私たちはなぜ 10 ずつ数えるのでしょう？ おそらく指が 10 本あるからです。10 という数に特別なところはなく、どんな数でもどんな基数でも書けます。ライプニッツはこの考えを極限まで推し進めて問いました。すべての数を書くには、最低いくつの数字が必要か？ 答えは二つ、0 と 1 です。 位ごとに 2 倍 二進法で書かれた 0 から 32 までの数。ライプニッツが 1703 年にパリ科学アカデミーの紀要に発表した論文『二進法算術の解説』の表。ライプニッツ（1703） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 十進法では、位の値は 1、10、100、1000……で、各数字はその値を何回使うかを表します。二進法では、位の値は 1、2、4、8、16、32……で、各数字ははい（1）かいいえ（0）しか表せません。 $$10110_2=1\cdot16+0\cdot8+1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=22.$$添え字 $_2$ は、その数が二進法で書かれていることを示します。8 桁、つまり 8 ビットでは、位の値は 1 から 128 まで。書ける最大の数は $$11111111_2=128+64+32+16+8+4+2+1=255.$$ゼロも含めると $2^8=256$ 通りの数になります。コンピュータで 0 から 255 までのものが多いのはそのためです。 8 つのビットをオン・オフしてください 128 64 32 16 8 4 2 1 位の重みをオンにして、二進数の表記と十進数の和を追ってください。左に 0 を補っても値は変わらず、8 ビットの長さが保たれます。 コントロールを使うには JavaScript を有効にしてください。例と計算は本文にもあります。
1642 年、若きブレーズ・パスカルは、徴税官だった父を助けるために機械を作りました。この「パスカリーヌ」は歯車を回して足し算と引き算をしました。しかし掛け算をするには、足し算を手で何度もくり返さなければなりませんでした。 ライプニッツはパリでパスカリーヌを見て、さらに先へ進みたいと考えました。ひとりでに掛け算と割り算をする機械です。 掛け算は足し算と桁送り こつは学校で習う筆算と同じです。$23\times14$ を計算するには、14 を $4+10$ に分けます。 $$23\times14=23\times4+23\times10=92+230=322.$$4 を掛けるとは 23 を 4 回足すこと。10 を掛けるとは、数を 1 桁左にずらすだけです。だから、足し算が得意で桁送りもできる機械なら、どんな掛け算でもできるのです。 23 × 14 を 23 × 4 と 23 × 10 に分解する。図は計算を説明するもので、歴史上の機械の複製ではない。ブログのオリジナル図版。 段付き円筒 段つき円筒をそなえたライプニッツの計算機。ドレスデンの技術コレクションに展示されているもの。当時つくられたのは 2 台だけで、現存する唯一の 1 台はハノーファーのゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ図書館にある。Kolossos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 問題は、操作する人がもう一度入力しなくても、同じ数を何回も足せるようにすることでした。ライプニッツの解決策は段付き円筒（ドイツ語で Staffelwalze）でした。長さの違う 9 本の歯をもつ円筒で、階段が巻きついたような形をしています。 小さな歯車が円筒の横をすべります。歯車が「3」の高さにあれば、円筒が 1 回転するごとに 3 本の歯だけがかみ合い、歯車は 3 目盛り回ります。「7」の高さなら 7 目盛り回ります。つまり歯車の位置を合わせることで、機械に数字を記憶させるのです。クランクを 1 回まわすごとに、その数字がもう一度足されます。