前回は三角形の合同についてお話しました。ここで、平面幾何学、特に三角形の基本概念である平行度について話しましょう。幾何学における平行度は、線と平面の関係を説明する基本的な概念です。

幾何学における並列処理の歴史

幾何学における平行度の概念は、古代、特に紀元前 300 年頃のギリシャの数学者ユークリッドに起源を持ち、彼は、単一の直線が特定の直線に平行な点を通過するという平行公準を導入しました。この公準は、私たちが日常的に研究している幾何学であるユークリッド幾何学の基礎の 1 つです。

時間が経つにつれて、平行度の概念は進化し、直線を超えて拡張され、ユークリッド空間の平面も含まれるようになりました。したがって、2 つの線に共通点がなく、同じ平面内に含まれる場合、2 つの線は平行になります。同様に、2 つの平面に共通点がない場合、それらの平面は平行になります。

幾何学における並列性の研究は引き続き活発な研究分野であり、物理学から工学、建築に至るまで、さまざまな分野に応用されています。したがって、並列処理は数学の歴史において重要な役割を果たし、今日でも関連し続ける基本的な概念です。

概念とプロパティ

平行度は、直線と平面の間の相対的な位置を研究し、これらの位置とこれらの要素間の相互作用から生じる特性に焦点を当てます。

平行線: 2 本の線が同じ平面内に含まれ、それらの間に共通点がない場合、それらの線は平行とみなされます。これは、単一の直線が特定の直線に平行な点を通過するというユークリッドの公準によって特徴付けられます。

定義: 2 本の線が平行 (//) になるのは、それらが一致 (等しい) または同一平面上にあり1、共通点がない場合に限ります。

鉄道路線 平行線

平面に平行な線: 直線と平面は、共通点がない場合に平行です。これを検証するために、平面の外側の直線を考慮します。この平面に属し、考慮されている線と平行な線がある場合、その線はその平面に平行になります。

平行線のフェンス 写真 平行線のフェンス平面に平行な線

平行平面: 2 つの平面は、共通点がない場合に平行とみなされます1。 2 つの平面が平行な場合、一方の平面に属する線は他方の平面と平行になります1。

平行な面を持つ窓 並行計画

並列処理のプロパティ:

  • 2 つの異なる平面が平行な場合、一方の直線は他方の平面と平行になります。
  • 直線が平面に平行である場合、その直線はその平面内の少なくとも 1 つの直線に平行です。 ・直線が平面に含まれず、平面内の直線に平行な場合、その直線は平面に平行です。
  • 平面が 2 つの平行な平面と交差する場合、その交点は 2 つの平行線になります。
  • ある平面に別の平面に平行な 2 つの競合する直線が含まれている場合、考慮される平面は平行です。

横線

$a$ と $b$ を平行か非平行の 2 つの異なる線とし、$t$ を $a$ と $b$ と同時の線とする:

  • $t$ は $a$ と $b$ の横断です

角度に関しては、次のとおりです。

代替 特派員 担保
$\hat{1}$ と $\hat{7}$ $\hat{1}$ と $\hat{5}$ $\hat{1}$ と $\hat{8}$
$\hat{2}$ と $\hat{8}$ $\hat{2}$ と $\hat{6}$ $\hat{2}$ と $\hat{7}$
$\hat{3}$ と $\hat{5}$ $\hat{3}$ と $\hat{7}$ $\hat{3}$ と $\hat{6}$
$\hat{4}$ と $\hat{6}$ $\hat{4}$ と $\hat{8}$ $\hat{4}$ と $\hat{5}$

補欠の場合:

内部代替 外部代替
$\hat{3}$ と $\hat{5}$ $\hat{1}$ と $\hat{7}$
$\hat{4}$ と $\hat{6}$ $\hat{2}$ と $\hat{8}$

担保の場合:

内部担保 外部担保
$\hat{3}$ と $\hat{6}$ $\hat{1}$ と $\hat{8}$
$\hat{1}$ と $\hat{8}$ $\hat{2}$ と $\hat{7}$

最も重要な結果の 1 つは、次のアニメーションに示すように、平行線と、対応する交互の角度です。

パラレルの存在

定理: (平行の存在) 2 本の異なる同一平面上の線と横断線が一致する交互の角度 (または対応する角度) を決定する場合、これら 2 本の線は平行です。

デモンストレーション：

仮説 論文
$\alpha \equiv \beta \quad \Rightarrow \quad$ $a \parallel b$

結果を証明するために、$a$ と $b$ が並列ではないというばかばかしい仮定をしてみましょう。この場合、共通の点 $P$ があり、その交点は点 $P$ と等しくなります。つまり、$a\cap b = \\{P\\}$ となります。さらに、 $a\cap t = \\{A\\}$ および $b\cap t = \\{B\\}$ です。

