中心角

11 の章の演習 — 円上の角度

演習と解決策 377 以下の場合の角度$x$の値を求めます。解答を見るa) $35^{\circ}$ ・ b) $100^{\circ}$ ・ c) $60^{\circ}$ ・ d) $25^{\circ}$ ・ e) $50^{\circ}$ ・ f) $20^{\circ}$ 378 次の場合の円弧の値 $x$ を決定します。解答を見るa) $80^{\circ}$ b) $30^{\circ}$ c) $60^{\circ}$ 379 図中、$x$の値を計算します。解答を見るa) $35^{\circ}$ b) $10^{\circ}$ 380 図中、$\alpha$の値を計算します。解答を見るa) $65^{\circ}$ b) $50^{\circ}$ 381 図において、円弧の値$\overset{\frown}{ABC}$を計算します。解答を見るa) $130^{\circ}$ b) $245^{\circ}$ 382 図中、$x$を計算します。解答を見るa) $70^{\circ}$ b) $98^{\circ}$ c) $150^{\circ}$ 383 図では$\overset{\frown}{ABC} = 260^{\circ}$として$\alpha$の値を計算します。解答を見る$\alpha = 80^{\circ}$ 384 $x$の値を計算します。解答を見るa) $65^{\circ}$ b) $112^{\circ}$

October 11, 2026 読んだ

偏心角

角度の頂点が円の内側または外側にあり、中心または円上にない場合、その角度は偏心しており、その尺度は 2 つの円弧の平均になります。発見者偏心角の公式は原論には記載されていませんが、ユークリッドの命題III.20（内接角）とI.32（三角形の外角）を組み合わせたものから直接得られます。これらに関連する最も有名な問題の 1 つは、著者によるものです。1471 で、ドイツの天文学者レギオモンタヌスは、台座の上にある彫像が可能な最大の角度からどのくらいの距離から見えるかを尋ねました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインレギオモンタヌス。正体不明の記録者。スミソニアン博物館のコレクション · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史レギオモンタヌスの答えは外偏心角を使用しています。地面のどの位置からでも、彫像は 2 つのアーチの差の半分の角度で見えます。最も大きな角度は、足と像の頂上を通る円周が地面に接するときに発生します。これは、計算なしで解決された史上初の最大問題の 1 つでした。同じ理由がラグビーにも現れます。トライの後、キッカーはラインに沿って、可能な限り最大の角度からポストが見える点を選択します。日常生活での応用美術館目の上に掛けられた絵画を見るのに最適な距離は、レジオモンタヌスの問題からです。ラグビー。コンバージョンポイントの選択も同じ原則に従います。映画。最初の行では、スクリーンは大きく、しかし非常に傾いた角度から見られます。偏心した角度は、部屋の中央が最適な理由を説明します。写真。背の高い物体をフレームに収めるために、写真家はその物体が視野の最大の角度を占める点を探します。出典: Regiomontanus (MacTutor) · 要素、命題 III.20 · 要素、命題 I.32。理論と作図定理 · 内外偏心角内部: 2 つの弦が中心とは異なる内部の点で交差する場合、それらの間の角度は、弦とその反対側の頂点が見る円弧のセミソマを測定します: $x = \dfrac{a + b}{2}$。外側: 2 つの割線 (または接線、またはそれぞれ 1 つ) が外側の点から離れる場合、それらの間の角度によって、遮断された円弧の半差が測定されます: $x = \dfrac{a - b}{2}$。正当性。内角の場合、$x$ は、隣接しない 2 つの内角が内接する三角形の外角で、測定値は $\dfrac{a}{2}$ と $\dfrac{b}{2}$ です。海外では、$\dfrac{a}{2}$は内角$x$と$\dfrac{b}{2}$を持つ三角形の外角です。

