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レオンハルト・オイラーの生涯

タイムライン 170715年4月、スイスのバーゼルに生まれる。 172013歳でバーゼル大学に入学。彼はヨハン・ベルヌーイに師事し始めた。 1727ロシアのサンクトペテルブルクの科学アカデミーに移る。 1735バーゼル問題を解き、ケーニヒスベルク橋を解析します。 1738彼は右目の視力をほぼすべて失っています。 1741プロイセン王フリードリヒ2世の招きでベルリンアカデミーに通う。 1748$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ が表示されるアナリシン インフィニットラムの紹介を公開します。 1750ゴールドバッハへの手紙の中で、彼は多面体 $V - A + F = 2$ の公式を述べています。 1766エカチェリーナ2世の招きでサンクトペテルブルクに戻る。白内障が左目に影響を及ぼします。 1771白内障の手術は失敗し、彼は実質的に目が見えなくなってしまう。働き続けてください。 178318 9月、サンクトペテルブルクで死去。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1707–1727 バーゼルスイスで生まれ育つ。13 歳で大学に入り、土曜日ごとにヨハン・ベルヌーイの指導を受ける。 1727 リューベック船でライン川を下り、馬車でドイツを横断し、リューベックからロシアへ船出する。 1727–1741 サンクトペテルブルク科学アカデミーで働く。バーゼル問題を解き、ケーニヒスベルクの橋を調べ、右目の視力を失う。 1741–1766 ベルリンフリードリヒ 2 世に招かれベルリンのアカデミーへ。『無限解析入門』を出版し、公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ を示す。 1766–1783 サンクトペテルブルクエカチェリーナ 2 世に招かれて戻る。ほとんど目が見えなくなっても、1783 年に亡くなるまで論文を口述し続ける。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 バーゼルからサンクトペテルブルクまで、オイラーの暮らした町。地点をクリックするか、旅をたどるを押してください。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 10, 2026 読んだ
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オイラーが私たちに残した言語

オイラーの影響の一部は、常に存在しているように見えるものにあります。彼は以下のものを作成または普及させました。 $f(x)$ は $x$ の機能を示します。 文字 $e$ は自然対数の底 $e \approx 2{,}71828$ を表します。 円周の長さと直径の比を表す文字 $\pi$ (記号は既に表示されています) 存在していましたが、それを広めたのはオイラーでした）。 $i$ は虚数単位、$i^2 = -1$。 $\Sigma$ は合計を示します。 等号と文字 π 記号にも誕生日があります。等号 $=$ は、ウェールズのロバート・レコードが 1557 年の著書『知恵の砥石』（The Whetstone of Witte）で、「は等しい」と何度も書かずにすむように考え出しました。同じ長さの二本の平行線を選んだのは、本人の説明によれば、これ以上等しいものはないからです。ギリシア語 periphéreia（円周）の頭文字である $\pi$ を今日の意味で初めて使ったのは、やはりウェールズのウィリアム・ジョーンズで、1706 年のことでした。オイラーは 1730 年代からこれを使い始め、彼の本によって標準になりました。 Euler’s Eyes は、オイラーの目を通して、歴史を通して、そして数学を通して数学を見るという考えから生まれました。 ラテン語とギリシャ語の原語。途中で多くの表記が意味を失いました。 ルート 正方形は、たとえば、 ラテン語ではradix quadratum で、正方形の辺です: 4 の根は の辺です。 面積 4 の正方形。 正方形の辺としての平方根。オイラーの目コレクション 基数 quadratum がどのようにして √ になったか (クリックして先に進みます) radix quadratum 4 aequalis 2: 「面積4の正方形の一辺は2に等しい」。 スクライブではrad quad 4 aq 2と略します。 これらはさらに短縮されて ra qua 4 aq 2 となります。 さらに: r q 4 aq 2。 r が数字を「飲み込み」、今日私たちが使用する記号 $\sqrt{4} = 2$ になるまで。 オイラーは大きな転換点のただ中に生きた。このサイトで私たちが伝えている方法では、数学は通過しました 5つの時代:

