E = mc²:質量に隠れたエネルギー
電気力学の論文から、もうひとつの帰結が思いうかびました。相対性原理とマクスウェルの方程式から、質量は物体に含まれるエネルギーの直接の尺度でなければなりません。この考えはおもしろくて魅力的です。でも、神さまがこれを笑って、私をからかっているのかどうかはわかりません。
— アルベルト・アインシュタイン、コンラート・ハビヒト宛の手紙(1905 年夏) 1905 年 9 月、相対性理論の論文の三か月後、アインシュタインは『物理学年報』にわずか三ページの補足を送りました。題名は問いの形でした。「物体の慣性はそのエネルギー含量によるか?」。答えはイエスで、言葉とちがう文字で書かれたその結論が、物理学で最も有名な式です。
$$\boxed{E=mc^2.}$$簡単にした議論 アインシュタインは、止まっている物体が、同じ瞬間に、反対向きに二つの等しい光のパルスを出すところを考えました。それぞれのエネルギーは $\frac E2$ です。パルスは打ち消しあうので、物体は止まったままです。ここまではふしぎなことはありません。物体はエネルギー $E$ を失いました。
同じ場面を、小さな速さ $v$ で通りすぎる人が見るとします。この観測者にとって、物体は前もあとも同じ速さ $v$ で動いています。けれども相対性理論によれば、前に出た光は少しエネルギーが大きく、うしろに出た光は少し小さく見え、$v$ が小さいとき合計は
$$E\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)$$になります。この観測者にとっても、全エネルギーは保存されなければなりません。物体は $E$ のほかに $E\frac{v^2}{2c^2}$ を余分に失っており、それは運動のエネルギー $\frac12mv^2$ から出たとしか考えられません。速さは変わっていないので、変わったのは 質量 です。
$$\frac12(\Delta m)\,v^2=E\,\frac{v^2}{2c^2}\quad\Longrightarrow\quad \Delta m=\frac{E}{c^2}.$$どんな形であれエネルギー $E$ を失った物体は、質量 $\frac E{c^2}$ を失います。アインシュタインは結論しました。「物体の質量はそのエネルギー含量の尺度である」。質量とは、たくわえられたエネルギーなのです。
それはどれくらいか 数 $c^2$ は巨大です。$(3\times10^8)^2=9\times10^{16}$ m²/s²。だから小さな質量が莫大なエネルギーにあたります。たった 1 グラムで、
$$E=0.001\ \text{kg}\cdot9\times10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\approx9\times10^{13}\ \text{J}.$$TNT 火薬約 2 万 1 千トン分のエネルギーで、広島の原爆より大きく、人口約 1 万人の町が一年に使う電気のすべてにあたります。
逆に、日常のエネルギーにあたる質量はばかばかしいほど小さなものです。1 リットルの水を 20 °C から 100 °C に温めると、水は約 335 000 J を得て、質量は
$$\Delta m=\frac{335\,000}{9\times10^{16}}\approx3.7\times10^{-12}\ \text{kg},$$およそ 10 億分の 4 グラム増えます。どんな秤も気づきません。だから何世紀ものあいだ、質量はぴったり保存されるように見えたのです。