Euler's Eyes
2026-10-10
数学史
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弹簧和微分方程
微分方程是一个方程，其中未知数是一个函数，并且该方程讲述了它的函数 衍生物。欧拉将这条路径组织成一个我们今天仍在使用的方案：观察一个现象，写出 方程，找到解该方程的函数并绘制图形。
**这种现象。**在 1678 中，罗伯特胡克用拉丁语总结了弹簧的行为：uttensio, sic vis，“作为延伸，所以力量。”恒定 $k$ 的弹簧，被 $x$ 拉伸，拉回 强度$F = -kx$。
**方程。**根据牛顿第二定律，$F = m \cdot a$，加速度是 位置，$x''$。然后
$$-kx = m\,x'' \quad\Longrightarrow\quad x'' + \frac{k}{m}\,x = 0.$$
**解函数。**我们寻找一个函数，其二阶导数本身乘以 负数。欧拉的技巧 (1743) 是尝试 $x = e^{rt}$，因为微分 $e^{rt}$ 只会 出现系数 $r$：
$$r^2 e^{rt} + \frac{k}{m}\,e^{rt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\frac{k}{m} \quad\Longrightarrow\quad r = \pm\, i\,\omega, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$
一个虚数出现了！这就是欧拉公式的用武之地： $e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)$。将真实的部分放在一起，解决方案是
$$x(t) = c_1 \sin(\omega t) + c_2 \cos(\omega t).$$
**图表。**质量永远来回移动，绘制出正弦曲线。改变弹簧和质量，看看会发生什么 周期 $T = 2\pi/\omega$ 变化：较硬的弹簧振荡较快，较大的质量振荡较慢。
这是什么功能？ （点击查看下一个谜题）
- 有一个函数 $f$，其导数减去 $2x$ 得到零：$f' - 2x = 0$。 响应： $f(x) = x^2$（加上任何常量）。
- 有一个函数 $h$，其二阶导数与函数本身相加得到零：$h'' + h = 0$。 响应： $h(x) = \sin x$，以及 $\cos x$。这是$k = m$的弹簧方程。
- 有一个函数 $g$，其四阶导数减去函数本身，得到零：$g'''' - g = 0$。 响应： $g(x) = \cos x$，以及 $\sin x$、$e^x$ 和 $e^{-x}$。