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7 章の演習 — 注目すべき四角形

演習と解決策 224 以下の場合の$x$の値を求めます。 解答を見るa) $x = 120^{\circ}$ b) $x = 75^{\circ}$ 225 次の場合の四角形 $ABCD$ の角度を決定します。 解答を見るa) $130^{\circ}$、$70^{\circ}$、$95^{\circ}$、$65^{\circ}$ b) $55^{\circ}$、$105^{\circ}$、$70^{\circ}$、$130^{\circ}$ 226 次の場合の $x$ の値を決定します。 a) $PA = PB$; b) $AB = AD$ および $CB = CD$。 解答を見るa) $x = 35^{\circ}$ b) $x = 70^{\circ}$ 227 $\overline{AP}$と$\overline{BP}$が角の二等分線の場合、次の場合に$x$を求めます。 解答を見るa) $x = 70^{\circ}$ b) $x = 100^{\circ}$ 228 $\overline{AP}$ と $\overline{BP}$ が 角の二等分線 の場合、以下を決定します。 a) $\hat{C} + \hat{D}$; b) $\hat{C}$。$\hat{D}$ を $10^{\circ}$ だけ上回ります。 解答を見るa) $\hat{C} + \hat{D} = 220^{\circ}$ b) $\hat{C} = 125^{\circ}$

October 11, 2026 読んだ
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結果 — 中塩基

三角形の 2 つの辺の中点を接続します。線分は 3 番目の辺と平行で、その半分の大きさになります。 発見者 平均基底定理はユークリッドの原論の命題VI.2の特殊な場合であり、三角形の一辺に平行な直線が他の二辺を同じ割合で分割します。美しい結果は有名な著者によってもたらされました。 フランス人のピエール・ ヴァリニョン (1654 – 1722) は、任意の四角形の辺の中点を結ぶと、 常に平行線が得られることを示しました。その結果は彼の死後、1731 に掲載されました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ピエール・ヴァリニヨン。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ヴァリニョンは司祭であり、パリの数学教授であり、フランスでライプニッツ微積分の最初の擁護者の一人でした。 「バリニヨン平行四辺形」は平均底辺を直接適用したもので、その各辺は四角形の対角線で形成される三角形の平均底辺になります。 台形の底辺の平均は、底辺の平均に等しいため、Heron によって記録された台形の面積の公式、つまり底辺の平均に高さを掛けたものを説明します。 アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 はしご。 上に向かって狭くなる階段では、中央の段で最初の段と最後の段の平均が測定されます。 台形の棚。 側面が傾斜している本棚では、中央の棚は底部と上部の幅の平均になります。 屋根ハサミ。 2 つの屋根の中点を結ぶ水平部分はスパンの半分の大きさで、基礎と平行です。 図面の中点。 描画プログラムで中点を何らかの方法で接続すると、ヴァリニョンが予測したように、平行四辺形が生成されます。 出典: 要素、命題 VI.2 · ヴァリニョン (MacTutor)。 理論と作図 定理 · 三角形の底辺の真ん中 a) 線分の端点が三角形の 2 辺の中点にある場合、 その線分は3 番目の辺に平行であり、 その半分の長さを測定します。 $$(AM = MB,\ AN = NC) \Rightarrow \overline{MN} \parallel \overline{BC} \ \text{ e } \ MN = \frac{BC}{2}.$$b) 逆数: 一方の辺に平行な線分の一端が他方の辺の中点にあり、もう一方の端が 3 番目の辺の中点にある場合、その端は 3 番目の辺の中点になります。

October 11, 2026 読んだ
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長方形、ひし形、正方形

対角線は四角形について多くのことを物語ります。長方形では、それらは等しいです。ひし形では垂直。広場で、両方とも。 発見者 正方形の対角線上にある最も有名な文書は、現在イェール大学にある紀元前 1800 ～ 1600 頃のバビロニアの粘土板YBC 7289 です。対角線のある正方形と、誤差が 100 万分の 1 未満である $\sqrt{2}$ の値が表示されます。長方形とひし形の対角線の性質はユークリッドの原論の平行四辺形の定理に従います。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 タブレットに書かれた数字は60を基底として1;24,51,10、つまり$1 + \tfrac{24}{60} + \tfrac{51}{60^2} + \tfrac{10}{60^3} \approx 1{,}414213$となります。律法学者がそれをどのように計算したかは誰も正確には知りません。仮説の 1 つは、今日ではヘロン と呼ばれる逐次近似法を使用したということです。 アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 後にギリシャ人は、正方形の対角線と辺には共通の尺度がないことを発見しました。これは、$\sqrt{2}$ が分数ではないことを示す最初の既知の証拠です。ピタゴラス学派によるこの発見は、数と長さについての私たちの考え方を変えました。 日常生活での応用 正方形を確認します。 レンガ職人や大工は、形、ドア、絵画の 2 つの対角線を測定します。それらが同じであれば、平行四辺形は長方形になります。 フェンスと手すり。 金網はダイヤモンドを形成します。対角線を垂直にすると、キャンバスが破れることなく伸びることができます。 凧。 凧の交差した棒は対角線が直角です。 A4 用紙 辺の比率は正方形の対角線と同じ$\sqrt{2}$で、半分に折っても形状が保たれます。 出典: YBC 7289 および 2 のルート (MacTutor) · 要素、命題 I.34。

