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章の演習 2 — 線分

演習と解決策 6 セグメント $\overline{AB}$ の寸法が 17 cm の場合、次の場合の $x$ の値を決定します。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 解説を見るa) $x + 7 = 17 \Rightarrow x = 10$。 b) $PA = PB + BA$: $21 = x + 17 \Rightarrow x = 4$。 c) $(x + 3) + x = 17 \Rightarrow x = 7$。 d) $AP = AB + BP$: $2x = 17 + (x - 3) \Rightarrow x = 14$。 解答を見るa) $x = 10$ cm ・ b) $x = 4$ cm ・ c) $x = 7$ cm ・ d) $x = 14$ cm

October 11, 2026 読んだ
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日常生活における線分と直線

定理の対象となる前、線と線分は、張られた紐、定規、鉛直線などの作業ツールでした。 発見者 特に誰かというわけではなく、 最初の直線はエジプトやメソポタミアなどの文明の農民、建設業者、測量士によって引かれました。ギリシャの文献ではハルペドナプタイを「縄を伸ばす人」、エジプトの土地測量の専門家と呼んでいます。この用語はデモクリトス (紀元前 5 世紀) のものとされる断片に登場します。ローマでは測量士が、 鉛直線の入った十字形であるグロマを使用して、直線の道路や区画を配置しました。 哲学者の胸像、おそらくデモクリトス。身元は不明。ユーザー:shakko · ウィキメディア コモンズ · CC BY-SA 3.0 歴史 しっかりと張ったロープは、床に直線を作る最も簡単な方法です。建設業者は 2 本の杭とロープを使って、壁、用水路、土地の境界線を揃えました。ギザのピラミッドは、観測と位置合わせ技術の結果、数分の 1 度の誤差で基点と側面が一致しています。 エジプトの絵画に描かれた農作業の場面: 畑の測定は収穫サイクルの一部でした。オイラーの目ブログのコレクション。 ローマの道は、グロマが敷き詰められた長く真っ直ぐな道をたどっていました。一部は今でもヨーロッパの高速道路の基礎として機能しています。同じ原則が、今日のあらゆる作品で使用される石工のセリフにもあります。 日常生活での応用 メイソン ラインと鉛直線。 伸ばした紐はレンガの列の位置を示します。鉛直線は垂直を与えます。 五線、グリッド、表。 ノートブック、スプレッドシート、カレンダーは平行および垂直のセグメントで構成されています。 市内地図 ベロオリゾンテやラ プラタの中心部のように、直線的な道路と規則正しい区画があるため、道を簡単に見つけることができます。 スポーツ。 サッカー場、バレーボール コート、プールのレーンのラインは、公式の測定値を持つセグメントです。 出典: エジプト数学 (MacTutor) · デモクリトス (MacTutor)。 理論と作図 連続セグメント: 一方の終わりがもう一方の終わりになります。 温度計の目盛：同一線上のセグメント。 フェンスの板が並んでいます。 境界を共有するだけの隣人：隣接するセグメントの考え方。 プレビュー: 2 本の直線の位置 次の章では、2 つの直線が交わるときに何が起こるかを注意深く検討します。前進するには: 平面内の 2 つの直線は同時 (共通点)、平行 (共通点なし)、一致 (すべての共通点)、そして競合他社の間では直角 (直角を形成) することができます。ボールをドラッグしてそれぞれのケースを確認します。

October 11, 2026 読んだ
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2 点間の距離

