オイラーの目
2024-05-13
「三角形の合同」
前回の投稿では、三角形に関する初期の概念について説明しました。さて、性質、特に三角形の合同について話しましょう。
歴史
三角形の合同は幾何学の基本概念であり、その発見は何世紀も前に遡ります。この話を少し詳しく見てみましょう。
- ユークリッドと要素: 紀元前 300 年頃のギリシャの数学者ユークリッドは、有名な著書『要素』で幾何学の原理を形式化しました。この研究で、彼は三角形の合同の基準を次のように確立しました。
- LLL - サイドサイドサイド、
- LAL - サイドアングルサイド、
- ALA - アングルサイドアングルと
- LAAo - サイドアングル 反対の角度。
これらの基準は「合同公準」として知られています。
| 要素 - アレクサンドリアのユークリッド |
|---|
|
- インドの数学の伝統: 古代インドでは、バスカラ 1 世 (7 世紀) などの数学者も三角形の合同性を研究しました。彼らは、辺と角度に基づいて 2 つの三角形がいつ合同であるかを判断する方法を開発しました。
- アラブの貢献: 中世、アル・ビルーニやアル・カシなどのアラブの学者は、幾何学と三角形の合同についての知識を広げました。彼らはまた、三角法とその応用についても調査しました。
- ヨーロッパ ルネサンス: ルネサンスでは、レオナルド ダ ヴィンチやルカ パチョーリなどの数学者が幾何学の原理を再考し、三角形の合同性の理解に貢献しました。
紀元前 600 年頃 (紀元前)、エジプトで初めて三角形の合同が適用されました。ファラオからの使者の要請を受けて、古典古代の七賢人の一人とみなされていたミレトスのタレスは、クフスのピラミッドの高さを計算しました。
定義: 三角形が別の三角形と合同 ($\equiv$) であるのは、次のような頂点間の対応関係を確立できる場合に限ります。
- その辺はもう一方の辺ときれいに一致しています。
- それらの角度は互いの角度と規則正しく一致しています。
定義条件は辺間が 3 つ、角度間が 3 つ合計です。
2 つの三角形が合同になるには最小条件があります。これらは、いわゆるケースまたは一致基準です。
仮定されたケース側 角度側 - LAL
LAL: 2 つの三角形が 2 つの辺を持ち、夾角が一致する場合、それらは合同です。
二等辺三角形の定理
三角形に合同な 2 つの辺がある場合、それらの辺の反対側の角は合同です。
または
すべての二等辺三角形は等角です。
デモンストレーション：
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $$\overline{AB} \equiv \overline{AC} \qquad\Rightarrow \qquad$$ | $$\hat{B}\equiv \hat{C}$$ |
三角形 ABC と ACB について考えてみましょう。仮説を立てると:
$$\overline{AB} \equiv \overline{AC}$$$$B\hat{A}C \equiv C\hat{A}B$$
$$\overline{AC} \equiv \overline{AB}$$
LAL 基準を使用すると、次のようになります。
$$\Delta ABC \equiv \Delta ACB$$したがって、
$$\hat{B} \equiv \hat{C}$$仮定されたケース角度、サイドアングル - ALA
アラ: 2 つの三角形の 2 つの角と 1 つの辺が合同であれば、それらは合同です。
辺 $\overline{BC}$ に隣接する角度を $\hat{B}$ と $\hat{C}$ とし、辺 $\overline{B' C'}$ に隣接する角度$\overline{B' C'}$ を とする $\hat{ B'}$ と $\hat{C'}$
基準なら
$$\hat{B} \equiv \hat{B'}, \quad \overline{BC} \equiv \overline{B' C'}, \quad \hat{C} \equiv \hat{C'}$$それから
三角形 $ABC$ と $A'B'C'$ は合同です。
デモンストレーション：
まず、ケース 1 に戻って $\overline{B A}\equiv \overline{B' A'}$ であることを証明しましょう。
セグメント輸送仮定により、$\overrightarrow{B' A'} $ 上に $\overline{B' X}\equiv \overline{B' A'}$ となる点 $X$ が得られます。したがって、
$$\overline{BC}\equiv \overline{B' C'}$$$$\hat{B} \equiv \hat{B'}$$
$$\overline{B' X}\equiv \overline{B' A'}$$
LAL 基準を使用すると、$\Delta ABC \equiv \Delta XB' C'$ が得られます。したがって、次のようになります。
$$B\hat{C}A \equiv B' \hat{C'}X$$仮説から、角度 $B\hat{C}A \equiv B' \hat{C'}A'$ と $B\hat{C}A \equiv B' \hat{C'}X は次のようになります。 $ と角度輸送公準を使用すると、次のようになります。
$$\overleftrightarrow{B' A'}\quad \text{e} \quad \overleftrightarrow{C' X} = \overleftrightarrow{C' A'}$$一点 $X=A'$ で交わる
これで $X\equiv A'$ が得られます
$$\overline{B' A'}\equiv \overline{B A}$$したがって、
$$\overline{BA}\equiv \overline{B' A'}$$$$\hat{B} \equiv \hat{B'}$$
$$\overline{B' C}\equiv \overline{B' C'}$$
LAL 基準によれば、三角形 $ABC$ と $A' B' C'$ が合同であることを意味します。
$\blacksquare$
この結果により、二等辺三角形の定理への往復が得られます。
三角形に合同な 2 つの辺がある場合、これらの辺の対角が合同である場合に限ります。
仮定された場合 サイド サイド サイド - LLL
LLL: 2 つの三角形がきちんと合同な 3 つの辺を持っている場合、それらは合同です。
デモンストレーション：