October 11, 2026 読んだ

セグメント角度（半内接）

弦と接線の間の角度も円弧の半分を測定します。したがって、航海士が岩から逃げるために使用する有能な弓です。発見者セグメント角度の測定値は、命題III.32 の要素のユークリッド、の建設弓が使える — セグメントを特定の角度で見たときの点の位置 — は、 III.33。最もよく知られている実用的な用途には 2 つの名前があります: オランダ語ヴィレブロルド・スネリウス (1617) とフランス人ローラン・ポテノ (1692) は、2 つの可能な円弧を横切る 3 つの既知の点が見られる角度から自分の位置を発見するという問題を解決しました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインヴィレブロルド・スネリウス。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史スネリウス・ポテノット問題は、三角測量地図作成の基礎となりました。スネリウスはこれを使用してオランダの都市間の距離を測定し、地球の大きさを推定しました。 GPS が到着するまで、測量士や船員は 3 世紀以上にわたってそれを利用していました。沿岸航行の古い彫刻: 有名な塔や灯台は、船からの角度を測定するための基準として機能します。オイラーの目ブログのコレクション。航海士たちは、2 つの灯台を通過し、岩の周りを回る円弧を海図上に描く危険角と呼ばれる手法を編み出しました。六分儀でヘッドライト間の角度を測定することで、車長は自分が円弧の内側にいるのか外側にいるのか、つまり危険に近いのか遠いのかを知ることができます。日常生活での応用沿岸航行。危険角度は、GPS の代替として航海コースで今でも教えられています。地形。ポテノット問題は、3 つの既知のランドマークからフィールド内の点を特定します。ステージと観客。可能なアークには、ステージを同じ角度から見たすべての場所が表示されます。スポーツ。ゴール上のシュートにおいて、有能な弧はゴールと同じ開口部を持つポイントを示します。出典: 要素、命題 III.32 · 要素、命題 III.33 · Snellius (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ

内接角

内接角は、彼が見ている円弧の半分を測定します。特殊なケース、つまり半円に内接する角度が正しい場合は、タレスによるものと考えられています。発見者ギリシャの伝統では、半円に内接するすべての角度が正しいという発見はミレトス物語（紀元前6世紀）にあるとされています。ディオゲネス・ラエルシオは作家パンフィラの言葉を引用しながら、タレスは結果を祝うために牛を犠牲にしたと述べている。一般的な関係、つまり中心角が同じ円弧に内接する角の２倍であるという関係はユークリッドの原論の命題III.20であり、半円の場合はIII.31である。ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカジョルダーノ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインディオゲネス・ラエルシオ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史ドイツ語と英語の「タレスの定理」 (Satz des Thales) は、正確には半円の角度の定理であり、12 章で学習する平行線の定理ではありません。牛の物語はタレスの 8 世紀後に生きた作家によるものですが、ギリシャ人がその結果を驚くべき成果とみなしていたことを示しています。中心角と同じアーチに内接: 半径により 2 つの開口部を比較できます。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。ユークリッドの証明は、内接角の頂点を通る直径を追跡し、半径によって形成される二等辺三角形を使用します。同じ推論は命題 III.22 につながります。内接四角形では、対角の合計は 180° になります。日常生活での応用円盤の中心を見つけます正方形の角を端に当て、辺が円を切る位置に印を付けます。この部分が直径になります。他の場所でも繰り返します。 2 つの直径の交点が中心になります。劇場と映画館同じ円弧上の座席からは、同じ角度から舞台を眺めることができます。写真。 2 つの建物を同じ角度から見せるには、写真家はそれらを通過する円弧に沿って移動できます。サッカー。ゴールの開口部を同じ角度から見た点は円弧上にあります。出典: テイルズ (MacTutor) · 要素、命題 III.20 · 要素、命題 III.31。