2 点間の距離は、2 点を結ぶ線分の長さ、つまり 2 点間の最短経路になります。 発見者 この考え方は直感的であり、古いものです。著者がいるのは、その使用法とその一般化です。紀元前240 年頃、 キレネのエラトステネスはシエナとアレクサンドリアの影を比較して地球の周囲の距離を計算しました。 1906 で、 フランス人のモーリス・ フレシェは、物体間の「距離」について語るには、距離が決して負ではない、対称である、三角不等式に従うという 3 つの性質があれば十分であることに気づきました。 1914 においてフェリックス・ ハウスドルフはこの構造を計量空間と呼びました。 キレネのエラトステネス、後の芸術的表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン モーリス・フレシェ。身元不明の写真家 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン フェリックス・ハウスドルフ。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 アレクサンドリア図書館の館長エラトステネスは、シエナでは一年で最も日が長い日に、真昼の太陽が井戸の底を照らすことを知っていました。同じ日、アレクサンドリアでは、ポールが 1 回転の 1/50 に相当する影を落としました。都市間の距離が約 5 000 スタジアムであるため、地球の円周は約 250 000 スタジアムになります。採用されるスタジアムのサイズによっては、実際の値に近い値になります。 フレシェの一般化は、距離の幾何学が平面をはるかに超えて有効であることを示しました。今日、私たちは同じ 3 つのルールを使用して、単語、画像、さらには DNA 配列の間の「距離」を測定します。 日常生活での応用 地図上の「直線内」。 アプリケーションでは、直線上の距離と、経路に沿った距離を個別に表示します。最初のものは常に以下です。 アプリの実行中。 時計は、記録された GPS ポイント間の距離を毎秒加算します。 タクシーの距離。 正方形のブロックで構成される都市では、実際のルートには水平セクションと垂直セクションが含まれます。これは、フレシェのルールに従うもう 1 つの「距離」です。 スペル チェッカー。 入力した単語からの「距離」が最も短い (変更文字が少ない) 単語を提案します。 出典: エラトステネス (MacTutor) · フレシェ (MacTutor) · ハウスドルフ (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ
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セグメントの測定

セグメントを測定すると、単位がそのセグメントに何回収まるかがわかります。質問は簡単です。その答えが完成するまでに何世紀もかかりました。 発見者 長さの測定は文字が書かれる以前から行われていましたが、 理論的問題を解決したのはクニドゥスのエウドクサス (紀元前 408 ～ 355 頃) でした。ピタゴラス学派は、正方形の対角線と辺が通約不可能であること、すなわち、どんなに小さくても両方が整数倍に収まる単位は存在しないことを発見していました。エウドクソスは、この場合にも機能する比例理論を作成し、原論の第 V 巻に記録されました。 歴史 単位はスパン、フット、ステップ、ファゾムという人体から始まりました。エジプトの王室キュビット (約52cm)には大きな建物に使われていた石の文様がありました。各地域には独自の寸法があり、それが何世紀にもわたって貿易を複雑にしていました。 エジプトの墓のシーン: 測定員が結び目のあるロープを伸ばして穀物畑を測定します。オイラーの目ブログのコレクション。 フランス革命中の1791年、 地下鉄、北極から赤道までの距離の1,000万分の1に相当します。 1983 年以来、光が 1/299,792,458 秒間に真空中を進む距離によって定義されています。ブラジルは 1862 年にメートル法を採用しました。 日常生活での応用 メジャーと定規 すべての測定値は、機器に記録されている単位と比較されます。 画面のインチ。 「50 インチ」テレビの対角線は約 127 cm です。インチは 2,54 cm です。 走行距離計。 車のダッシュボードは、ホイールの回転数をカウントし、各回転の長さを掛け合わせます。 地図の縮尺 1 : 50 000 の縮尺では、紙上の各センチメートルは地上の 500 m を表します。 出典: Eudoxo (MacTutor) · Elements、book V · BIPM: メーターの定義。 理論と作図 セグメント $\overline{AB}$ の測定値は $m(\overline{AB})$ または単に $AB$ で示されます。 定義 · 寸法（長さ） 非ゼロ セグメントのメジャーは、それに関連付けられた次のような正の実数です。 一致するセグメントは等しい測定値を持ち、逆に、等しい測定値を持つセグメントは一致します: $\overline{AB} \equiv \overline{CD} \iff m(\overline{AB}) = m(\overline{CD})$; あるセグメントが別のセグメントより大きい場合、その測定値は $\overline{AB} > \overline{CD} \iff m(\overline{AB}) > m(\overline{CD})$ より大きくなります。 合計セグメントは測定値の合計 $\overline{RS} = \overline{AB} + \overline{CD} \iff m(\overline{RS}) = m(\overline{AB}) + m(\overline{CD})$ に対応します。 セグメントの長さをセグメントの長さといいます。

