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章の演習 10 — 円周と円

演習と解決策 336 $AB = 3x - 3$ と $OA = x + 3$ が与えられた場合、中心円 $O$ の半径を決定します。 解答を見る$r = 12$ 337 円の半径は 16 cm、点は $P$ 中心から7cmの距離。間の距離を決定します $P$ そして周囲。 解答を見る9cm 338 次の場合の $x$ の値を決定します。 a) $s$ が $\overline{AB}$ に垂直である。 b) $\overline{PA}$ と $\overline{PB}$ は円の接線です。 解答を見るa) $x = 6$ b) $x = 9$ 339 以下の場合、$O$ を円の中心として $x$ の値を求めます。 解答を見るa) $125^{\circ}$ b) $145^{\circ}$ 340 図形の円周は外接線です。中心間の距離が28cm、半径の差が8cmの場合、半径を求めます。 解答を見る18 cm および 10 cm

October 11, 2026 読んだ
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接線セグメント - 外接する四角形

円の外側の点から2つの接線が出ており、その接点までの2つの線分は同じ長さになります。 発見者 接線セグメントの等価性は、外部点を通る接線の引き方を教えるユークリッドの原論の命題III.17の直接の結果です。ここから、 内接円を持つ四角形では対辺の和は等しいというピトーの定理が生まれます。フランスの技術者アンリ・ ピトー は、1725 でそれを発表しました (彼に関する好奇心については以下を参照)。この逆数 — 向かい合う辺の和が等しい場合、四角形は内接円周を持ちます — は 19 世紀に証明され、 通常はヤコブ シュタイナー によるものと考えられています。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アンリ・ピトー。作者不明 作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ジェイコブ・シュタイナー。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ピトーの定理の証明は、単純な性質がどのように多くの成果をもたらすかを示す良い例です。四角形の各頂点は円の外側の点であり、2 つの等しい接線セグメントを持っています。反対側を加算すると、各セグメントは各合計に 1 回だけ表示されます。 ピトーは職業的に数学者ではありませんでした。油圧工学者である彼は、フランス南部に水道橋と橋を建設し、 液体や気体の速度を測定し、現代の飛行機の動力にもなるピトー管を発明しました。 日常生活での応用 ベルトとプーリー 2 つのプーリーを包むベルトの直線部分は車輪に接しています。等しいプーリーでは、同じ長さになります。 自転車チェーン クラウンに接するように出発し、ラチェットに接するように到着します。 灯台の眺め 灯台の頂上から、丸い島に接する 2 つの視線は、その接点までの長さが同じです。 飛行機の速度 ピトー管は、定理と同じ技術者によって発明された、空気に対する飛行機の速度を測定するセンサーです。 出典: 要素、命題 III.17 · アンリ ピトー (Wikipedia) · シュタイナー (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ
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2 つの円の相対位置

2 つの円は、割線、接線、一方が他方の内側にある、または遠く離れていることができます。中心間の距離によってどちらが当てはまるかが決まります。 発見者 基本的なケースは次のとおりです 要素 の ユークリッド (紀元前 300 年頃): 2 つの異なる円が最大 2 点で交差します (命題III.10)、接触すると、接点は中心を結ぶ直線上になります (III.11 および III.12）。一世紀後、 ペルガのアポロニウス 彼は、この主題に関する最も有名な問題を提案しました。それは、3 つの円が与えられた場合、そのすべてに 4 番目の接線を引きます。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 アポロニウスの接線に関する本は紛失しました。 1600 では、 フランス人のフランソワ・ ビエットが定規とコンパスを使って解を再構築し、この問題はニュートン、オイラー、ガウスによって研究され始めました。一般に8 つの解決策があります。 フランソワ・ヴィエテ。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アイザック・ニュートン。ゴッドフリー・ネラー (1646–1723) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン レオンハルト・オイラー。ヤコブ・エマニュエル・ハンドマン (1718–1781) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン カール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アポロニウスの問題は 20 世紀に再び取り上げられました。3 つの既知のステーションまでの距離から点を見つけることは、この問題に関連しており、無線位置特定技術ではこの推論が使用されています。