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バーゼル問題

1650 で、ピエトロ メンゴリは、逆二乗の合計がいくらになるかを尋ねました。 $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$ ベルヌーイは試みましたが、失敗しました。合計はゆっくりと増加します。10 項では $1{,}5498$ になります。 100 項では $1{,}6350$ が得られ、1000 項では $1{,}6439$ が得られます。誰もその番号を認識しませんでした 彼女は歩きました。図を参照してください。各バーは $N$ 項までの合計です。 部分和は、π²/6 に向かってますますゆっくりと上昇します。コントローラーをいじったり、100 万の用語をテストしたりできます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 1735 では、オイラーは大胆なアイデアを使用しました。多項式は根から書くことができます。彼は 関数 $\dfrac{\sin x}{x}$ にも同じことが当てはまり、$x = 0$ では $1$ に相当し、 でキャンセルされます。 $x = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$: $$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$ 図は、このアイデアが機能していることを示しています。青い曲線は $\dfrac{\sin x}{x}$ で、根は赤でマークされています。カーブ ゴールデンは括弧がいくつかある積です。因子の数を増やして、積が曲線に沿っていることを確認してください。

October 10, 2026 読んだ
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$e$という数字と複利

Banca、trapeza、mensa: 1450 と 1650 の間の最初のバンカーのテーブル。したがって、銀行と銀行という言葉が由来します。オイラーの目コレクション オイラーに到達する前に、$e$ という数字が銀行を通過しました。お金の語彙はラテン語に由来しています。 depositum (預けられたもの、ponere から)、creditum (信頼されたもの、credere から、信じること)、および 十郎（ジュス、ジュリスより右）。 R$ 100 が**100%/ 年**に適用されると想像してください。銀行が年末に一度だけ支払った場合、あなたは受け取ることができます。 R$200。しかし、1 年をいくつかの期間に分割し、利息を支払うとしたらどうなるでしょうか? 年間の期間 期間あたりの料金 アカウント 年末に 1 (年間) 100% $(1 + \frac{1}{1})^1 = 2$ R$ 200,00 2 (6 か月ごと) 50% $(1 + \frac{1}{2})^2 = 2{,}25$ R$ 225,00 4 (四半期ごと) 25% $(1 + \frac{1}{4})^4 \approx 2{,}4414$ R$ 244,14 12 (毎月) ≈ 8,33% $(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2{,}6130$ R$ 261,30 365 (毎日) ≈ 0,27% $(1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2{,}7146$ R$ 271,46 期間が $n$ の場合、大文字は $C_0$ になります。

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オイラーの公式と「最も美しい方程式」

数値 $e$ は次のように連続して書くことができます。 $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$ オイラーは指数に虚数を入れる勇気を持っていました。 $x$を$i\theta$に変更し、 $i^2 = -1$、$i^3 = -i$、$i^4 = 1$ を使用: $$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$ $i$ のない用語と $i$ の用語を分ける: $$e^{i\theta} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + i\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin\theta}$$ 括弧内の 2 つの系列は、まさにコサインとサインの系列です。これが公式です。 オイラー: $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$ 幾何学的には、$e^{i\theta}$ は半径 1 の円上を歩く点です。実数部は コサイン、虚数部はサインです。点の回転を確認してください。

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ばねと微分方程式

微分方程式とは、未知数が関数であり、その方程式がその関数を語る方程式です。 派生製品。オイラーはこの道筋を、今日でも私たちが使用しているスキームに体系化しました。つまり、現象を観察し、書きます。 方程式を解き、それを解く関数を見つけてグラフを描きます。 オイラーのスキーム:現象→微分方程式→解関数→グラフ。導関数は最大点と最小点も指します。オイラーの目コレクション 現象 1678 で、ロバート フックはバネの挙動をラテン語で要約しました: ut tensio, sic vis、「拡張であるため、強度もあります。」 $x$ によって引き伸ばされた定数 $k$ のバネが、 強さ$F = -kx$。 定数 k のバネに取り付けられた質量 m の物体。オイラーの目コレクション 質問: 各時間 t での位置を与える関数 x = x(t) は何ですか?オイラーの目コレクション F = m·a、F = −kx: 微分方程式が表示されます。オイラーの目コレクション 方程式。 ニュートンの第 2 法則 $F = m \cdot a$ により、加速度は次の導関数です。 位置、$x''$。それから