October 11, 2026 読んだ

中心角は円の中心に頂点があり、その円弧と同じ大きさになります。この考えに基づいて、地球の大きさが測定されました。発見者中心角と円弧の関係は、ユークリッドの原論の命題III.26の基礎となっており、等しい円では、等しい中心角は等しい円弧に対応します。最も有名な使用法は、アレクサンドリア図書館の館長であるキレネのエラトステネス (紀元前276年～194年頃) によるもので、中心角から地球の円周を計算しました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインキレネのエラトステネス、後の芸術的表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史エラトステネスは、夏至の正午に太陽がエジプト南部のシエナの井戸の底を照らしていることを知っていました。同じ頃、アレクサンドリアではノーモンの影によって、太陽の光が1/50 後方からの角度（7,2°）で到達していることが分かりました。太陽の光線はほぼ平行であるため、この角度は 2 つの都市の間の地球の中心角に等しくなります。シエナ - アレクサンドリアの距離に 50 を掛けるだけです。目盛り付き円盤の中心から空の角度を測定する器具であるアストロラーベを持つ中世の学者。オイラーの目ブログのコレクション。 250 000 スタジアム付近の結果は実際の値に近いですが、彼が使用したスタジアムがどのくらいの長さであったかは正確には不明です。これは幾何学的な推論に基づいた初めての地球の測定でした。日常生活での応用円グラフ。 1801 でウィリアムプレイフェアによって考案され、合計の各部分を中心角で表します。25% は 90°です。時計の針。針の間の角度は中心です。 2h では 60° を測定します。観覧車。 12 個のキャビンが等間隔に配置されており、各キャビンは軸から測定して次のキャビンから 30 度離れています。速度計と圧力計指針が中心を中心に回転し、中心の角度が目盛りの値を示します。出典: エラトステネス (MacTutor) · 要素、命題 III.26 · ウィリアムプレイフェア (Wikipedia)。

October 11, 2026 読んだ

円弧の合同、加算、不等式

弧を度で測定することは今日ではあまりにも自然なことなので、それがどこから来たのか、つまり空の観察から来たのか忘れてしまいます。発見者バビロニアの天文学者は、空を横切る太陽の軌道を 12 個の星座と 30 個の部分に分け、合計 360 個にしました。ギリシャのニカイアのヒュパルコス (紀元前 2 世紀) は、この測定を幾何学に取り入れ、各円弧を対応する弦に関連付けた、知られている最初の弦表を作成しました、これが三角法の始まりです。クラウディウスプトレマイオスは、アルマゲスト (西暦 150 頃) の表を 0.5 度の和音で拡張しました。同じ円の円弧の比較と和はユークリッドの原論の第III巻に準拠しています。ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインクラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史古代の天文学者にとって、空は地球の周りを回転する大きな球体であり、星の位置はその上にある弧でした。円弧を追加し、それらを比較し、2 つが等しい時期を知ることは、カレンダーを作成し、日食を予測する人々の毎日の仕事でした。イスタンブールのタキ・アルディン天文台で 16 世紀のオスマン帝国のミニチュアの制作に取り組む天文学者。アストロラーベや天球儀などの機器は、空の弧を測定します。オイラーの目ブログのコレクション。プトレマイオスのテーブルは千年以上使用されました。インドの数学者は文字列を計算により実用的なサインに置き換え、イスタンブール天文台のようなイスラム世界の天文学者はこれらの表を採用して改良しました。サインという言葉は、アラビア語のジバの誤訳によってラテン語に伝わりました。日常生活での応用時計文字盤は 30°の 12 個の等しい円弧に分割されています。時針は毎時そのうちの 1 つを通過します。タイムゾーン。地球は 24 時間で 360°、1 時間あたり 15° 回転します。理論的には、各ゾーンは経度で 15° の弧に対応します。コンパスローズ。基点と側点は、円周を 45° の円弧に分割します。ピザとパイ。 8 個の等しいスライスに切断すると、エッジが 45° の 8 個の合同な円弧に分割されます。出典: ヒパルコス (MacTutor) · プトレマイオス (MacTutor) · タキアルディン (Wikipedia)。

October 11, 2026 読んだ