数学の歴史

カール・フリードリヒ・ガウスの生涯

タイムライン 177730 4 月、ブラウンシュヴァイクで、庭師とレンガ職人の息子として生まれました。 1786およそ9年、学校での1から100秒の合計。 1791カール・ヴィルヘルム・フェルディナンド公爵が学費を払い始める。 1795ゲッティンゲン大学に入学します。 17963 月 30 では、辺が 17 の正多角形を作成する方法を学びます。数学日記を始めましょう。 1799ヘルムシュテットから代数学の基本定理の証明で博士号を取得。 1801算術計算書を出版し、準惑星ケレスの軌道を計算します。 1807彼はゲッティンゲン天文台の所長となり、死ぬまでそこに留まりました。 1809最小二乗法と正規曲線を使用したテオリアモートゥスを公開。 1818三角形を使用してハノーバー王国の計測を開始します。 1821 では、彼はヘリオトロープを発明しました。 1827曲面の曲率に関する定理エグレギウムを出版。 1833彼はヴィルヘルム・ウェーバーとともに最初の電気電信機の 1 つを設立しました。 185523 2 月、ゲッティンゲンで死去。 ◀ 前へ旅をたどる次へ ▶ 1777–1795 ブラウンシュヴァイク庭師で石工の息子。学校で 1 から 100 までの和を数秒で求める。カール・ヴィルヘルム・フェルディナント公が学費を出すようになる。 1795–1798 ゲッティンゲン大学で学ぶ。1796 年 3 月 30 日、正十七角形の作図法を発見し、日記をつけ始める。 1799 ヘルムシュテット代数学の基本定理の証明で博士号を得る。 1799–1807 ブラウンシュヴァイク『整数論』（1801）を出版し、ケレスの軌道を計算する。ここで「ルブラン氏」からの手紙を受け取る。 1807–1855 ゲッティンゲン天文台五十年近く天文台を率いる。三角測量でハノーファー王国を測り、驚異の定理を発表し、ヴェーバーと電信を作る。1855 年に亡くなる。地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。ガウスはほとんど旅をしなかった。生涯をブラウンシュヴァイクとゲッティンゲンを中心とする百キロの範囲で過ごした。地図：© OpenStreetMap 協力者

October 10, 2026 読んだ

ルネ・デカルトの生涯

タイムライン 159631年3月、フランス、トゥーレーヌ地方のラ・エーに生まれる。 1607ヨーロッパで最高のイエズス会学校の一つであるラ・フレーシュ校に入学してください。 1616彼はポワティエ大学で法学を卒業しました。 1618彼はオランダのナッソーのモーリスの軍隊に加わり、アイザック・ビークマンと出会う。 161910 11 月の夜、彼は 3 つの夢を見て、それを使命として従うことにしました。 1628彼はオランダに移住し、そこで約 20 年間暮らします。 1633彼はガリレオの有罪判決を知ってザ・ワールドの出版を断念した。 1637方法論と付録幾何学を出版します。 1641『*第一哲学の瞑想』*を出版。 1643彼はボヘミア王女エリザベートと手紙のやりとりを始める。 1649彼はスウェーデンのクリスティーナ女王の招待でストックホルムに行きます。 165011 2月にストックホルムで死去。 ◀ 前へ旅をたどる次へ ▶ 1596 ラ・エートゥレーヌの小さな町に生まれる。町は今、彼にちなんでデカルトと呼ばれている。 1607–1614 ラ・フレーシュヨーロッパ屈指のラ・フレーシュのイエズス会学院で学ぶ。朝はベッドにいてよいと許されていた。 1616 ポワティエポワティエ大学で法学の学位を得る。 1618 ブレダナッサウのマウリッツの軍に入り、物理と数学の問題を出してくるイサーク・ベークマンと知り合う。 1619 ウルム近郊ある冬の夜、ストーブで暖めた部屋で三つの夢を見て、それを使命として従うことに決める。 1628–1649 オランダ約二十年をネーデルラント連邦共和国で過ごし、何度も住まいを変える。1637 年、ライデンで『方法序説』と付録『幾何学』を出版する。 1649–1650 ストックホルム朝五時の講義を望むクリスティーナ女王に招かれて行く。1650 年 2 月 11 日、肺炎で亡くなる。地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。トゥレーヌからオランダへ、そして晩年にはスウェーデンへ。デカルトのたどった道。地図：© OpenStreetMap 協力者デカルトの道：フランスからオランダ、そして生涯の終わりにスウェーデンへ。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 10, 2026 読んだ

