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読み方: 第 5 公準

補足資料 補足資料 第 5 の公準 平行公準は 原論 の 5 番目の公準です。古代以来、多くの数学者はこの理論を信頼していませんでした。それは明白な真実というよりは定理のように思え、数世代にわたって他の 4 つの理論からそれを証明しようとしました。すべての試みは失敗に終わりました。そして 19 世紀に、ガウス、ボリャイ、ロバチェフスキーがその理由に気づきました。第 5 公準を「ある点を通過し、いくつかの平行線が通過する」に変更すると、ユークリッドの幾何学と同じくらい一貫した幾何学、双曲幾何学が得られます。この中で、三角形の角度の合計は180° より小さくなります。ユークリッドの公準は論理的な必然性ではありません。それは私たちの日常生活の形状を定義する選択です。 カール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ヤノス・ボリャイ、フェレンツ・マルコスによる想像上の肖像画 (2012)。フェレンツ・マルコス · ウィキメディア コモンズ · CC BY-SA 3.0 ニコライ・ロバチェフスキー、レフ・クリュコフ作の肖像画。レフ・クリュコフ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

October 11, 2026 読んだ
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5 章の演習 — 並列処理

演習と解決策 130 線分$a$は線分$b$と平行なので、以下の場合は$x$を求めます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 解答を見るa) $50^{\circ}$ b) $60^{\circ}$

October 11, 2026 読んだ
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三角形の結果

任意の三角形の内角の合計は 180° です。これはおそらくピタゴラスの次に最もよく知られた幾何定理です。 発見者 プロクロスは、ロードス島のエウデモスを引用しながら、 三角形の角度を足すと2 つの直角になることを最初に一般的に証明したのはピタゴラス派（紀元前6～5世紀）の功績であるとしています。解説者のジェミノは、古代人は正三角形、二等辺、不等辺角について別々に事実を証明していたと付け加えた。私たちに降りてきたバージョンはユークリッドの原論の命題I.32であり、これも外角が隣接しない2つの内角の和に等しいことを証明しています。 ロードス島のエウデモスの作とされるアテナイの学堂の人物。不確かな身元確認。ラファエル・サンツィオ; Jic と FranksValli による複製の切り抜き · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 証明では辺の 1 つに平行なものを使用するため、第 5 の公準に依存します。これは詳細ではありません。非ユークリッド幾何学では、三角形の角度の合計は 180° とは異なります。たとえば、球の表面では、球は常に大きくなります。 ピタゴラスは、フランスのシャルトル大聖堂の王室門の彫刻にリベラルアーツの人物とともに表現されています（12世紀）。オイラーの目ブログのコレクション。 ルジャンドルは 18 世紀末に、第 5 公準がなければ和が 180° を超えることはなく、単一の三角形の和が正確に 180° であれば、すべての三角形が 180° を超えることを証明しました。と言われています ガウス、ドイツの 3 つの山の間にある大きな三角形を測定するとき、彼はその和が 180 度であるかどうかを確認したでしょう。歴史家たちは、これが意図されたのかどうかについて議論しています。 アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ジュリアン＝レオポルド・ボイリーの風刺画。ジュリアン＝レオポルド・ボイリー · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン カール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 角を切り取る 紙を三角形に切り抜き、3 つの角を切り取ってつなぎ合わせます。浅い角が形成されます。 屋根。 屋根の傾斜 (例: 30°) とハサミの上部が対称であることがわかっているため、大工は上部の角度を計算します: 120°。 地形 三角形の地形の 3 つの角度を測定するとき、測量士はその合計が 180° になるかどうかを確認します。差は測定誤差を示します。 ナビゲーション。 パイロットとナビゲーターは、ルート三角形の 3 番目の角度を他の 2 つの角度から計算します。 出典: 要素、命題 I.32 · ピタゴラス (MacTutor) · ルジャンドル (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ
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パラレルの存在と独自性

緯線は直線の外側の点を通過します。この合格するのは 1 つだけであるということは、幾何学の歴史の中で最も議論されています。 発見者 並列性の存在はユークリッド (命題 I.31) によって証明されています。その一意性は、多くの人が定理に変換しようとしてきた第５ 公準 に依存します。現在学校で使用されている形式、つまり「単一の平行線が直線の外側の点を通過する」は、1795 で広めたスコットランド人のジョン・ プレイフェアにちなんでプレイフェアの公理として知られるようになりましたが、プロクロスはすでにそれを述べていました。 1829 では、 ロシアのニコライ・ ロバチェフスキーが無限の平行線が通過する幾何学を発表しました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ジョン・プレイフェア。サー・ヘンリー・レイバーン (死亡 1823) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ニコライ・ロバチェフスキー、レフ・クリュコフ作の肖像画。レフ・クリュコフ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 2000 年以上にわたり、数学者は他の公準から 5 番目の公準を証明しようと試みてきました。古代のプトレマイオスとプロクロス、 イスラム世界のイブン・アル＝ ハイサム、オマル・ ハイヤーム、 およびナシル・アル・ディン・ アル・トゥシ、ジローラモ・ サッケリ（1733）、ヨーロッパではランベールとルジャンドル。誰もが気づかないうちに、公準自体と同等のステートメントを使用することになりました。 クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン イブン・アル・ハイサム、後の芸術表現。アドルフ・ボイ、ジェレミアス・ファルク作。 Johannes Hevelius、Selenographia、1647 の口絵として使用 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン オマル・ハイヤーム、後の芸術表現。アリレザ・ジャバヘリ · ウィキメディア コモンズ · CC BY 3.0 ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ジュリアン＝レオポルド・ボイリーの風刺画。ジュリアン＝レオポルド・ボイリー · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 転機となったのはロバチェフスキー (1829) とハンガリーのヤーノシュ・ ボリャイ (1832) が独立して公準の否定を受け入れ、矛盾のない幾何学を獲得したときでした。 ガウスも同じ考えに到達しましたが、発表することはありませんでした。第 5 の公準は定理ではありません。それは選択であり、本書の幾何学はそれを採用したものです。