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平行四辺形の性質

対辺が等しく、対角が等しく、対角線が半分になります。平行四辺形は力と関節機構を表しています。 発見者 最初の性質はユークリッドの原論の命題 I.34 (c. 300 BC) にあります。つまり、平行四辺形では、向かい合う辺と角は等しく、対角線は同じ領域の 2 つの部分に分割されます。幾何学の外では、 平行四辺形はフランドルのシモン・ ステヴィン (1586) によって使用され、プリンキピア (1687) でアイザック・ ニュートンによって宣言された力の平行法則で名声を博しました。点に作用する は、それらによって形成される平行四辺形の対角線に相当します。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン サイモン・スティーブン。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アイザック・ニュートン。ゴッドフリー・ネラー (1646–1723) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ユークリッドの証明では、平行線と ALA の場合との間の交互の角度を使用して、対角線を描き、形成された 2 つの三角形を比較します。このスレッドが従うのと同じスクリプトです。 平行四辺形の対角線から、比較に使用された 2 つの三角形が明らかになります。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 1603 頃にクリストフ シャイナーによって発明されたパンタグラフは、平行四辺形を形成するヒンジ付きバーを使用して図面を別の縮尺にコピーします。つまり、平行四辺形が変形しても、対辺は平行のままです。同じ原理が多関節照明器具や機械機構にも見られます。 クリストフ・シャイナー。英語: en:Christoph Thomas Scheffler。ドイツ語: クリストフ・トーマス・シェフラーより。 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 力とベクトル 2 隻のタグボートが船を牽引する効果を調べるには、平行四辺形の法則を使用して力を加算します。 電気スタンド 多関節バーが平行四辺形を形成しているため、ランプは常に同じ傾きを保ちます。 車用ハサミ (ジャッキ)。 アコーディオン ジャッキは関節式の菱形です。ネジを回すと車が上がります。 斜め駐車 傾斜スペースは平行四辺形です。 出典: 要素、命題 I.34 · Stevin (MacTutor) · Sheiner (MacTutor)。

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台形の性質

台形には一対の平行な側面があり、多くのスロープ、屋根、ポケットに隠れている形状です。 発見者 この言葉の現代的な意味はポシドニウス (紀元前1世紀) とプロクロス (紀元5世紀) に由来しており、 ポシドニウスは一対の平行な辺を持つ四角形を、 持たない四角形から分離したと記録している。ユークリッドの場合、台形とは、正方形、長方形、ひし形、平行四辺形ではない四角形のことです。台形の面積、つまり底辺の平均と高さの積は、アレクサンドリアのサギ (西暦 1 世紀) の作品に登場します。 ポシドニウス、後の芸術的表現。Sailko · ウィキメディア コモンズ · CC BY 3.0 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 基底平均化の同じ考え方は、現代の微積分に到達した手法である台形則にも見られ、曲線の下の面積を台形の帯に分割して近似します。これは、単純な公式が存在しない領域を計算するために工学やコンピューターで使用されます。 2016 で、 歴史家のマチュー・ オッセンドライバーは、紀元前 350 から 50 の間にバビロニアの天文学者がすでに空中ブランコを使って木星が空を移動する距離を計算していたことを示しました。この推論は、ヨーロッパが 14 世紀になって初めて再発見することになります。 日常生活での応用 水路と側溝 用水路は傾斜した堤防が決壊しないように断面が台形になっています。 屋根と破風。 多くの屋根の側面の傾斜は台形です。 ステップとスロープ。 踊り場のあるスロープの側面は台形を形成します。 不規則な土地面積。 測量士は、台形定規と同様に、土地を短冊状に分割し、台形の面積を合計します。 出典: Proclus (MacTutor) · アレクサンドリアのヘロン (MacTutor) · Ossendrijver、Science (2016)。 理論と作図 性質 · 任意の台形 底辺 $\overline{AB}$ および $\overline{CD}$ を持つ台形 $ABCD$ では、底辺の各辺に隣接する角度は補足的です: $\hat{A} + \hat{D} = \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$ (平行線間の内部担保)。

