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ジョン・ネイピアの生涯

年表 1550エディンバラ近郊のマーキストン城に生まれる。父アーチボルドは 16 歳。 1563母が亡くなる。13 歳でセント・アンドルーズ大学に入る。 1564 ごろ学位を取らずにセント・アンドルーズを去り、大陸で学ぶ。 1571スコットランドに戻る。 1572エリザベス・スターリングと結婚。ガートネスに移り、城を建てる。 1593『聖ヨハネの黙示録全体の明らかな発見』を出版。生前いちばん有名な本となる。 1594ファスト城に隠された宝を探す契約を結ぶ。 1596戦争のための「秘密の発明」を手稿に記す。 1608父の死により、マーキストンの領主となる。 1614『驚くべき対数規則の記述』を出版する。 1615ロンドンの教授ヘンリー・ブリッグスをマーキストンに迎える。 1617計算棒を紹介する『ラブドロギア』を出版。4 月 4 日に亡くなる。 1619息子ロバートが『驚くべき対数規則の構成』を出版する。 マーキストンの少年 ジョン・ネイピアは 1550 年、エディンバラから三キロあまりの小さな石の城、マーキストン塔で生まれました。父サー・アーチボルド・ネイピアはわずか 16 歳でした。一家はスコットランドの貴族で、名前はさまざまに綴られました。Napier、Napeir、Nepair、ラテン語では Neperus で、フランス語の Neper はここから来ています。 ネイピアが生まれ、亡くなったマーキストン塔。今はエディンバラ・ネイピア大学のキャンパスの中にある。Kim Traynor · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 当時のスコットランドは宗教戦争のさなかにありました。1560 年、議会はローマと決別してプロテスタントの宗教改革を受け入れ、カトリックの女王メアリー・ステュアートは数年後に退位させられます。ネイピアは熱烈なプロテスタントとして育ち、その信仰は彼の生涯を形づくりました。 母が亡くなった 1563 年、13 歳のジョンはスコットランド最古のセント・アンドルーズ大学に送られました。そこにいたのは短いあいだで、学位を取らずに去っています。叔父のアダム・ボスウェル司教が父に、息子を外国で学ばせるよう勧めており、その後の数年はおそらくフランスかネーデルラントで過ごしました。記録には場所が残っていません。1571 年には戻っていました。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1550–1563 マーキストンエディンバラ近郊のマーキストン塔で、16 歳の貴族の息子として生まれる。 1563 セント・アンドルーズ13 歳でスコットランド最古の大学に入り、学位を取らずに去る。 c. 1564–1571 ヨーロッパ大陸国外で学ぶ。おそらくフランスかネーデルラント。記録には場所がなく、地図上の点は目安にすぎない。 1574–1608 ガートネス家の領地に自分で建てた城に住む。黙示録について書き、対数の計算を始める。 1594 ファスト城ロバート・ローガンと、城に隠された宝を見つけて三分の一を受け取る契約を結ぶ。 1608–1617 マーキストンマーキストンの領主となる。対数を発表し（1614）、ブリッグスを迎え（1615）、『ラブドロギア』を出して 1617 年に亡くなる。 1615 ロンドングレシャム・カレッジでヘンリー・ブリッグスが本を読み、著者に会うためエディンバラへ向かう。 1617–1627 リンツケプラーが表を見て、亡くなったことを知らずに男爵へ手紙を書き、『ルドルフ表』で対数を使う。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 スコットランドでのネイピアの場所と、彼の表がロンドンとケプラーのもとへ渡った道のり。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 15, 2026 読んだ
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足し算でかけ算をする：二つの数列

2 のべきを一列に書き、その下に指数を書きます。 $$\begin{array}{c|ccccccccccc} 2^n & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024\\ \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}$$上の段は等比数列で、どの数も前の数の 2 倍です。下の段は等差数列で、どの数も前の数に 1 を足したものです。では $16\times64$ を計算してみましょう。16 の下は 4、64 の下は 6。足すと $4+6=10$。10 の上は 1024 です。たしかに $$16\times64=2^4\times2^6=2^{4+6}=2^{10}=1024.$$上でかけることは、下で足すことなのです。 これが法則 $2^a\times2^b=2^{a+b}$ であり、対数の考えのすべてです。 古い考え 紀元前 250 年ごろ、アルキメデスは『砂粒を数える者』で巨大な数を書く方法を考えたとき、すでにこの法則に気づいていました。1544 年、ドイツのミハエル・シュティーフェルは『算術全書』で、上のように二つの数列を並べ、等差数列での足し算は等比数列でのかけ算に、引き算は割り算に、2 で割ることは平方根をとることに対応すると書きました。

