来源： FUVEST – 第二阶段第二天测试 （具体测试；数学有问题 M01 至 M06）以及 预期的数学答案。 FUVEST 集合 2026 中的文件。

在 FUVEST 2026 的第二阶段中，第二天包括每个项目的具体论文测试 面积； 数学测试有 M01 至 M06 六题，每题都有项目 a)、b) 和 c)。对于本次测试，FUVEST 发布了预期答案；的 以下决议是我们的，我们以第二种方式检查了每一项，并且所有 符合官方预期答案。

模板

问题 主题 答案
M01 概率：抽出 ARARA 字母 a) $\frac{3}{10}$; b) $\frac{1}{10}$; c) $\frac{1}{120}$
M02 线性系统：销售酒瓶 a）45和5； b) R$ 7,80; c) 不可能的
M03 三角学：潜艇声纳 a) 3 m; b) $120 - 5\sqrt{2} \approx 112{,}93$ m; c) 100 m
M04 百分比：先增加后折扣 a) $33{,}\overline{3}\%$; b) $y = \frac{100x}{100 + x}$; c) $m = 25$
M05 空间几何：内切于立方体的金字塔 a) 1 m; b) 4 m; c) $2\sqrt{3}$ m
M06 模块化功能和区域 a) $(1,1)$ e $(-1,1)$; b) 4; c) $d^3$

问题 M01：画出 ARARA 的字母（概率）

陈述

ARARA 这个词除了鸟儿的美丽和回文结构之外，还被广泛使用。 用于组合分析和概率练习，因为它是由 五个字母，其中只有两个不同的字母。假设这个单词的字母 位于一个瓮中，其中每个字母被移除的可能性相同，回答：

a) 绘制两个字母而不放回形成单词的概率是多少 AR，即画第一个字母A，不放回，画第二个字母R？

b) 绘制 5 字母（不进行替换）并形成的概率是多少 阿拉拉这个词？

c) 假设现在放入投票箱的字母是彩色的，即 ARARA, 在不替换的情况下再次绘制构成 5 字母的概率是多少 词 ARARA 具有相同的初始颜色？

解决

投票箱中有5字母：3字母A和2字母R。

a) 在第一次删除中，5 个字母中的 3 个是 A。如果删除一个 A，则保留 4 个字母， 其中2是R：

$$P(\text{AR}) = \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 30\%$$

b) 我们逐个字母地跟踪单词，总是查看瓮中还剩下什么：

提款 所需信件 投票箱里的剩菜 可能性
1ª A 3 A, 2 R $\frac{3}{5}$
2ª R 2 A, 2 R $\frac{2}{4}$
3ª A 2 A, 1 R $\frac{2}{3}$
4ª R 1 A, 1 R $\frac{1}{2}$
5ª A 1 A $\frac{1}{1}$
$$P(\text{ARARA}) = \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10} = 10\%$$

*第二种方式：*字母可以出现在$\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$“单词”中 不同的（ARARA 的字谜），都同样可能。其中只有ARARA， 那么概率是$\frac{1}{10}$。

c) 现在 5 字母都不同了（每个字母都有自己的颜色）。在每个 取款时只有一个正确的字母：

$$P = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1} = \frac{1}{120} \approx 0{,}83\%$$

第二种方式： 5 个不同的字母有 $5! = 120$ 个可能的顺序，并且只有一个 是原始颜色序列。

响应 (a)： $\frac{3}{10} = 30\%$。 响应 (b)： $\frac{1}{10} = 10\%$。 响应 (c)： $\frac{1}{120} \approx 0{,}83\%$。

要回顾，请参阅[等概率事件]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/prob/eventoequi/).

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问题 M02：1 和 2 升的酒精瓶（线性系统）

陈述

一家连锁超市销售两种类型的某种酒瓶，一种是 容量为 1 升，另一个容量为 2 升。在该月的某一天，其中之一 连锁超市当天共售出50瓶，价值 从这些瓶子的销售中收取的费用为 R$ 320,00。

a) 如果 1 升一瓶酒精的价格为 R$ 6,00，2 升为 R$ 10,00，当天每种类型的销量有多少瓶？

b) 现在假设那天超市售出了 25 1 升瓶子 R$ 的总价值 125,00。 2 升瓶子的价值是多少？

c) 现在想象一下 2 升的瓶子即将过期并且 超市宣布一项促销活动，其中 2 升瓶子的价值将是 与1升瓶子相同，即R$6,00。有可能，在年底 促销时，经理销售相同数量的瓶子（50 瓶），收集 相同的值（R$ 320,00）？如果可能的话，每种类型有多少瓶 卖？

