人です。彼の仕事の二つの半分には、何の共通点もないように見えます。一方は人間の決定について、もう一方は曲面と方程式についてです。二つを結ぶのはスタイルです。だれもが不可能だと思っていた問題に、だれも思いつかなかったアイデアで挑むことです。 いたるところにあるゲーム理論 ナッシュ均衡は経済学の共通語になりました。同じ交差点の二つのガソリンスタンドがほとんど同じ値段をつける理由、だれも広告を出さなければ全員が得をするのに企業が広告を出す理由、気候の合意がこれほど難しい理由を説明してくれます。1990 年代、いくつもの国の政府が、携帯電話の周波数帯を、ゲーム理論で設計したオークションで売るようになり、数百億ドルを集めました。 生物学では、イギリスのジョン・メイナード＝スミスが 1970 年代に、進化もナッシュ均衡を生み出すことを示しました。集団の中で生き残る行動の戦略は、どんな突然変異も改善できない戦略なのです。政治学では、均衡は選挙や戦争や議会の投票を理解するのに役立ちます。計算機科学では、インターネットの経路制御や、デジタル市場のためのアルゴリズムの設計に現れます。1994 年以来、ノーベル経済学賞はゲーム理論の仕事に何度も与えられてきました。 純粋数学 埋め込み定理とナッシュ＝モーザーの方法は、幾何学と解析学を変えました。ナッシュが $C^1$ の場合のために考案した技法は、ロシアのミハイル・グロモフが凸積分と名づけたもので、「剛性と柔軟性」の現象という一つの分野全体を生み出し、2018 年には流体の乱流に関するラルス・オンサーガーの予想の証明に使われました。ド・ジョルジ＝ナッシュの定理は、複合材料や多孔質の媒質を記述する、不規則な係数をもつ微分方程式の現代理論の土台です。 病と回復 ナッシュは精神疾患についての教訓も残しました。三十年の間、彼は終わった人と見なされていました。ゆっくりとした部分的な回復は、統合失調症が必ずしも最終的な宣告ではないことを示しました。ノーベル賞のあと、彼とアリシアはよりよい治療と偏見の減少を訴えるようになりました。二人の息子ジョン・チャールズも数学者で、統合失調症を患っていました。 残ったもの ゲーム理論。 あらゆる種類のゲームに対するナッシュ均衡、混合戦略での存在、そして交渉解。 盤上ゲーム。 ヘックス、戦略盗用論法、そして不動点定理とのつながり。 幾何学。 $C^1$ と滑らかな場合の等長埋め込み定理、そして凸積分。 解析学。 ド・ジョルジ＝ナッシュの定理と、非線形方程式のためのナッシュ＝モーザーの方法。 応用科学。 経済学、進化生物学、政治学、オークション、計算機科学。 NSA への手紙 1955 年、ナッシュはアメリカ国家安全保障局（NSA）に手紙を書き、暗号方式を提案しました。2012 年になってようやく公開されたその手紙で、彼は、暗号を破るのにかかる時間が鍵の長さとともに指数関数的に増え、使うのにかかる時間はわずかしか増えないなら、その暗号は安全だと論じています。これはまさに現代の暗号の基礎にある考えであり、ナッシュはそれが計算の理論に現れる二十年近く前にこれを述べていたのです。 覚えておきたいこと ジョン・ナッシュは 1928 年から 2015 年まで生きた。おもな仕事は 20 歳から 30 歳の間に、プリンストンと MIT で行った。 ヘックスには引き分けがなく、先手はいつでも勝てる。これが戦略盗用論法である。 ナッシュ均衡では、だれも一人で変えて得をすることはない。囚人のジレンマのように、均衡が全員にとって悪いこともある。 すべての有限ゲームには混合戦略の均衡がある。指の偶奇当てでは、各自が 50% の確率でくじを引く。 ナッシュ交渉では、決裂点からの利得の積を最大にし、各自は決裂点の利得に余剰の一部を加えたものを受け取る。 どんなリーマン多様体もユークリッド空間にゆがみなく描ける。一階の滑らかさだけでよければ、平坦トーラスでさえふつうの空間に収まる。 不規則な物質の中でも、熱はならす。解はヘルダー連続である。 出典： Sylvia Nasar、A Beautiful Mind（Simon & Schuster、1998）· ジョン・ナッシュの自伝、ノーベル財団 · ナッシュの NSA への手紙（1955）、2012 年に同局が公開。

October 14, 2026 読んだ
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写真と画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ジョン・ナッシュの肖像、Peter Badge 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 2006 年のジョン・ナッシュ、ケルンにて、Elke Wetzig 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 平坦トーラスの等長埋め込み、Hevea プロジェクト、Romainbehar によるアップロード：元のページ · CC0。 ブログの図 表紙、ヘックスの盤、交渉における利得の積のグラフはオリジナルの図で、サイトの各言語の版があります。盤は架空の対局を示しており、赤が列を完成させています。 記録 ファイル data/nash_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後にあります。 ジョン・ナッシュの全トピック · ← ジョン・ナッシュの遺産

October 14, 2026 読んだ