結果として、次のような三角形 $ABP$ が得られます。

三角形 $ABP$ に外角定理を適用すると、次のようになります。

$$\alpha > \beta$$

または

$$\alpha < \beta $$

仮説によれば、これは不合理です。

したがって、直線 $a$ と $b$ は平行になります ($a \parallel b$)。

$\blacksquare$

並列構造

ここでは、$a$ の外側の指定された点 $P$ を通り、指定された直線 $a$ に平行な直線 $b$ を作成します。

  1. 最初に $P$ を通る直線 $t$ を引き、$a$ 内の点 $M$ を決定します。
  2. $M$ とは異なる (別個の) 点 $A$ を $a$ として取り込みます。
  3. 頂点 $P$ を用いて、片側 $\overrightarrow{PM}$ で、$B$ との角度 $A\hat{M}P$ と合同な角度 $M\hat{P}B$ を構築します。直線 $\overrightarrow{PM}$ に対して $A$ の反対側の半面内にあります。
  4. 行 $\overrightarrow{PB}$ は行 $b$ です

実際、$A\hat{M}P=\alpha$ および $M\hat{P}B=\beta$ とすると、並列存在定理により次のことがわかります。

$$\alpha=\beta \qquad \Rightarrow \qquad a \parallel b$$

平行線の一意性 (ユークリッドの公準)

任意の直線に平行な直線の一意性はユークリッドの公準です。それは私たちがユークリッド幾何学として特徴づけるものです。

公理: (ユークリッドの公準) 単一の直線は、任意の直線に平行な点を通過します。

この公理から、次の定理が証明されます。

定理: (平行線の一意性) 2 本の異なる平行線が横断線と交差する場合、交互の角度 (または対応する角度) は合同です。

$a\neq b$ と $a \parallel b$ の場合、$\alpha \equiv \beta $ になります。

デモンストレーション：

仮説 論文
$a\neq b$ が $a \parallel b \quad \Rightarrow \quad$ の場合 $\alpha \equiv \beta $

$\alpha$ と $\beta$ が合同でない場合、$P.$ を通る直線 $x,$ は $b,$ とは異なります。

点$P$を直線$b$と直線$t$の交点とする

$$\\{P\\} = b\cap t$$

$\hat{xt}=\beta'$ が $\alpha$ と $\beta'\equiv \alpha$ の間で交互になるようにします。

平行存在定理から次のことがわかります

$$\alpha=\beta' \qquad \Rightarrow \qquad x \Parallel a$$

点 $P$ を通ると、2 つの異なる (別個の) 線 $x$ と $b$ ができ、両方とも線 $a,$ に平行になります。これは不合理です。

不条理であるのは、それが平行線の公準に矛盾するからです。

したがって、$\alpha$ は $\beta,$ と一致します。つまり、

$$\alpha \equiv \beta$$

$\blacksquare$

平行線の必要十分条件

定理: (平行線) 2 本の異なる線が平行であるための必要十分条件は、それらが横断線と合同の交互の角度 (または対応する角度) を形成することです。

$$\alpha=\beta \qquad \Leftrightarrow \qquad a \parallel b$$

デモンストレーション：

存在定理と一意性定理を使用するだけです。

$\blacksquare$

外角

ユークリッド幾何学で広く使用される結果の 1 つは、三角形の外角です。

定理: (外角) すべての三角形において、どの外角も隣接しない 2 つの内角の合計に等しい。

デモンストレーション：

点 $C$ を通り、直線 $\overleftrightarrow{AB}$ と平行な直線 $\overleftrightarrow{CD}$ を描きます。以下に示すように、角度 $\alpha$ と $\beta$ があります。

平行線 角度の合同 プロパティ
$\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD} \qquad \Rightarrow \qquad $ $\alpha \equiv \hat{A} $ 代替
$\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD} \qquad \Rightarrow \qquad $ $\beta \equiv \hat{B} $ 特派員

テーブルの 2 つの行を追加すると、次のようになります。

$$\alpha + \beta = \hat{A} + \hat{B}$$

または

$$\hat{e} = \hat{A} + \hat{B}$$

$\blacksquare$

三角形の内角の和

三角形の角度の合計は 2 つの直角に等しい。

デモンストレーション：

角度 $\hat{e}$ と $\hat{C}$ は補足的なものであるため、これは次のことを意味します。

$$\hat{e}+ \hat{C} = 2 \perp = 2\times 90^\circ = 180^\circ$$

外角定理から、

$$\hat{e} = \hat{A} + \hat{B}$$

これら 2 つの結果から、次のことがわかります。

$$m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ$$

または

$$\hat{A} +\hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$$

$\blacksquare$

平行な辺の角度

定理: (平行な辺を持つ角度) それぞれ平行な辺を持つ 2 つの角度は合同または補足的です。

デモンストレーション：

測定角度 $\alpha$ と $\alpha'$ が補足的に隣接し、$\beta$ と $\beta'$ が補足的に隣接するとします。

$\alpha = \gamma$ および $\beta = \gamma$ の並列処理により、次のようになります。

$$\alpha = \beta$$

結果として：

$$\alpha' = \beta'$$

それは

$$\alpha + \beta' = 180^\circ$$

$$\alpha' + \beta = 180^\circ$$

$\blacksquare$

ここでは並列処理について簡単に説明しました。次の投稿をお待ちください。

  1. coplanar: 他のものと同じ平面上に位置し、特に幾何学的図形について話します。 ↩︎