レオンハルト・オイラーの生涯

タイムライン 170715年4月、スイスのバーゼルに生まれる。 172013歳でバーゼル大学に入学。彼はヨハン・ベルヌーイに師事し始めた。 1727ロシアのサンクトペテルブルクの科学アカデミーに移る。 1735バーゼル問題を解き、ケーニヒスベルク橋を解析します。 1738彼は右目の視力をほぼすべて失っています。 1741プロイセン王フリードリヒ2世の招きでベルリンアカデミーに通う。 1748$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ が表示されるアナリシンインフィニットラムの紹介を公開します。 1750ゴールドバッハへの手紙の中で、彼は多面体 $V - A + F = 2$ の公式を述べています。 1766エカチェリーナ2世の招きでサンクトペテルブルクに戻る。白内障が左目に影響を及ぼします。 1771白内障の手術は失敗し、彼は実質的に目が見えなくなってしまう。働き続けてください。 178318 9月、サンクトペテルブルクで死去。 ◀ 前へ旅をたどる次へ ▶ 1707–1727 バーゼルスイスで生まれ育つ。13 歳で大学に入り、土曜日ごとにヨハン・ベルヌーイの指導を受ける。 1727 リューベック船でライン川を下り、馬車でドイツを横断し、リューベックからロシアへ船出する。 1727–1741 サンクトペテルブルク科学アカデミーで働く。バーゼル問題を解き、ケーニヒスベルクの橋を調べ、右目の視力を失う。 1741–1766 ベルリンフリードリヒ 2 世に招かれベルリンのアカデミーへ。『無限解析入門』を出版し、公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ を示す。 1766–1783 サンクトペテルブルクエカチェリーナ 2 世に招かれて戻る。ほとんど目が見えなくなっても、1783 年に亡くなるまで論文を口述し続ける。地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。バーゼルからサンクトペテルブルクまで、オイラーの暮らした町。地点をクリックするか、旅をたどるを押してください。地図：© OpenStreetMap 協力者

October 10, 2026 読んだ

1～100の合計

ガウスの最も有名な話は、彼が約 9 歳のときの話です。クラスを忙しくしておくために、ビュートナー教授は生徒たちに、1 から 100 までの数字をすべて足し合わせるように言いました。数秒以内に、ガウス黒板をテーブルの上に置き、正解は 5050 でした。（この物語は最初の伝記作家によって語られました）ガウスの値であり、計算上の正確な数値は異なる可能性がありますが、考え方は同じです。) コツ: 最初のものと最後、2 番目のものと最後から 2 番目などを組み合わせます。 $$\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \cdots + 98 + 99 + 100 \\ S &= 100 + 99 + 98 + \cdots + 3 + 2 + 1 \\ 2S &= \underbrace{101 + 101 + 101 + \cdots + 101 + 101 + 101}_{100 \text{ vezes}} = 10\,100 \\ S &= 5050. \end{aligned}$$ 任意の $n$ についても、同じ考え方で次のようになります。

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座標: 幾何学が代数になる

幾何学の大きな概念は、平面上の各点に 1 組の数値を与えることです。 2 行を選択します垂線 (軸) と、それらの垂線までの距離 $x$ および $y$ の位置に点が配置されます。今日これを[デカルト平面]と呼びます(/jp/posts/basic/inteiro/funcoes/planocartesiano/)、で彼に敬意を表します（カルテシウスはデカルトのラテン語名です）。座標があれば、図形は方程式になります。 3 つの例を参照してください。幾何学のページ (1637)。文字 a、b は既知の値と上部に書かれた累乗に表示されます。ルネ・デカルト · パブリックドメイン 2 点間の距離点 $P = (x_1, y_1)$ と $Q = (x_2, y_2)$ が形成され、点$(x_2, y_1)$、脚$x_2 - x_1$と$y_2 - y_1$の直角三角形。の定理によりピタゴラス: $$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$ P と Q をドラッグします。三角形の辺は Δx と Δy で、距離はピタゴラスの定理から得られます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

