Euler's Eyes
2026-10-15
数学史
第 179 页，共 191 页
约翰·纳皮尔的遗产
对数的发明把几个月的工作缩短为几天，可以说使天文学家的寿命延长了一倍。
— 据说出自皮埃尔–西蒙·拉普拉斯
很少有发明传播得这样快。不到十年，对数就在英格兰、荷兰、德意志和意大利得到使用。三个半世纪里，它们是人类最主要的计算工具。
开普勒
第一位重要的使用者是约翰内斯·开普勒，他在 1617 年见到纳皮尔的表，欣喜不已。1619 年，他给这位苏格兰男爵写了一封感谢信，却不知道他已去世两年，并把 1620 年的《星历表》献给了他。开普勒自己编制了对数表，并在 1627 年的《鲁道夫星表》中使用。这部当时最精确的行星位置表证实了椭圆轨道。
自然对数
对数的数学有了自己的生命。1647 年，比利时人格雷瓜尔·德·圣文森特和他的学生阿方斯·德·萨拉萨发现，双曲线 $y=1/x$ 下的面积具有对数的性质。自然对数记作 $\ln$，底为 $e\approx2.71828$，就是欧拉研究并命名的那个数，它早已藏在纳皮尔用两个点给出的定义里。今天，对数出现在地震的里氏震级、声音的分贝、化学的 pH 值、计算机的存储和算法的复杂度之中。
其他贡献
- 小数点。 弗拉芒人西蒙·斯蒂文在 1585 年提倡使用小数，但记法很复杂。纳皮尔在《算筹术》和《构造》中用一个点把整数部分隔开，如 25.803，推动了这一习惯的传播。
- 球面三角形。 纳皮尔创造了便于记忆的圆部法则，把直角球面三角形的十个公式归结为两句话，用于天文和航海。纳皮尔比拟式至今仍出现在球面三角学的书中。
- 奈培。 电信中衡量对数比值的单位叫奈培（neper），以纪念他。月球上也有一座以他命名的环形山。
留下了什么
- 计算。 对数，把乘法变成加法，把乘方变成乘法。
- 工具。 纳皮尔算筹、速算盒，以及经由冈特和奥特雷德发展出的计算尺。
- 记号。 小数点和"对数"这个词。
- 三角学。 圆部法则和纳皮尔比拟式。
- 科学。 开普勒的星表、航海，以及此后三个世纪的工程。
要点回顾
- 约翰·纳皮尔生于 1550 年，卒于 1617 年。经过二十年计算，他在 1614 年发表了对数。
- 在等比数列中相乘，就是在等差数列中相加：$2^a\times2^b=2^{a+b}$。
- 纳皮尔用两个运动的点定义对数；用现代语言说，$\operatorname{NapLog}(x)=10^7\ln(10^7/x)$。
- 他与布里格斯一起采用了以 10 为底：$\log1=0$，$\log10=1$，由 $2^{10}\approx10^3$ 可得 $\log2\approx0.30103$。
- 纳皮尔算筹读出乘法表的一行，再沿斜线相加，就完成乘法。
- 计算尺把与对数成正比的长度相加，从而做乘法。
来源： Julian Havil，John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）· Eli Maor，e: The Story of a Number（1994）· 纳皮尔传记，MacTutor。