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $$\overline{AB} \equiv \overline{A' B'} (1) ~ \overline{AC} \equiv \overline{A' C'}~\overline{BC} \equiv \overline{B' C '} \qquad\Rightarrow \qquad$$ | $$\Delta ABC\equiv \Delta A' B' C'$$ |
角度輸送公準とセグメント輸送公準により、次のような点 $X$ が得られます。
$$X\hat{A'}B \equiv C\hat{A'}B ~(4)$$$$\overline{A' X} \equiv \overline{AC} ~(5)$$
ここで、$X$ は直線 $\overleftrightarrow{A'B'}$ に関して $C'$ の反対側の半平面にあります。
(5) と (2) から次のようになります。
$$\overline{A' X} \equiv \overline{A'C'} ~(6)$$$D$ を $\overline{C' X}$ と直線 $\overleftrightarrow{A'B'}$ の交点とします。
LAL 基準を使用した (1)、(4)、(5) から、三角形 $ABC$ は三角形 $A' B' X'$ と合同であることがわかります (7)。結果として：
$$\overline{XB'} \equiv \overline{CB }\quad \Rightarrow{(3) \quad \overline{XB'} \equiv \overline{C' B }~ (8)}$$三角形 $A' C' X$ は底辺 $\overline{C'}$ を持つ二等辺三角形です
三角形 $B' C' X$ は底辺 $\overline{C'}$ を持つ二等辺三角形です
(9) と (10) から次のことがわかります。
$$A \hat{C'} B \equiv A' \hat{X}B'~(11)$$(6)、(11)、(8) から、三角形 $A' B' C'$ と $A' B' X$ が合同であることがわかり、したがって、三角形 $A BC$ と $A' B' C'$ は合同です。
$\blacksquare$
中点の存在
直線セグメント $\overline{AB}$ が与えられた場合、角度とセグメント輸送公準を使用して、次のように構築します。
$$C\hat{B}A \equiv D\hat{B}A$$$$\overline{AC} \equiv \overline{DB}$$
$C$ と $D$ が直線 $\overleftrightarrow{AB}$ に対して反対側の半平面にある
線分 $\overline{CD}$ は点 $M$ で線分 $\overline{AB}$ と交差します。結果として、以下の合同性が得られます。
$$\Delta CAB \equiv \Delta DBA$$LAL 基準によると、$\overline{AB}$ は共通側です。
$$\Delta CAD \equiv \Delta DBC$$角度の合計による ALA 基準または LLL による。
$$\Delta AMD \equiv \Delta BMC$$ALA基準による。この結果、$\overline{AM} \equiv \overline{BM}$、つまり $M$ は $\overline{AB}$ の中点になります。
仮定されたケース側の角度、反対側の角度 - LAA0
LAA0: 2 つの三角形が整然とした辺、隣接する角、およびその辺の反対側の角が合同であれば、それらは合同です。
解決された演習
1) 三角形 ABC が底辺 $\overline{BC}$ の二等辺の場合、x と y を求めます。
解決：
三角形は底面 $\overline{BC}$ の二等辺であるため、$2x-40^\circ$ に隣接する角度は $y$ となり、次のようになります。
$$2x-40^\circ = x-45^\circ$$$$2x-40^\circ {\color{red}{-x}}= x-45^\circ {\color{red}{-x}}$$
$$x-40^\circ {\color{red}{+40^\circ}}= 45^\circ {\color{red}{+40^\circ}}$$
$$x= 85^\circ$$
それでも、私たちはしなければなりません
$$y + \underbrace{x}_{85^\circ}+45^\circ = 180^\circ$$$$y + 85^\circ+45^\circ = 180^\circ$$
$$y +130^\circ = 180^\circ$$
$$y +130^\circ {\color{red}{-130^\circ}} = 180^\circ{\color{red}{-130^\circ}}$$
$$y = 50^\circ$$
2) 正三角形の周囲長が75cmの場合、一辺の長さはどれくらいですか？
解決：
正三角形なので三辺は等しいです。したがって、周長は次のように求められます。
$$\text{周囲}=p=75~\text{cm}$$$$x+x+x=75$$
$$3x=75$$
$$3x{\color{red}{~.~\frac{1}{3}}} =75{\color{red}{~.~ \frac{1}{3}}} $$
$$x = 25~\text{cm} $$
3) 図 $\overline{BF}\equiv \overline{CD}$ では、$m(A\hat{B}C)=m(F\hat{D}E)$ と $ m(B\hat{A}C)=m(D\hat{E}F)$。 $\overline{AC} \equiv \overline{EF}$ であることを証明してください。
解決：
仮説から $\overline{BF}\equiv \overline{CD}$ が得られ、次のようになります。
$$\overline{BF}+\overline{FC}\equiv \overline{CD}+\overline{FC}$$$$\overline{BD}\equiv \overline{DF}$$
仮説 $m(A\hat{B}C)=m(F\hat{D}E)$ より、 $m(B\hat{A}C)=m(D\hat{E}F)$ $\overline{BD}\equiv \overline{DF}$ の場合、ALA 基準を使用して、三角形 $ABC$ と $EDF$ が合同であると主張します。
したがって、
$$\overline{AC} \equiv \overline{EF}$$これらは三角形の合同の初期概念です。次の投稿をお待ちください。