October 11, 2026 読んだ
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中間点

セグメントの正確な中央を見つけることは、ジオメトリで最も古く、最もよく使用される構成要素の 1 つです。 発見者 私たちが知っている最も古い構造はユークリッド (紀元前 300 頃) による原論 の命題 I.10 にあり、「与えられた有限の直線を半分に切る」というものです。 Euclid は、セグメント上に 正三角形 を上げ、上角を半分に分割し、合同な三角形によって、その分割がちょうど中央に位置することを証明します。ずっと後になって、 デンマークのゲオルク・ モール (1672) とイタリアのロレンツォ・ マスケローニ (1797) は、 定規を使わずにコンパスだけで中点を見つけることができることを示しました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ロレンツォ・マスケローニ。フランチェスコ・サヴェリオ・レデンティ · ウィキメディア コモンズ · CC0 歴史 ユークリッドにとって、中点を見つけることは測定して2で割ることではなく、点を構築し、 それがセグメントを等しい部分に分割することを証明することでした。証明では以前の結果、正三角形 (I.1)、角の二等分線 (I.9)、および LAL の合同ケース (I.4) を使用します。これは、原論 連鎖命題がどのように行われるかを示す良い例です。 セグメントを半分に分割します。三角形と等号は中点の位置を揃えます。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 マスケローニの著書「コンパスの幾何学」は、幾何学が好きだったナポレオン・ボナパルトに捧げられました。コンパスだけで円を4つの等しい円弧に分割するという課題は、「ナポレオンの問題」として知られるようになりました。 日常生活での応用 絵を掛けます 壁またはその下の家具の幅の中間点に釘を打ちます。 半分に折ります シーツ、ナプキン、またはタオルを折りたたむと、測定せずに中間点が見つかります。 道の真ん中で会う 別々の都市を出発し、同じ距離を歩きたい二人が道の中間点を探します。 シーソー サポートがボードの中央にあるため、上に人がいなくてもバランスが保たれます。 出典: 要素、命題 I.10 · Mascheroni (MacTutor) · Mohr (MacTutor)。

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セグメントの合同性

2 つのセグメントは、一方を他方の上に「配置」できる場合に合同になります。これは、目盛定規を必要とせずに、それらが同じサイズであることを示す幾何学的な方法です。 発見者 ユークリッドは、原論 の冒頭でこのテーマを扱いました (紀元前 300 頃)。彼の共通概念 4 は「互いに一致するものは等しい」 と述べており、命題 I.2 と I.3 は、セグメントを転送する方法と、より大きなセグメントからより小さなセグメントと等しい部分を切り出す方法を示しています。最も興味深いのはツールです。ユークリッドは紙から離れると「閉じる」コンパスのみを認め、それでも距離をコピーできることを証明しました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ギリシャの幾何学では、長さは数字と比較されませんでした。 2 つのセグメントは等しいか、大きいか小さいか、マークのない定規とコンパスを使用して決定されました。セグメントを追加すると、セグメントが次々に配置されます。一方を他方から取り出すということは、重ね合わせて何が残っているかを見ることを意味しました。 この作業方法には利点があります。結果は、どの単位の正確な倍数でもない長さであっても、あらゆる測定単位に対して有効です。この問題はギリシャ人がよく知っていました。 ヒルベルト (1899) の公理学では、線分の合同は独自の公理を持つ原始的な用語になりました。 デヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 乾点コンパス。 木工職人や鍵屋は、数字を読まずに、ある部品から別の部品に測定値をコピーします。これは、作業場における I.2 の命題です。 型紙を縫います。 型紙に従って生地を縫い合わせると、2 つの袖が一致するようになります。 交換部品 「標準」ネジは、寸法が元の部品の寸法と一致しているため、どの機械にも適合します。 等しい板を複数切ります。 大工は最初の板の寸法を測り、その板自体を他の板のテンプレートとして使用します。 出典: 要素、命題 I.2 · 要素、命題 I.3 · Euclid (MacTutor)。 理論と作図 線分（記号$\equiv$） の合同は原始的な概念です。直観的には、一致するセグメントは「同じサイズ」であり、一方を他方に引き継ぐことができます。それは次の公準に従います。 公準 · セグメントの合同性 反射: すべてのセグメントはそれ自体と合同です: $\overline{AB} \equiv \overline{AB}$。 対称: $\overline{AB} \equiv \overline{CD}$ の場合は $\overline{CD} \equiv \overline{AB}$。 推移: $\overline{AB} \equiv \overline{CD}$ と $\overline{CD} \equiv \overline{EF}$ の場合、$\overline{AB} \equiv \overline{EF}$。 セグメントの輸送: セグメント $\overline{AB}$ と原点光線 $A^{\prime}$ が与えられると、この光線上には $\overline{A^{\prime}B^{\prime}} \equiv \overline{AB}$ などの単一 点 $B^{\prime}$ が存在します。

