式・表・グラフ：処理と変換
1637 年にデカルトが『幾何学』を出版したとき、彼は曲線も方程式も発明したわけではありません。どちらも何世紀も前からありました。彼が発明したのは、その二つのあいだの橋でした。基準となる直線からの距離を測ることで、あらゆる曲線を方程式に、あらゆる方程式を曲線に変える方法です（今日デカルト座標と呼ぶ、たがいに垂直な二本の軸が定着したのは、彼よりあとのことです）。座標平面とは、何よりもまず、ある書き方を別の書き方に翻訳する機械なのです。
この翻訳はあまりになじみ深いので、それがどれほど難しいかを私たちは忘れています。フランスのレイモン・デュヴァルは、計算はよくできる生徒の多くが、なぜグラフを前にすると固まってしまうのかを生涯かけて研究し、今では数学教育の中心にある一つの考えにたどりつきました。
表現のレジスター デュヴァルは、それ自身の規則をもつ記号の体系を表現のレジスターと呼びます。日本語やポルトガル語のような言語、代数の書き方、表、座標のグラフ、幾何学の図。「倍にして一をたす」関数のような一つの同じ対象は、そのすべての中に現れます。
言葉で：「どの入力についても、出力は二倍たす一」 式で：$f(x)=2x+1$ 表で：組 $(0,1)$、$(1,3)$、$(2,5)$ グラフで：縦軸と $1$ で交わり、横に $1$ 進むごとに $2$ 上がる直線 下の図を動かして、三つのレジスターで同じ点を追ってみてください。
入力 x を変えて、式・表・グラフをめぐってみよう。強調された点は、三つのレジスターで同じ関係 f(x) = 2x + 1 を追っている。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。
どのレジスターも、ほかのレジスターの写しではありません。$f(100)$ を計算するには式がいちばんです。表は具体的な場合を示しますが、その一部だけです。グラフは関数が増えていくこと、そしてどれだけ増えるかを一目で示します。言葉は何について話しているのかを言います。それぞれが対象の一部を照らし、別の部分を暗がりに残しているのです。
処理と変換 デュヴァルのいちばん役に立つ区別は、似ているようで実はちがう二つの活動を分けるものです。
処理とは、一つのレジスターの中での変形です。方程式を解くことは代数的な処理です。
$$2x+1=7\iff 2x=6\iff x=3.$$約分や多項式の因数分解、表の列の合計も処理です。それらはレジスターそのものの規則に従っていて、学校はこの種の課題をとてもよく訓練します。
変換とは、あるレジスターから別のレジスターへの移行です。式からグラフへ、文から方程式へ、表から式へ。$f(x)=2x+1$ のグラフをかくには、$1$ が直線と縦軸の交点になり、$2$ が傾きになることを知っていなければなりません。それを教えてくれる代数の規則はありません。二つのレジスターがどう対応しているかを知る必要があるのです。
組 (0, 1)、(1, 3)、(2, 5) は f(x) = 2x + 1 のグラフ上にある。この本のために作成した説明図。 上の表は三つの点を与えています。なぜそれを直線で結んでよいのでしょうか。点のおかげではありません。一直線に並んだ三点は、くねくねした曲線にも無数にのります。直線で結んでよいのは、式がこの関数は一次関数だと言っているからです。表からグラフへの変換は、式だけがもっていた情報に頼っているのです。
人をあざむく変換 デュヴァルは、変換には易しいものと非常に難しいものがあり、その難しさは二つの書き方が同じ順序で進むかどうかによることに気づきました。二つの文を比べてみましょう。