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注目すべき四角形 — 定義

台形、平行四辺形、長方形、ひし形、正方形。名前は古いものですが、それぞれの意味は何世紀にもわたって変化してきました。 発見者 正方形と長方形はバビロニアの石板やエジプトの地域問題にすでに登場しています。この定義はユークリッド (原論の定義I.22) に由来しており、正方形、長方形、ひし形、ひし形を区別し、 他のすべての四角形を台形と呼びました。ユークリッドの命題 I.34 で初めて平行四辺形という言葉が登場します。現在使用されている、すべての正方形が長方形であるという包括的分類は、後述の好奇心旺盛な「時代とともに変化した定義」で説明されているように、19 世紀末に採用されました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 名前にはイメージが含まれています。トラペジウムは、ギリシャ語の「小さなテーブル」を意味するトラペジオンに由来します。 ロンボ、ロンボスから、音を立てて回転するコマ。 ロゼンジはフランス語のロザンジュに由来しており、紋章の芸術である紋章学に関連しています。 何世紀にもわたって、同じ名前が場所によって異なる意味を持ってきました。今日に至るまで、イギリス英語の台形はアメリカ英語の台形であり、その逆も同様です。これは、1795 のチャールズ ハットンの数学辞書に起因する変更です。 チャールズ・ハットン。ウィリアム G. ジャックマン (fl. 1841 – 1860) 別名ウィリアム G. ジャックマン。 W・G・ジャックマン; · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 警告標識。 ブラジルでは、黄色の警告標識は、頂点で支えられた菱形の四角形です。 床とタイル。 長方形と正方形が隙間なく平面を埋め尽くします。 スパンタグラフ ハサミ。 貨物エレベータ、折りたたみ式ゲート、多関節照明器具には、平行度を失うことなく変形する平行四辺形が使用されています。 画面 テレビの 16:9 形式と A4 サイズの用紙は、標準化された縦横比を持つ長方形です。 出典: 要素、定義 I.22 · 要素、命題 I.34 · チャールズ ハットン (MacTutor)。 理論と作図 定義 · 5 つの注目すべき四角形 これらはすべて平らな凸型の四角形です。 台形: 2 つの平行な側面 (底辺) があります。底辺以外の辺が合同であれば二等辺、 そうでなければ不等辺、 2 つの直角がある場合は長方形（または双長方形）になります。 平行四辺形: $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ と $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ の平行な対辺があります。 長方形: 4 つの合同な角があります。 ひし形: 合同な 4 つの辺があります。 正方形: 4 つの合同な角と 4 つの合同な辺があります。

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四角形 — 定義と要素

4 つの辺、4 つの頂点、2 つの対角線。四角形は敷地、スクリーン、テーブル、窓にあります。 発見者 土地の四辺の面積を計算することは、エジプトとメソポタミアの書記官の仕事でした。エジプトのエドフ神殿（紀元前2世紀）の碑文には、4面の区画の面積に関する規則、すなわち、向かい合う2つの面の平均に他の2つの面の平均を掛けるという規則が記録されています。このルールは長方形の場合にのみ正確であり、他の場合には面積を過大評価します。幾何学的な定義 — 4 本の直線で制限された図形 — はユークリッド に由来します (原論 の定義 I.19)。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 エドフの財産は寺院への寄付であり、形が不規則でした。筆記者のルールは実用的で、ほぼ長方形の地形に対して妥当な値を与えましたが、限界が示されました。角度と対角がなければ、4 つの辺は四角形を決定しません。同じ 4 つのバーのフレームは、正方形または平らなひし形になることがあります。 ギリシャ人は四角形を対角線で２つの三角形に分割することで問題を解決しました。 7 世紀、 インドのブラフマグプタ は、4 つの辺だけを使って円に内接する四角形の面積の正確な公式を発見しました。 日常生活での応用 都市用地。 聖書には土地が 4 つの側面と角度で描かれています。面積は敷地を三角形に分割して計算されます。 ゲートと棚。 ヒンジ付きバーの四角形が変形します。対角線（「フレンチハンド」のような）がそれを止めます。 凧 多くの凧は、2 組の連続した等しい辺 (三角筋) を持つ四角形です。 画面とシート A4 用紙、カード、携帯電話の画面は直角の四角形です。 出典: 要素、定義 I.19 · エジプト数学 (MacTutor) · ブラフマグプタ (MacTutor)。 理論と作図 定義 · 四角形 $A$、$B$、$C$、および $D$ を同じ平面上の 4 つの点とし、すべて別個であり、3 対 3 が同一線上にありません。線分 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DA}$ が端部のみで交差する場合、 それらの会合は四角形になります。 $$ABCD = \overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}.$$セグメントは側面です。 $\hat{A} = D\hat{A}B$、$\hat{B} = A\hat{B}C$、$\hat{C} = B\hat{C}D$、$\hat{D} = C\hat{D}A$ は角度です。 $\overline{AC}$と$\overline{BD}$ は対角線です。四角形は凸型でも凹型でも構いません。

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