October 11, 2026 読んだ
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2 つのセグメントの位置

連続、同一線上、隣接するセグメント: 2 つの直線がどのように組み合わされるかを説明する名前。 発見者 この分類には著者はいません。それは現代の教訓的な組織です。ただし、セグメントを結合する慣行は非常に古いものです。ギリシャの歴史家ヘロドトス (紀元前 5 世紀) が幾何学の起源に結び付けたエジプトの測量士 は、ナイル川の洪水のたびにロープで測定した値を修正することによって野原を記録しました。数世紀後、アレキサンドリアのサギ (西暦 1 世紀) は、そのディオプトラの中で、整列した断面を使用して土地を測定する方法を説明しました。 ヘロドトス、後の芸術的表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · CC0 アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ヘロドトスは、ナイル川が土地の一部を占領したとき、ファラオの使用人が税を調整するために損失を測りに来て、ギリシャ人はそこから幾何学を学んだだろうと述べている。この物語はエジプトに関するギリシャの記述であり、エジプトの文書ではありませんが、幾何学が土地の測定に関連してどのように誕生したかを示しています。 紀元前 1650 年頃にアーメスによってコピーされたリンド パピルスの詳細。この文書には、エジプトの数学の問題と手順が保存されています。書記アーメス。大英博物館文書の複製 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン。 ピースの長辺を測定することは、連続した同一線上にあるセグメントを正確に追加することです。つまり、1 つのコードの終わりは次のコードの始まりであり、すべて同じ線上にあります。このトピックの命名法では、この状況に正確な名前が付けられています。 日常生活での応用 GPS ルート。 ルートは一連の連続したセグメントとして描画されます。直線上でも同一線上にあります。 カーペンターの多関節メーター。 折りたたみ定規は連続したセグメントです。引き伸ばされると、それらは同一線上にあり、隣接するようになります。 配管。 スリーブで接続されたパイプが隣接するセグメントを形成します。エルボを使用すると、それらは連続したままになりますが、同一直線上ではなくなります。 フェンス。 2 つの柱の間の各隙間がセグメントです。フェンス全体はそれらの合計です。 出典: エジプトの数学 (MacTutor) · アレクサンドリアのサギ (MacTutor)。 理論と作図 定義 · 連続した、同一線上にある隣接するセグメント 2 つのセグメントは、一方の端が他方の端でもある場合に連続します。 2 つの線分が同じ直線上にある場合、 2 つの線分は同一直線上にあります。 2 つの連続した同一線上にあるセグメントは、 共通の端がのみ ある場合（共通の内部点がない場合） に隣接しています。

October 11, 2026 読んだ
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セグメントと光線