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ケーニヒスベルク橋とグラフの誕生

1652 のケーニヒスベルク、プレーゲル川とその島々。橋の数を数えることができます。メリアン・エルベン · パブリックドメイン ケーニヒスベルク市（現在のロシアのカリーニングラード）にはプレーゲル川が流れ、川は 2 つの川を形成しました。 島々。 7 つの橋が市内の 4 つの地域を繋いでいました。住民はそれが可能なのか疑問に思った 各橋を 1 回ずつ歩いて渡ってください。 答えを読む前に、自分で試してみてください。 どこから開始するかを選択し、橋をクリックして渡ります。 7を越えることができますか? このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 オイラーは、街路の形状、島の大きさ、橋の長さは重要ではないことに気づきました。 重要なのはどの地域がどの地域にリンクしているかだけです。彼は地図を点のある絵に置き換えた （地域）と路線（橋）。現在ではこれをグラフと呼びます。 オイラーの論文の元の図 (1736): 領域は A、B、C、D で、橋は a、b、c、d、e、f、g です。レオンハルト・オイラー · パブリックドメイン 今日は同じ問題を次のように描画します。 ケーニヒスベルクグラフ。赤い数字は、各地域に到達する橋の数を示します。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 さて、控除です。ツアーでは、地域を通過するたびに（開始または終了せずに） それ)、ブリッジを使用して入場し、別のブリッジを使用して終了します。そして中間地域からの橋がやってくる 常にペアで： 到着するブリッジの数は偶数でなければなりません。開始リージョンのみと、 到着ステージには奇数のブリッジが存在する場合があります。 結論：ツアー​​は最大でも 2 つの地域に奇数の橋がある場合にのみ可能です。 ケーニヒスベルクで数える: 地域 橋 偶数か奇数か？ クナイプホフ島 5 (a, b, c, d, e) 奇数 北岸 3 (a, b, f) 奇数 南岸 3 (c, d, g) 奇数 ロムセ島 3 (e, f, g) 奇数 奇数地域が4 つあるので見学は不可能です。オイラーは 1735 で議論を提示しました。 そしてこれは、 今日遅れている領域であるグラフ理論の最初の成果と考えられています。 GPS、ソーシャル ネットワーク、配送ルート。

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$V - A + F = 2$とサッカーボール

1750 では、オイラーは数学者クリスチャン ゴールドバッハへの手紙の中で、 凸多面体の頂点 ($V$)、辺 ($A$)、および面 ($F$): $$V - A + F = 2.$$ 指またはマウスで多面体を回転し、計算を確認します。 V、A、F はプログラムによって図面自体からカウントされます。いずれの場合も 2 となります。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 5 つの正多面体を確認してください。 多面体 $V$ $A$ $F$ $V - A + F$ 四面体 4 6 4 2 キューブ 8 12 6 2 八面体 6 12 8 2 十二面体 20 30 12 2 正二十面体 12 30 20 2 この公式を使えば、驚くべきことを推測することができます。 $p$ の五角形と $h$ を縫い合わせたボールを考えてください。 サッカーボールのように各頂点がちょうど 3 つの面の交わる点である六角形。 古典的な。五角形は何個必要ですか? 顔: $F = p + h$。 エッジ: 各五角形には 5 の辺があり、各六角形には 6 の辺があり、各エッジは 2 つで共有されます。 顔。次に$A = \frac{5p + 6h}{2}$。 頂点: 各頂点は 3 つの面によって共有されます。次に$V = \frac{5p + 6h}{3}$。 $V - A + F = 2$ に置き換えて、すべてに 6 を掛けます。

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合計から無限に多くの素数が得られる

ユークリッドは、紀元前 300 年頃に、素数が無限に存在することをすでに証明していました。 1737 オイラーで 素数を微積分に結び付ける、まったく異なる証明を発見した。 各素数 $p$ について、等比数列の和は次のようになります。 $$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$ これらの式を $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ に乗算すると、各項の積は次の形式になります。 $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$。つまりすべての自然数は積として単一の方法で記述されます。 素数の場合、各分数 $\frac{1}{n}$ は 1 回だけ出現します。 $$\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$ しかし、右側の合計は、 高調波系列、無制限に成長します: の条件 $\frac{1}{3}$ の $\frac{1}{4}$ 合計すると以上になります $\frac{1}{2}$、のそれら $\frac{1}{5}$ の $\frac{1}{8}$ また、それらの $\frac{1}{9}$ の $\frac{1}{16}$ また、など。有限の量があったとしたら、 素数の場合、左側は有限数の積、つまり有限数になります。矛盾： 無限の素数がある.