October 15, 2026 読んだ
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ネイピアの二つの点：対数の定義

ネイピアは、今日私たちが使う指数の記法をもっていませんでした。対数を定義するために彼が使ったのは運動の像で、それはニュートンとライプニッツが微積分を生み出すよりずっと前のことでした。 定義 二つの点が同時に出発すると考えます。一つ目の点 $P$ は長さ $10^7$ の線分 $AB$ を進み、各瞬間の速さは $B$ までの残りの距離に等しい。はじめは速く、しだいに遅くなり、決して到着しません。二つ目の点 $Q$ は果てしない直線を、いつも $P$ の最初の速さで進みます。 $P$ が $B$ から距離 $x$ のところにあるとき、$Q$ が進んだ距離が $x$ の対数である。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 なぜ $10^7$ なのでしょうか。ネイピアが求めたのは、天文学や航海で使われる正弦の対数でした。当時の正弦は 0 と 1 のあいだの数ではなく、分数を避けるため、大きな半径の円の半弦の長さでした。ネイピアは半径を $10^7$ にとったので、正弦は最大 8 桁の整数になりました。 今日の計算 微積分を使うと、この定義は微分方程式になります。$P$ の残りの距離を $x(t)$ とすると、速さは $-x'(t)=x(t)$、$x(0)=10^7$ です。解は $$x(t)=10^7e^{-t}.$$点 $Q$ は一定の速さ $10^7$ で進むので、$y=10^7t$ だけ進みます。$t$ を消すと $$\boxed{\operatorname{NapLog}(x)=10^7\ln\frac{10^7}{x}.}$$たとえば $P$ がちょうど半分まで来たとき、$x=5\,000\,000$ で $$\operatorname{NapLog}(5\,000\,000)=10^7\ln2\approx6\,931\,472.$$ネイピアの対数は $x$ が大きくなると小さくなり、$\operatorname{NapLog}(10^7)=0$ であることに注意しましょう。公式の中には数 $e\approx2.71828$ が隠れています。それに名前がつくのは一世紀以上あと、オイラーによってでした。ネイピアは一度もこの数を書きませんでしたが、彼の対数は、目盛りを別にすれば、$1/e$ を底とする対数なのです。 積が和になる 公式から、表を役に立つものにした性質が出てきます。$\ln$ は積を和に変えるので、

October 15, 2026 読んだ
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ブリッグスと常用対数