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オイラーが私たちに残した言語

オイラーの影響の一部は、常に存在しているように見えるものにあります。彼は以下のものを作成または普及させました。 $f(x)$ は $x$ の機能を示します。文字 $e$ は自然対数の底 $e \approx 2{,}71828$ を表します。円周の長さと直径の比を表す文字 $\pi$ (記号は既に表示されています) 存在していましたが、それを広めたのはオイラーでした）。 $i$ は虚数単位、$i^2 = -1$。 $\Sigma$ は合計を示します。等号と文字 π 記号にも誕生日があります。等号 $=$ は、ウェールズのロバート・レコードが 1557 年の著書『知恵の砥石』（The Whetstone of Witte）で、「は等しい」と何度も書かずにすむように考え出しました。同じ長さの二本の平行線を選んだのは、本人の説明によれば、これ以上等しいものはないからです。ギリシア語 periphéreia（円周）の頭文字である $\pi$ を今日の意味で初めて使ったのは、やはりウェールズのウィリアム・ジョーンズで、1706 年のことでした。オイラーは 1730 年代からこれを使い始め、彼の本によって標準になりました。 Euler’s Eyes は、オイラーの目を通して、歴史を通して、そして数学を通して数学を見るという考えから生まれました。ラテン語とギリシャ語の原語。途中で多くの表記が意味を失いました。ルート正方形は、たとえば、ラテン語ではradix quadratum で、正方形の辺です: 4 の根はの辺です。面積 4 の正方形。正方形の辺としての平方根。オイラーの目コレクション基数 quadratum がどのようにして √ になったか (クリックして先に進みます) radix quadratum 4 aequalis 2: 「面積4の正方形の一辺は2に等しい」。スクライブではrad quad 4 aq 2と略します。これらはさらに短縮されて ra qua 4 aq 2 となります。さらに: r q 4 aq 2。 r が数字を「飲み込み」、今日私たちが使用する記号 $\sqrt{4} = 2$ になるまで。オイラーは大きな転換点のただ中に生きた。このサイトで私たちが伝えている方法では、数学は通過しました 5つの時代:

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17 角形の多角形

ギリシャ人以来、定規とコンパスを使って3、4、5、15の辺を持つ正多角形を作成する方法が知られていました。そこから出てくるものはすべて辺の数を 2 倍にします (6、8、10、12…)。 2000 年間、誰も次のものを見つけることができませんでした。ガウスは、$n$ 辺の多角形を構築することは、次を使用して $\cos\frac{2\pi}{n}$ を計算することと同じであることを示しました。整数と四則演算と平方根のみです。そして定規とコンパスは根を張る方法を知っている正方形: それはまさに、の章で見た構造です。 [デカルト](/jp/posts/historia/descartes/）。 17 面について、彼は到達しました $$\begin{aligned} \cos\frac{2\pi}{17} = {} & \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{16} \\ & + \frac{1}{8}\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}} \\ \approx {} & 0{,}93247. \end{aligned}$$ 平方根だけがあり、一方がもう一方の中にあります。したがって、辺が17の多角形を構築できます。法則とは何ですか? ガウスは、$n$ が次のとき、$n$ 辺の多角形が構築できることを発見しました。 2 乗の異なるフェルマー素数: $2^{2^k} + 1$ の形式の素数。 3、5、17、257、65 537。これらは、この章のフェルマー数と同じです。オイラー、次の $2^{32}+1$ が素数ではないことが示されました。 1837では、ピエールヴァンツェルは、これ以外の多角形は構築できないことを証明しました。辺の数をお選びください。緑: 定規とコンパスを使って構築できます。レッド：そんなわけないよ。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

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定規とコンパスを使った平方根

幾何学は、セグメントを使って算術演算ができることを示すことから始まります。最も美しいのは平方根です。 $\sqrt{a}$ を見つけるには: 直線上に長さ1の線分$AB$を描き、次に長さ$a$の線分$BC$を描きます。直径$AC$の半円を描きます。点 $D$ で半円が見つかるまで、$B$ を通る垂線を持ち上げます。次に$BD = \sqrt{a}$。 a の値を変更すると、高さ BD は常に √a になります。 a = 4、9、または 2,25 の場合、ルートは正確です。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。なぜですか? 半円に内接する、一辺が直径の三角形はすべて直角です。したがって、$ADC$ は $D$ 内の長方形、$DB$ は斜辺を基準とした高さになります。三角形 $ABD$ と $DBC$ は似ています。 $$\frac{BD}{AB} = \frac{BC}{BD} \;\Longrightarrow\; BD^2 = AB \cdot BC = 1 \cdot a \;\Longrightarrow\; BD = \sqrt{a}.$$ 図面では、$a = 4$: 高さ $BD$ は正確に 2 単位を測定します。幾何学、ブック I: デカルトは円と直線 (NLM の三角形と点 O) を使用して二次方程式を解きます。ルネ・デカルト、1637 · パブリックドメインデカルトが今日でも使用している規則、つまり最後の文字を確立したのも幾何学でした。未知数の場合はアルファベット ($x$、$y$、$z$)、値の場合は最初 ($a$、$b$、$c$) $x^3$ のように、既知の指数が上部に書かれています。