直線には始まりも終わりもありません。実際には、ほとんどの場合、その一部であるセグメントとレイを操作します。 発見者 ギリシャ人が最初にこの作品を考えました。 原論 (紀元前 300 頃) では、ユークリッドは「有限直線」 (私たちの線分) について語り、 彼の第 2 公準により有限直線を連続的に延長することができます。つまり彼にとって、無限の直線とは、線分を必要なだけ延長して得られるものであった。学校で使用されている定義を含む「セグメント」と「レイ」という名前は、19 世紀から 20 世紀の幾何学の本によって確立された現代の語彙から来ています。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ギリシャ人の無限に対する警戒心は哲学的な起源を持つ。 アリストテレスは、無限の「可能性の中に」――いつでも一歩先へ成長することができる――と、完全なものとして捉えられる無限の「行為中に」を区別しました。ユークリッドの公準はこの区別を尊重しています。それらは延長について語っており、既製の無限の直線については決して語っていません。 アリストテレス、後の芸術的表現。Lisipo による著作物のコピー · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン P.Oxy として知られる要素の断片。私29、オキシリンコで見つかりました。テキストと図は、ユークリッド幾何学の古代の伝達を記録しています。Euclidによるテキスト。正体不明の初期の写本者 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン。 光線は、同じ頂点から始まり一方向に無限に続く 2 つの側面という、角度を定義するのに適したタイプのオブジェクトであるため、現代の幾何学で重要性を増しました。 日常生活での応用 光線。 レーザーや懐中電灯の光線は、点から始まり一方向に進みます。これらは半直線モデルです。 定規、巻尺、巻尺。 セグメントを測定します。常に始まりと終わりがあります。 横断歩道と駐車スペース アスファルトに描かれた標識は、整列したセグメントです。 ゲームにおける視覚。 電子ゲームでは、ターゲットが命中したかどうかを検出する「照準半径」は、カメラから出る光線として計算されます。 出典: 要素、公準 2 (D. Joyce) · Euclid (MacTutor)。 理論と作図 定義 · 直線セグメント 2 つの異なる点 $A$ と $B$ がある場合、直線セグメント $\overline{AB}$ は、集合 $\lbrace A, B \rbrace$ と $A$ と $B$ の間にある点の集合との会合です。 $$\overline{AB} = \lbrace A, B \rbrace \cup \lbrace X \mid X \text{ está entre } A \text{ e } B \rbrace$$$A$ と $B$ はセグメントの終端です。その間の点が内部点です。 $A = B$ の場合、$\overline{AB}$ がヌルセグメントであると言います。

October 11, 2026 読んだ
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「間にある」という概念

「BはAとCの間です。」 Euclid は、ほとんどすべてのデモンストレーションでこのアイデアを説明することなく使用しました。 発見者 「間の存在」を公理に変換した最初の人物は、ギーセン大学の教授であるドイツ人のモーリッツ・ パシュ (1843 – 1930) で、1882 の著書近代幾何学図書館の中で述べられています。彼以前にカール・フリードリヒ・ ガウス は、1832 からの手紙の中で、「間」のような言葉は幾何学の完全な解説で明確にする必要があるとすでに述べていました。 デヴィッド・ ヒルベルトは、1899 でパシュのアイデアを、いわゆる順序の公理に取り入れました。 モーリッツ・パッシュ。グスタフ・バックオーフェン · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン カール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン デヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 2,000 年間、この定義を見逃した人はいませんでした。図面によって解決されたからです。図を見て、どの点が真ん中にあるかを確認してください。この問題は、図形に依存しない証明が必要な場合に発生します。すべての三角形は二等辺であるなどの有名な「証明」がありますが、これらは正しいように見えますが、点が別の点の間違った側に描かれているために失敗するだけです。順序の公理は、この種の間違いを防ぎます。 パシュ氏は、その姿を見たことがない人にとっても、デモは有効であり続けるべきだと主張した。この要件により、幾何学の記述方法が変化し、ヒルベルトの研究への道が開かれました。 日常生活での応用 行列 自分とレジ係の間に誰がいるのかを知ることで、残りの人数がわかります。 地下鉄の駅 直線上で、駅 B が A と C の間にある場合、A から C に行く人は B を通過しなければなりません。 高速道路のキロメートル。 km 120 は km 100 と km 150 の間にあります。ランドマークの順序によって、事故や出口を見つけることができます。 進行状況バー。 動画のマーカーは常に最初と最後の間にあり、その位置は残りの量を示します。 出典: モーリッツ パッシュ (MacTutor) · ヒルベルト (MacTutor)。

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