解决

调用 $x$ 1 升瓶子的数量和 $y$ 2 升瓶子的数量。

a) 总瓶数和收集总量：

$$ \begin{cases} x + y = 50 \\ 6x + 10y = 320 \end{cases} $$

根据第一个方程，$x = 50 - y$。在第二个中替换：

$$6(50 - y) + 10y = 320 \quad\Rightarrow\quad 300 + 4y = 320 \quad\Rightarrow\quad y = 5$$

e $x = 50 - 5 = 45$.

检查： $45 \cdot 6 + 5 \cdot 10 = 270 + 50 = 320$。 ✔

b) 如果 25 个瓶子为 1 升，则其他 $50 - 25 = 25$ 瓶为 2 升。 1 升产生 R$ 125,00，因此 2 升产生 $320 - 125 = 195$ 真实。 2 升瓶子的价格为 $p$：

$$25p = 195 \quad\Rightarrow\quad p = \frac{195}{25} = 7{,}80$$

检查： $125 + 25 \cdot 7{,}80 = 125 + 195 = 320$。 ✔

c) 当两个瓶子位于 R$ 6,00 时，系统

$$ \begin{cases} x + y = 50 \\ 6x + 6y = 320 \end{cases} $$

将第一个方程乘以 6：$6x + 6y = 300$。但第二个说 $6x + 6y = 320$。 300和320不能同时有效：系统处于 不可能。

*另一种看待它的方式：*如果每瓶成本 R$ 6,00，则 50 瓶产量总是 $50 \cdot 6 = 300$ 实数，无论类型之间的划分如何。

答案 (a)： 45 1 升瓶子和 5 2 升瓶子。 响应 (b)： R$ 7,80。 答案 (c)： 这是不可能的：R$ 6,00 处的 50 瓶总是产生 R$ 300,00（系统是不可能的）。

要回顾，请参阅一次方程.

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问题M03：潜艇的声纳（三角法）

陈述

球形波束声纳位于潜艇船体的前部。 3 m 检测您周围的物体。声纳发出的波在整个区域传播 方向，形成半径等于声纳中心和 被检测物体的表面。声纳中心深度为 120 米相对于水面。

a) 声纳中心到物体表面的最小距离是多少？ 是否被检测到？

b) 如果声纳检测到距其中心 10 米处的物体，则在某点 位于穿过声纳中心的水平线上方 45° 处，什么是 物体相对于水面的深度？

c) 如果声纳检测到物体表面以下 170 米处有物体 水，在穿过声纳中心的水平线下方 30° 处， 物体到声纳中心的距离？

解决

a) 声纳是一个半径为 3 m 的球体；波浪离开其表面。一个物体 只能在声纳外部，因此中心到物体的距离至少为 半径本身：3 m。

b) 将声纳中心连接到物体（10 m 段，斜边）并追踪 从物体到水平线的垂直线。形成一个直角三角形，其中 物体在水平线上方的高度 $d_v$ 是角度 45° 的对边：

$$d_v = 10 \cdot \operatorname{sen} 45° = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \text{ m}$$

该对象位于中心上方，深度为 120 米：

$$\text{profundidade} = 120 - 5\sqrt{2} \approx 120 - 7{,}07 = 112{,}93 \text{ m}$$

*检查：*在45°角度处，两条边相等；由定理 毕达哥拉斯，$2d_v^2 = 10^2$，然后$d_v = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。 ✔

c) 物体深度为 170 米，即 下方 $170 - 120 = 50$ 米 声纳水平线。该差值是 30° 角度的对侧，并且 所求的距离 $d$ 是斜边：

$$\operatorname{sen} 30° = \frac{50}{d} \quad\Rightarrow\quad d = \frac{50}{1/2} = 100 \text{ m}$$

*检查：*在一个角为30°的直角三角形中，它的对边是 斜边的一半； $50 = \frac{100}{2}$。 ✔

答案 (a)： 3 米（声纳半径）。 答案 (b)： $120 - 5\sqrt{2} \approx 112{,}93$ 米深。 响应 (c)： 100 m。

要回顾，请参阅[直角三角形]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/geoirra/trigret/).