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バーゼル問題

1650 で、ピエトロメンゴリは、逆二乗の合計がいくらになるかを尋ねました。 $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$ ベルヌーイは試みましたが、失敗しました。合計はゆっくりと増加します。10 項では $1{,}5498$ になります。 100 項では $1{,}6350$ が得られ、1000 項では $1{,}6439$ が得られます。誰もその番号を認識しませんでした彼女は歩きました。図を参照してください。各バーは $N$ 項までの合計です。部分和は、π²/6 に向かってますますゆっくりと上昇します。コントローラーをいじったり、100 万の用語をテストしたりできます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 1735 では、オイラーは大胆なアイデアを使用しました。多項式は根から書くことができます。彼は関数 $\dfrac{\sin x}{x}$ にも同じことが当てはまり、$x = 0$ では $1$ に相当し、でキャンセルされます。 $x = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$: $$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$ 図は、このアイデアが機能していることを示しています。青い曲線は $\dfrac{\sin x}{x}$ で、根は赤でマークされています。カーブゴールデンは括弧がいくつかある積です。因子の数を増やして、積が曲線に沿っていることを確認してください。

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時計演算

今が 15 時なら、10 時間後は何時になりますか? 「25 h」ではなく、1 am: 時計通り、 24 の後、カウントが再び開始されます。ガウスは論争の中でこの考えに名前と象徴を与えました。 $$25 \equiv 1 \pmod{24}$$ 「25 は、24 を法として、1 と合同です」と書かれています。24 で割ったとき、どちらも同じ余りが残ります。シンボル $\equiv$ は等号とほぼ同じように機能し、両側で加算と乗算ができます。アプリケーション: ナインズアウト。 $10 = 9 + 1$ として、$10 \equiv 1 \pmod 9$ があり、次に $100 \equiv 1$、$1000 \equiv 1$など。それが理由です：ナインズアウトが機能する理由 (クリックして次へ) 小数点以下の数値を入力します: $4528 = 4 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 8$。 10 の各べき乗を 1 に置き換えます。これは、9 で割ったときの余りが同じになります: $4528 \equiv 4 + 5 + 2 + 8 = 19 \pmod 9$。 19: $19 \equiv 1 + 9 = 10 \equiv 1 + 0 = 1 \pmod 9$ と繰り返します。結論：4528は9で割ると余りが1となります。 $4528 = 9 \cdot 503 + 1$にチェックを入れてください。任意の数値を入力します。数字の合計を 1 つだけ残るまで繰り返し、9 で割った余りが得られます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

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記号の法則

多項式は正の根をいくつ持つことができますか?デカルトは次のような簡単な規則を与えました。根の数正の値は最大でも連続する係数間の符号変化の数です (そして、証明されたように、偶数だけ異なります)。 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$でご覧ください。係数の符号は $+\ -\ +\ -$: 3 つの変化です。それで、あります 3 または 1 の正の根。実際には、 $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$ ルートは 1、2、3 です。負の根の場合は、$x$ を $-x$ に変更して再度カウントします。 $(-x)^3 - 6(-x)^2 + 11(-x) - 6 = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6$。兆候はすべて否定的です: なし交換、マイナスルートはありません。別の例: $x^3 + x - 2$ では、$+\ +\ -$ 信号の交換は 1 つだけです。違いはどうあるべきかさらに、正の根はちょうど 1 つあり、$x = 1$ を見つけるのは簡単です。

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$e$という数字と複利

Banca、trapeza、mensa: 1450 と 1650 の間の最初のバンカーのテーブル。したがって、銀行と銀行という言葉が由来します。オイラーの目コレクションオイラーに到達する前に、$e$ という数字が銀行を通過しました。お金の語彙はラテン語に由来しています。 depositum (預けられたもの、ponere から)、creditum (信頼されたもの、credere から、信じること)、および十郎（ジュス、ジュリスより右）。 R$ 100 が**100%/ 年**に適用されると想像してください。銀行が年末に一度だけ支払った場合、あなたは受け取ることができます。 R$200。しかし、1 年をいくつかの期間に分割し、利息を支払うとしたらどうなるでしょうか? 年間の期間期間あたりの料金アカウント年末に 1 (年間) 100% $(1 + \frac{1}{1})^1 = 2$ R$ 200,00 2 (6 か月ごと) 50% $(1 + \frac{1}{2})^2 = 2{,}25$ R$ 225,00 4 (四半期ごと) 25% $(1 + \frac{1}{4})^4 \approx 2{,}4414$ R$ 244,14 12 (毎月) ≈ 8,33% $(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2{,}6130$ R$ 261,30 365 (毎日) ≈ 0,27% $(1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2{,}7146$ R$ 271,46 期間が $n$ の場合、大文字は $C_0$ になります。

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