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素数ではなかったフェルマー数

ピエール・ド・フェルマーは、$2^{2^n} + 1$ という形式の数字はすべて素数であると信じていました。のために $n = 0, 1, 2, 3, 4$ の作品: 3、5、17、257、および 65 537 は素数です。次は $$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$ すべてのディバイダーを手動でテストするのは現実的ではありません。 1732 で、オイラーはこの数が割り切れることを示しました。 641による。これをエレガントに調べるには、641 の 2 つの書き方を使用します。 $$641 = 5 \cdot 2^7 + 1 \qquad\text{e}\qquad 641 = 5^4 + 2^4.$$ 641 による除算の余りを処理します (記号 $\equiv$ は「同じ余りを残す」という意味です): 4 段階の控除 (クリックして進みます) 1 つ目の方法は $5 \cdot 2^7 \equiv -1$ です。 4 乗: $5^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$。 2 番目の方法では、$5^4 \equiv -2^4$。 ステップ 2 をステップ 1 に置き換えます: $-2^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$、つまり $-2^{32} \equiv 1$。 したがって、$2^{32} + 1 \equiv 0$: 数値は641 の倍数となります。 実際には、4 294 967 297 = 641 × 6 700 417 となります。今日に至るまで、他の番号は知られていない トップ5を超えるフェルマープライムの。

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オイラーの定理と暗号

1763 では、オイラーは関数 $\varphi(n)$ (記号 $\varphi$ はガウスによって後から登場しました)、つまり $n$ と共通因数を持たない 1 から $n$ までの数の数を研究しました。 たとえば、$\varphi(10) = 4$ は、1 から 10 までは 1、3、7、9 のみが適しているためです。彼は、$a$ がそうではないことを証明しました。 $n$と共通因数があるので、 $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}.$$ $n = 10$ と $a = 3$ のアイデアを参照してください。数値 1、3、7、および 9 を 3 で乗算します。 $$3 \cdot 1 = 3, \quad 3 \cdot 3 = 9, \quad 3 \cdot 7 = 21 \equiv 1, \quad 3 \cdot 9 = 27 \equiv 7 \pmod{10}.$$ 10 時間時計では、3、7、または 9 を乗算すると、数値 1、3、7、および 9 のみがシャッフルされます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

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その他の貢献と遺産

その他の貢献 完全なリストは本一冊分になります。いくつかのハイライト: オイラーの直線: すべての三角形で 垂心、重心、外心 が揃います。 オイラー・マスケローニ定数: $\gamma \approx 0{,}5772$、調和系列の差 そして自然対数。 力学と流体: 流体と剛体の回転に関するオイラーの方程式。 変分計算: 現代物理学の基礎であるオイラー ラグランジュ方程式。 特殊関数: 階乗を非整数に拡張するガンマ関数。 思い出すために オイラーはバーゼル、サンクトペテルブルク、ベルリンの間に住み、ほとんど目が見えない状態で作品の半分を制作しました。 彼は数学に $f(x)$、$e$、$i$、$\Sigma$ という表記を与え、$\pi$ を普及させました。 $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ と $e^{i\pi} + 1 = 0$ が見つかりました。 彼は、複利から生じ、自然対数の底となる数字を $e = \lim (1 + 1/n)^n$ と名付けました。 $e^{rt}$ とその公式を使用してバネ方程式を解きました。解は正弦波です。 ケーニヒスベルク橋を使用して、彼はグラフ理論を作成しました。 $V - A + F = 2$ では、すべてのクラシック フットボールに 12 の五角形がある理由を説明しました。 彼は素数を計算に結び付け、今日のインターネットを保護する定理を作成しました。 すべてのトピックはレオンハルト・オイラーによる · ← オイラーの定理と暗号 · 画像クレジット→ 画像のクレジットと出典.

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