これらの数は、最も高名なマーキストン男爵ジョン・ネイピアによって最初に発明され、のちに彼自身の意見に従ってヘンリー・ブリッグスが改めた。 — ヘンリー・ブリッグス『対数算術』の扉（1624） ヘンリー・ブリッグスはロンドンのグレシャム・カレッジの幾何学教授で、イングランドで指折りの計算家でした。1615 年 3 月、彼は友人への手紙に、ネイピアの新しい対数のおかげで「頭も手も仕事でいっぱい」だと書き、その夏に会いたいと述べています。そのとおりになりました。マーキストンでの話し合いで、二人は表を二点変えればずっと実用的になると合意しました。1 の対数を 0 に、10 の対数を 1 にするのです。 10 を底とする対数 こう決めると、$x$ の対数は、$x$ を得るために 10 を何乗すればよいかを示す指数になります。 $$\log x=y\iff10^y=x.$$そして数列の法則が、じゃまな因数なしに成り立ちます。 $$\log(ab)=\log a+\log b,\qquad\log\frac ab=\log a-\log b,\qquad\log a^n=n\log a.$$log 2 を計算する ブリッグスはどうやってこれらの数を計算したのでしょうか。簡単な工夫が考え方をよく示してくれます。 $$2^{10}=1024\approx1000=10^3$$です。対数をとると $10\log2\approx3$、つまり $\log2\approx0.3$。よりよくするには余った分を使います。$2^{10}=10^3\times1.024$ なので $$\log2=\frac{3+\log1.024}{10}.$$1 にとても近い数では $\log(1+h)\approx0.4343\,h$ です。$h=0.024$ とすると $\log1.024\approx0.0104$ で、$\log2\approx0.30104$。正しい値は $0.30103$ です。ほかの対数もただで手に入ります。$\log4=2\log2\approx0.60206$、$\log8\approx0.90309$、$\log5=\log10-\log2\approx0.69897$。 ブリッグスはずっと先まで進みました。10 の平方根を 54 回続けて、それぞれ 30 桁以上の小数まで計算し、1 にきわめて近い数にたどり着きました。その対数 $1/2^{54}$ を、それが 1 をどれだけ超えるかと直接比べられるほどです。とてつもない仕事でしたが、彼はそれを手で行いました。 指標と仮数 10 を底にする大きな利点は、小数点の位置を動かしても、対数の整数部分しか変わらないことです。 $$\log2=0.30103,\quad\log20=1.30103,\quad\log200=2.30103,\quad\log2000=3.30103.$$整数部分の指標は、数が何桁かを表します。小数部分の仮数は、どれも同じです。だから 1 から 10 までの数の仮数の表が一つあれば、どんな数にも使えるのです。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 15, 2026 読んだ
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ネイピアの骨：棒でかけ算をする

対数は天文学の大きな計算のためのものでした。ふだんの計算のために、ネイピアは別のものを発明し、亡くなった年の 1617 年に、小さな本『ラブドロギア』（Rabdologia）で発表しました。ギリシア語の rhabdos（棒）と lógos（計算）から来た名前で、棒による計算という意味です。 棒 一本一本の棒は「骨」とも呼ばれました。いちばん高価なものは象牙でできていたからです。上端に 0 から 9 までの数字が一つあり、その下に、斜線で区切られた九つの小さなます目に、その 1 倍から 9 倍までが書かれています。十の位は斜線の上、一の位は下です。たとえば 7 の棒には $0/7$、$1/4$、$2/1$、$2/8$、$3/5$、$4/2$、$4/9$、$5/6$、$6/3$ とあります。 ケンブリッジのウィップル博物館にある、17 世紀のネイピアの骨と箱。Marsupium · Wikimedia Commons · パブリックドメイン かけ算のしかた $425\times6$ を計算するには、4、2、5 の棒を並べて 6 行目を見ます。 $$4\times6=24\ \to\ 2/4,\qquad2\times6=12\ \to\ 1/2,\qquad5\times6=30\ \to\ 3/0.$$次に、右から左へ斜めに足します。最初の斜めの列には 0 しかありません。二つ目には 3 と 2 があり、5 になります。三つ目には 1 と 4 があり、5。最後の列には 2 だけです。結果は $$425\times6=2550.$$斜めの列は、ふつうのかけ算の「繰り上がり」を自動的にしてくれます。それぞれの積の十の位が、次の積の一の位と同じ斜めの列に入るからです。斜めの列の和が 9 を超えたら、足し算と同じように、超えた分を次の列に送ります。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 何桁もある乗数 $425\times36$ のように何桁もある数をかけるには、6 行目と 3 行目を一つずつ読み、位をそろえて足します。

October 15, 2026 読んだ
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計算尺：すべる対数