October 11, 2026 読んだ
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平行線

平行線は決して交わることはありませんが、透視図では地平線で交わっているように見えます。 発見者 古典的な定義はユークリッド (c. 300 BC)、原論 の定義 I.23 にあります: 平行線とは、同じ平面内にあり、両方向に無限に延長されて交わらないものです。横断、交互、対応、付随によって形成される角度間の関係が命題 I.27 ～ I.29 です。哲学者のポシドニウス (紀元前 1 世紀) は、直線は常に同じ距離にある、という別の定義を提案しました。 プロクロスは討論を記録しました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ポシドニウス、後の芸術的表現。Sailko · ウィキメディア コモンズ · CC BY 3.0 歴史 より自然に見える「等距離」線として緯線を定義してはどうでしょうか?なぜなら、交わらない 2 つの直線が常に同じ距離にあることを証明するには第 5 公準 が必要になるからです — そしてギリシャ人はすでにそれが微妙であると疑っていました。ユークリッドは、より少ない仮説に依存する定義を選択し、まず公準​​なしでできることをすべて証明しました。命題 I.27 と I.28 はそれを使用せず、I.29 は使用します。 平行と横断: 角度の比較はデモンストレーション方法の一部です。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 ルネサンスのフィリッポ・ ブルネレスキ (c. 1415) とレオン・バッティスタ・ アルベルティ (1435) は、遠近法絵画では消失点に収束する平行線を描かなければならないことを示しました。したがって、「平行線が無限で交わる」射影幾何学が生まれました。 フィリッポ・ブルネレスキ。マサッチョ。 Sailko による複製、MenkinAlRire による切り抜き · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン レオン・バッティスタ・アルベルティ。レオン・バティスタ・アルベルティ;国立美術館からの複製 · ウィキメディア コモンズ · CC0 日常生活での応用 線路 線路は平行である必要があります。線路間の距離が変わると列車が脱線します。 道路の車線と駐車スペースは、交通を整理するために平行に描かれています。 ブラインドとノートの譜表。 等間隔の平行線。 写真。 まっすぐな道路の写真では、平行な歩道が地平線上で交わっているように見えます。これはルネッサンスの消失点です。 出典: 要素、定義 I.23 · 要素、命題 I.29 · Proclus (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ
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「パラレルリズム」

前回は三角形の合同についてお話しました。ここで、平面幾何学、特に三角形の基本概念である平行度について話しましょう。幾何学における平行度は、線と平面の関係を説明する基本的な概念です。 幾何学における並列処理の歴史 幾何学における平行度の概念は、古代、特に紀元前 300 年頃のギリシャの数学者ユークリッドに起源を持ち、彼は、単一の直線が特定の直線に平行な点を通過するという平行公準を導入しました。この公準は、私たちが日常的に研究している幾何学であるユークリッド幾何学の基礎の 1 つです。 時間が経つにつれて、平行度の概念は進化し、直線を超えて拡張され、ユークリッド空間の平面も含まれるようになりました。したがって、2 つの線に共通点がなく、同じ平面内に含まれる場合、2 つの線は平行になります。同様に、2 つの平面に共通点がない場合、それらの平面は平行になります。 幾何学における並列性の研究は引き続き活発な研究分野であり、物理学から工学、建築に至るまで、さまざまな分野に応用されています。したがって、並列処理は数学の歴史において重要な役割を果たし、今日でも関連し続ける基本的な概念です。 概念とプロパティ 平行度は、直線と平面の間の相対的な位置を研究し、これらの位置とこれらの要素間の相互作用から生じる特性に焦点を当てます。 平行線: 2 本の線が同じ平面内に含まれ、それらの間に共通点がない場合、それらの線は平行とみなされます。これは、単一の直線が特定の直線に平行な点を通過するというユークリッドの公準によって特徴付けられます。 定義: 2 本の線が平行 (//) になるのは、それらが一致 (等しい) または同一平面上にあり1、共通点がない場合に限ります。 鉄道路線 平行線 平面に平行な線: 直線と平面は、共通点がない場合に平行です。これを検証するために、平面の外側の直線を考慮します。この平面に属し、考慮されている線と平行な線がある場合、その線はその平面に平行になります。 平行線のフェンス 写真 平行線のフェンス平面に平行な線 平行平面: 2 つの平面は、共通点がない場合に平行とみなされます1。 2 つの平面が平行な場合、一方の平面に属する線は他方の平面と平行になります1。 平行な面を持つ窓 並行計画 並列処理のプロパティ: 2 つの異なる平面が平行な場合、一方の直線は他方の平面と平行になります。 直線が平面に平行である場合、その直線はその平面内の少なくとも 1 つの直線に平行です。 ・直線が平面に含まれず、平面内の直線に平行な場合、その直線は平面に平行です。 平面が 2 つの平行な平面と交差する場合、その交点は 2 つの平行線になります。 ある平面に別の平面に平行な 2 つの競合する直線が含まれている場合、考慮される平面は平行です。 横線 $a$ と $b$ を平行か非平行の 2 つの異なる線とし、$t$ を $a$ と $b$ と同時の線とする: $t$ は $a$ と $b$ の横断です 角度に関しては、次のとおりです。

May 16, 2024 読んだ