October 11, 2026 読んだ
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直線と円の相対位置

直線は 2 点で円を切ることも、1 点で触れることも、遠くに通過することもできます。接しているだけの線が接線です。 発見者 タンジェントのプロパティは、ユークリッドによる原論の書籍 III に記載されています (紀元前 300 頃)。 命題 III.16は、半径に垂直な直線がその端で円に一点で接することを示し、命題 III.18はその逆、つまり接線が半径に垂直であることを証明します。 タンジェントという言葉は、ラテン語で「触れる」 を意味するタンジェレに由来します。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 命題 III.16 は、幾何学において最も長い論争の 1 つを引き起こしました。ユークリッドは、円と接線の間の「角度」は直線によって形成されるどの角度よりも小さいと述べています。この偶然の角度はゼロより大きく、どの角度よりも小さいという奇妙なことになります。 16 世紀にジャック・ ペルティエとクリストヴァン・ クラヴィオは、自分が本当にアングルなのかどうかを長年にわたって議論した。この問題は数世紀後にようやく解決されました。 クリストファー・クラヴィオ。アムステルダム国立美術館 · ウィキメディア コモンズ · CC0 接触までの半径は接線に垂直です。つまり、曲線、直線、中心の関係です。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 接線は微分積分の出発点でもありました。 17 世紀、フェルマー、デカルト、ニュートン、ライプニッツは、任意の曲線の接線を引く方法を探していました。その答えとして導関数が生まれました。 ピエール・ド・フェルマー。正体不明の画家 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アイザック・ニュートン。ゴッドフリー・ネラー (1646–1723) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 車輪が地面に接地している。 車輪は 1 点で道路に接触します。道路は車輪に接しています。 グラインダーからの火花。 火花は回転する石の接線から出ます。タイヤから出る泥も同様です。 スリングとハンマー投げ。 オブジェクトは放されると、円形のパスの接線に沿って進みます。 道路のカーブ。 エンジニアは、ステアリング ホイールに「衝撃」を与えないように、直線と曲線のセクションを接線方向に接続します。 出典: 要素、命題 III.16 · 要素、命題 III.18 · Clávio (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ
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定義と要素

すべての点が中心から同じ距離にあります。円の定義は直線上に収まりますが、数値 π は隠されています。 発見者 円は、メソポタミア (紀元前 3500 年頃) の車輪から石碑に至るまで、人類の歴史の中で最も古い形の 1 つです。厳密な定義はユークリッドによるものです（原論の定義I.15からI.18）： 内部の点である中心からすべての点が同じ距離にある直線によって限定される図形。彼の 3 番目の公準は、任意の中心と任意の半径を持つ円を描くことが可能であることを保証します。輪郭と直径の比を最初に正確に計算したのはアルキメデス (紀元前 3 世紀) です。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 すべての円は同じ形状を持ち、サイズのみが変わります。したがって、長さ$C$と直径$2R$の比率は常に同じであり、今日私たちがπと呼んでいる数です。バビロニア人は 3 または $3\tfrac{1}{8}$ を使用しました。ラインド・パピルスでは3,16に近い値が得られます。 広げると、円の直径は C = π · 2R の 3 倍強になります。ブログに掲載されていたオリジナルの教訓的なイラストを、オイラーの目コレクションの図に基づいて再デザインしました。 アルキメデスは、一方が内接し、もう一方が外接している 96 辺を持つ多角形間の円を囲み、π が $3\tfrac{10}{71}$ と $3\tfrac{1}{7}$ の間にあると結論付けました。 π という記号はウェールズ人のウィリアム・ ジョーンズが1706で使用し、 そしてオイラーによって広められました。

October 11, 2026 読んだ