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问题 M04：“一切 50% 双倍”（增加和折扣）

陈述

“All for 50% double” 是一个关于误导性优惠的众所周知的短语，它 成为了一个模因。这基本上是因为产品在经历了 100% 的增长之后， 现在价格是原来的两倍，需要折扣 50% 才能恢复原价 初始值，即调整后保持该值不变，然后 折扣。根据这个思路，回答：

a) 某产品需要多少百分比的折扣 重新调整50%回到原来的值？

b) 假设成本为 P 的产品在 $x\%$ 处重新调整，随后， 折扣为 $y\%$ 时，将再次花费相同的金额 P。根据 $y$ 解释 显示模型中的$x$，即根据调整显示折扣$y$ $x$.

c) 假设某产品调整为$m\%$，然后折扣为$n\%$， 回到初始价格。考虑 $m$ 和 $n$ 是更大的整数 比零。使 $n$ 也是整数的 $m$ 的最小值是多少？

解决

增加$x\%$等于乘以$\left(1 + \frac{x}{100}\right)$；给予折扣 $y\%$ 是乘以$\left(1 - \frac{y}{100}\right)$。

a) 上涨 50% 后，价格为 $1{,}5P$。我们需要一个因子 $k$ 使得 $1{,}5P \cdot k = P$：

$$k = \frac{1}{1{,}5} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667$$

价格乘以$\frac{2}{3}$，即损失$\frac{1}{3}$的价值： $\frac{1}{3} \approx 33{,}33\%$ 起的折扣。

用数字检查： R$ 100,00 + 50% = R$ 150,00; R$ 150,00 − 33,33% of 150 = 150 − 50 = R$ 100,00。 ✔

b) 条件是

$$P\left(1 + \frac{x}{100}\right)\left(1 - \frac{y}{100}\right) = P \quad\Rightarrow\quad (100 + x)(100 - y) = 10\thinspace 000$$

隔离 $y$：

$$100 - y = \frac{10\thinspace 000}{100 + x} \quad\Rightarrow\quad y = 100 - \frac{10\thinspace 000}{100 + x} = \frac{100x}{100 + x}$$

检查： $x = 100$ 给出 $y = \frac{10\thinspace 000}{200} = 50$（模因）并且 $x = 50$ 给出 $y = \frac{5000}{150} = 33{,}\overline{3}$（项目 a）。 ✔

c) 对于项目 b，$n = \frac{100m}{100 + m}$。重写，

$$n = 100 - \frac{10\thinspace 000}{100 + m}$$

因此，当 $100 + m$ 除 $10\thinspace 000 = 2^4 \cdot 5^4$ 时，$n$ 就是整数。 与 $m > 0$ 一样，我们寻找 10 000 中大于 100 的最小除数。的 10 000 接近 100 的约数是 $\dots, 80, 100, 125, 200, \dots$（没有 101 和 124 之间没有，因为每个除数的形式都是 $2^a 5^b$）。最小的是125：

$$100 + m = 125 \quad\Rightarrow\quad m = 25, \qquad n = 100 - \frac{10\thinspace 000}{125} = 100 - 80 = 20$$

*检查：*增加 25% 并折扣 20%：$1{,}25 \cdot 0{,}80 = 1$。 ✔ （一一测试$m = 1, 2, \dots, 24$，没有给出$n$整数。）

**答案(a)：**折扣$\frac{1}{3} \approx 33{,}33\%$。 响应 (b)： $y = \frac{100x}{100 + x}$。 响应 (c)： $m = 25$（与 $n = 20$）。

要查看，请参阅增加和折扣.

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问题 M05：立方体内金字塔顶点的灯

陈述

您想将灯具安装在距天花板一定高度的位置。灯是 位于具有方形底座的正金字塔的顶点 P 上，反过来， 内接于边长为 4 m 的立方体，如下图所示。的预测 天花板和地板平面上的灯具分别由点表示 R和Q，与正方形DCGH和ABFE的对角线交点重合。

a) 假设金字塔的侧边尺寸为 3 米，那么金字塔的侧边距离是多少？ 灯在地板上吗？

b) 假设金字塔的侧边与地面形成45°角， 金字塔侧边的长度是多少（米）？

c) 考虑点 P 在立方体底平面上的正交投影， 用点S表示，边PF在平面上的投影长度是多少 平面 EFGH，如果高度 PQ 为 $2\sqrt{2}$ 米？

解决

金字塔的底部是底板 ABFE（边长为 4 米的正方形），Q 是该底板的中心 正方形。从 Q 到底边任意顶点的距离是对角线的一半：

$$QB = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ m}$$

三角形PQB在Q处成直角（PQ垂直，QB在地面）。

这） 根据三角形 PQB 中的毕达哥拉斯定理，有 $PB = 3$:

$$PB^2 = PQ^2 + QB^2 \quad\Rightarrow\quad 9 = PQ^2 + 8 \quad\Rightarrow\quad PQ = 1 \text{ m}$$

b) 如果边 PB 与地面成 45°，则直角三角形 PQB 是等腰： $PQ = QB = 2\sqrt{2}$。然后

$$PB = QB\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4 \text{ m}$$

通过余弦检查： $PB = \frac{QB}{\cos 45°} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 4$。 ✔

c) 放置坐标：A在原点，AB在$x$轴，深度（从AB 对于 EF），$y$ 轴上的高度和 $z$ 轴上的高度。然后$F = (4, 4, 0)$，中心 接地是$Q = (2, 2, 0)$和$P = (2, 2, 2\sqrt{2})$。

EFGH 背景平面为 $y = 4$。在该平面上正交投影意味着改变 坐标 $y$ 乘 4：

$$S = (2, 4, 2\sqrt{2}), \qquad F = (4, 4, 0) \text{ (já está no plano)}$$

边 PF 的投影是线段 SF：

$$SF = \sqrt{(4 - 2)^2 + (0 - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ m}$$

第二条路径（无坐标）： Q 在 EFGH 平面上的投影为中点 M 是 EF，S 正好在 M 之上，带有 $SM = PQ = 2\sqrt{2}$。 SMF 三角形 是一个 M 长方形，其中 $MF = 2$： $SF^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 12$、$SF = 2\sqrt{3}$。 ✔

响应 (a)： 1 m。 响应 (b)： 4 m。 响应 (c)： $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ m。

复习请参见毕达哥拉斯定理.

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问题M06：模函数和三角形的面积

陈述

考虑模实函数 $f(x) = \frac{|x|}{d}$，其中 $d > 0$。

a) 直线 $y = 1$ 和图形 $f(x)$ 之间的交点是多少 到 $d = 1$？

b) 轴$Oy$右侧、线$y = 2$下方获得的区域面积是多少 图表上方从 $f(x)$ 到 $d = 2$？

c) 线$y = d$下方和图形上方形成的区域的面积是多少 $f(x)$?

解决

$f(x) = \frac{|x|}{d}$ 的图形是一个顶点在原点的“V”：射线 $y = \frac{x}{d}$至$x \ge 0$和$y = -\frac{x}{d}$至$x < 0$。

a) 与 $d = 1$、$f(x) = |x|$。等于1：

$$|x| = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1$$

点是$(1, 1)$和$(-1, 1)$。

b) 与 $d = 2$ 和 $x \ge 0$、$f(x) = \frac{x}{2}$。行 $y = 2$ 满足 当$\frac{x}{2} = 2$时，即$x = 4$时的图形。 $Oy$右侧的区域， $y = 2$ 下方和图形上方是顶点 $(0,0)$、$(0,2)$ 和 $(4,2)$：底面 4（水平方向，在 $y = 2$ 中）和高度 2。

$$A = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$$

*检查：*矩形$[0,4]\times[0,2]$的面积为8，直线为$y = \frac{x}{2}$ 是它的对角线；对角线上方的三角形是一半：$4$。 ✔

c) 直线 $y = d$ 与图形相交，当

$$\frac{|x|}{d} = d \quad\Rightarrow\quad |x| = d^2 \quad\Rightarrow\quad x = \pm d^2$$

“V”和直线 $y = d$ 之间的区域是顶点 $(0,0)$ 的三角形， $(-d^2, d)$和$(d^2, d)$：底边$2d^2$（在直线$y = d$上）和高度$d$。

$$A = \frac{2d^2 \cdot d}{2} = d^3$$

与项目 b 协商： 该区域的右半部分，对于 $d = 2$，是 b 项中的三角形。该公式给出整个区域的 $A = 2^3 = 8$，以及一半 是4。 ✔

答案 (a)： $(1, 1)$ 和 $(-1, 1)$。 答案 (b)： 4（面积单位）。 响应 (c)： $d^3$（面积单位）。

要查看，请参阅笛卡尔平面.

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