対数表を使うには、まだ数を探し、足し、もう一度探さなければなりません。ネイピアから数年後、イギリス人たちは、対数を定規の上に置き、足し算を手で行えることに気づきました。 ガンターの目盛り 1620 年、ブリッグスのグレシャム・カレッジの同僚だった天文学者エドマンド・ガンターは、各数 $x$ が 1 の目盛りから $\log x$ に比例する距離にある定規を描きました。 $$x\text{ の位置}=L\cdot\log x.$$1 は始まりに、10 は終わりにあり、2 は全長の $0.301$、3 は $0.477$、5 は $0.699$ のところにあります。数は右へ行くほど詰まっていきます。かけ算をするには、ディバイダーを 1 から $a$ まで開き、その開きを $b$ から移します。距離が足されるので、先端は $a\times b$ に来ます。 $$L\log a+L\log b=L\log(ab).$$オートレッドの二本の尺 1622 年ごろ、牧師で数学者のウィリアム・オートレッドはディバイダーを不要にしました。同じ目盛りを二本並べ、一方を他方の上ですべらせるのです。$2\times3.5$ を計算するには、下の尺の 1 を上の尺の 2 の下に合わせ、下の尺の 3.5 の上にある上の尺の数を読みます。7 です。これが最初の計算尺でした。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 割り算は同じ計算を逆にするだけです。$8\div2.5$ なら、下の尺の 2.5 を上の尺の 8 の下に合わせ、下の尺の 1 の上を読むと 3.2。計算尺は小数点の位置を教えてくれません。答えが 3.2 なのか 32 なのか 0.32 なのかは、計算する人が知っていなければなりません。ブリッグスの対数の指標とまったく同じです。 20 世紀の計算尺。中央の目盛りが互いにすべり、透明なカーソルが読み取りを助ける。Jacek Halicki · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 三百五十年 計算尺には、平方、平方根、正弦、対数の目盛りが加わり、正確に読むための細い線の入ったガラスのカーソルがつきました。正しい桁は三桁で、ほとんどすべての工学にはそれで十分でした。橋も、飛行機も、発電所も、ロケットも、計算尺で設計されました。アポロ計画の技術者たちは計算尺を使い、宇宙船にも一本積まれていました。計算尺は、1972 年に関数電卓が登場すると、数年のうちに姿を消しました。

October 15, 2026 読んだ
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ジョン・ネイピアの遺産

対数の発明は、何か月もの仕事を数日に縮めることで、いわば天文学者の寿命を倍にした。 — ピエール＝シモン・ラプラスの言葉とされるもの これほど速く広まった発明はめったにありません。十年もたたないうちに、対数はイングランド、オランダ、ドイツ、イタリアで使われていました。三世紀半にわたり、対数は人類の主要な計算の道具でした。 ケプラー 最初の大きな利用者はヨハネス・ケプラーでした。1617 年にネイピアの表を見て大喜びし、1619 年にはスコットランドの男爵に感謝の手紙を書きましたが、相手がすでに二年前に亡くなっていたことを知りませんでした。そして 1620 年の『天体暦』を彼に献じました。ケプラーは自分でも対数表を計算し、1627 年の『ルドルフ表』で使いました。当時最も正確な惑星の位置表で、楕円軌道を裏づけるものでした。 自然対数 対数の数学は独自の道を歩みはじめました。1647 年、ベルギーのグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとその弟子アルフォンス・ド・サラサは、双曲線 $y=1/x$ の下の面積が対数のようにふるまうことに気づきました。$\ln$ と書く自然対数の底は $e\approx2.71828$ で、オイラーが研究し名づけた数です。それはネイピアの二つの点による定義の中に隠れていました。今日、対数は地震のマグニチュード、音のデシベル、化学の pH、コンピューターのメモリ、アルゴリズムの計算量の中に現れます。 『驚くべき対数規則の記述』の扉、エディンバラ、1614 年。著者は「マーキストン男爵、スコットランド人ヨハネス・ネペルス」と記されている。John Napier · Wikimedia Commons · パブリックドメイン そのほかの貢献 小数点。 小数は 1585 年にフランドルのシモン・ステヴィンが提唱していましたが、記法は複雑でした。ネイピアは『ラブドロギア』と『構成』で、25.803 のように整数部分を点で区切って数を書き、この習慣を広めるのに役立ちました。 球面三角形。 ネイピアは覚えやすい規則、円部の規則をつくりました。天文学と航海で使われる直角球面三角形の十の公式を、二つの文にまとめるものです。ネイピアの類比は、今も球面三角法の本に出てきます。 ネーパ。 通信で対数的な比を測る単位は、彼にちなんでネーパ（neper）と呼ばれます。月のクレーターにも彼の名がついています。 残ったもの 計算。 かけ算を足し算に、べきをかけ算に変える対数。 道具。 ネイピアの骨、プロンプチュアリ、そしてガンターとオートレッドを通じて生まれた計算尺。 記法。 小数点と「対数」という言葉。 三角法。 円部の規則とネイピアの類比。 科学。 ケプラーの表、航海、そしてその後三世紀の工学。 城をかこむ大学 ネイピアが生まれ、亡くなったマーキストン塔は今も残っています。1960 年代、エディンバラ市はそのまわりに技術カレッジを建て、ネイピアの名をつけました。今日それはエディンバラ・ネイピア大学となり、15 世紀の塔は現代的な建物にかこまれて、キャンパスの真ん中に立っています。 覚えておきたいこと ジョン・ネイピアは 1550 年から 1617 年まで生きた。二十年の計算ののち、1614 年に対数を発表した。 等比数列でかけることは、等差数列で足すことである：$2^a\times2^b=2^{a+b}$。 ネイピアは二つの動く点で対数を定義した。現代の言葉では $\operatorname{NapLog}(x)=10^7\ln(10^7/x)$。 ブリッグスとともに 10 を底とした：$\log1=0$、$\log10=1$。$\log2\approx0.30103$ は $2^{10}\approx10^3$ から出る。 ネイピアの骨は、九九の一行を読み、斜めに足すことでかけ算をする。 計算尺は、対数に比例する長さを足すことでかけ算をする。 出典： Julian Havil、John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）· Eli Maor、e: The Story of a Number（1994）· ネイピアの伝記、MacTutor。

October 15, 2026 読んだ
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画像クレジット

歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ジョン・ネイピアの肖像、作者不詳、1616 年、スコットランド国立美術館：元のページ · パブリックドメイン。 『驚くべき対数規則の記述』の扉、1614 年：元のページ · パブリックドメイン。 1614 年の表の一ページ：元のページ · パブリックドメイン。 ブリッグス『対数算術』の扉、1624 年、Phidus 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ウィップル博物館のネイピアの骨、Marsupium 撮影：元のページ · パブリックドメイン。 マーキストン塔、Kim Traynor 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 計算尺、Jacek Halicki 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図 地図、旅の経路図、対話型の図（二つの数列、二つの点、ブリッグスの目盛り、骨、計算尺）はオリジナルで、サイトのすべての言語で使えます。地図には OpenStreetMap のデータを使っています。 記録 ファイル data/napier_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。地図の各地点は data/viagens/napier.yaml にあります。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後にあります。 ジョン・ネイピアの全トピック · ← ジョン・ネイピアの遺産

October 15, 2026 読んだ
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ネイピアと対数：すばらしい省略

今では多くの生徒にとって、対数はおばけのようなものです。奇妙な言葉、どこからともなく現れる $\log$、そして覚えなければならない規則。17 世紀にはまったく逆でした。対数はヨーロッパの計算機であり、天文学者や航海者や会計係から何か月分もの仕事を取りのぞいてくれる道具だったのです。このサイトの以前の記事は、対数こそ mirabilis abbreviatio（すばらしい省略）のいちばん純粋な例だと書いていました。発明者自身も同じ意見でした。彼の本の題名は「すばらしい」という言葉で始まっているのです。 二列の数 その発想は、だれにでも書ける二列の数の中に、すでに隠れていました。 $$\begin{array}{c|cccccccccc} 2\text{ の累乗} & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512\\ \hline \text{指数} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array}$$上の列から二つの数、たとえば $8$ と $64$ を選びます。その下の数を見ると $3$ と $6$。たすと $3+6=9$。上にもどって $9$ の列を見ると $512$。たしかに $8\times64=512$ です。上のかけ算が、下のたし算になったのです。ドイツのミヒャエル・シュティーフェルは、1544 年の『算術全書』ですでにこのことに気づいていました。わり算はひき算に、平方根は $2$ でわることになります。 問題は、シュティーフェルの表がすきまだらけなことです。$8$ と $16$ のあいだにも、$64$ と $128$ のあいだにも何もありません。$3.1416\times2.7183$ のようなどんな数でもこの技が使えるようにするには、ずっと細かい列で表をうめる必要がありました。

October 13, 2026 読んだ