前回の記事ではタレスの定理についてお話しました。さて、三角形の注目すべき点について話しましょう。

歴史

「チェビアーナ」という用語は、イタリアの数学者ジョバンニ・チェヴァの名前に由来しています。セビアンは、三角形の頂点と反対側を含む線上の任意の点を結ぶ線分です。三角形の注目すべき点は、セビアンの研究から得られました。

セビアンの例には、中央値、高さ、二等分線などがあります。たとえば、中央値は、開始点の頂点とその頂点の反対側の中点を接続します。重心は中央線の交わる点であり、三角形の重心を表します。

セビアナ

チェヴィアナ は、三角形の頂点から始まり、その頂点の反対側を切断するセグメントです。セビアンの例は次のとおりです。

  • 中央値、
  • 身長と
  • 二等分線。

重心 - 中央値

定義: 三角形の 3 つの中央線は、頂点を含む部分のサイズが他方の 2 倍になるように、各中央線を 2 つの部分に分割する同じ点で交差します。定義する 2 番目の方法は、三角形が与えられ、その中央値が交わる点を重心または重心と呼びます。

これにより、次の結果が得られます。

定理 1: 三角形の中線は、頂点までの距離が対応する中央値の 2/3 に等しい点で交わります。

デモンストレーション：

$X$ を、次のような直線セグメント間の交点によって与えられる点とします。

$$\overline{BM_2}\cap \overline{CM_3} = \\{X\\}$$

$\overline{M_2 M_3}$ を三角形の平均底辺とします。つまり、次のようになります。

$$\overline{M_2 M_3} = \frac{\overline{BC}}{2}$$

$\overline{M_2 M_2}$ が $\overline{BC}$ と平行になります。

$\overline{BC}$ に平行な線分 $\overline{DE}$ を次のように取得します。

$$\overline{DE} = \frac{\overline{BC}}{2}$$

これにより、平行四辺形 $M_2 M_3DE$ が得られ、合同式が得られます。

$$\overline{DX}\equiv \overline{X M_2}$$

$$\overline{EX}\equiv \overline{X M_3}$$

したがって、合同式から次のことが得られます。

$$\overline{BX}=2~.~\overline{X M_2}$$

$$\overline{CX}=2~.~\overline{X M_3}$$

したがって、中央値 $\overline{B M_2}$ は、次のように点 $X$ で中央値 $\overline{C M_3}$ と交差します。

$$\overline{CX}=2~.~\overline{X M_3}$$

結果は他の中央値でも同様です。

$\blacksquare$

インセントロ - 内部二等分線

定理 2: 三角形の二等分線は、辺から等距離にある内部の点で交わります。より具体的には、三角形の 3 つの内部二等分線は、三角形の辺から等距離にある同じ点で交差します。

デモンストレーション：

$S$ を三角形の内点とし、この点が直線セグメント $\overline{BS_2}$ と $\overline{CS_3}$ の交点となるようにします。

$$\overline{BS_2}\cap \overline{CS_3} = \\{S\\}$$

点 $S$ はセグメント $\overline{BS_2}$ と $\overline{CS_3}$ に属していることを覚えておく価値があります。結果として、$S$ から頂点までの距離は等しいことがわかります。

$$S \in \overline{BS_2} \quad \Rightarrow \quad d_{S,a} = d_{S,c}$$

$$S \in \overline{CS_3} \quad \Rightarrow \quad d_{S,a} = d_{S,b}$$

これから、次のことがわかります。

$$d_{S,c} = d_{S,b} \quad \Rightarrow \quad S\in \overline{AS_1}$$

したがって、点 $S$ から頂点までの 3 つの距離は等しくなります。

$$\overline{AS_1} \cap \overline{BS_2} \cap \overline{CS_3} = \\{S\\} \quad \text{e}\quad d_{S,a} = d_{S,b } = d_{S,c} $$

$\blacksquare$

定義 (中心): 内部二等分線間の会合点 (交差点) です。

注: 内心は、三角形に内接する円の中心です。

外心 - 二等分線

外心を示すために、垂直二等分線が何であるかを定義しましょう。

定義 (Mediatrix): 2 つの異なる点 A および B から等距離にある点の幾何学的軌跡です。

定理 3: 三角形の辺の 3 つの垂直二等分線は、頂点から等距離 (同じ距離) の点で交わります。

デモンストレーション：

$O$ を 2 つの垂直二等分線間の会合点または交点とします。

$$m_2 \cap m_3 = \\{O\\}$$

この点は垂直二等分線に属していることを覚えておく価値があります。

$$O \in m_2 \quad \Rightarrow \quad \overline{OA} \equiv \overline{OC}$$

$$O \in m_3 \quad \Rightarrow \quad \overline{OA} \equiv \overline{OB}$$

結果として $\overline{OB} \equiv \overline{OC}$ となり、点 $O$ が m_1$ の垂直二等分線 1 $O\ に属することを意味します。

したがって、

$$m_1 \cap m_2 \cap m_3 = \\{O\\} \quad \text{e} \quad \overline{OA} \equiv \overline{OB} \equiv \overline{OC}$$

$\blacksquare$

定義 (周囲中心): それは、その媒介物間の会合点です。

注: 外心とは、三角形に外接する円の中心です。

直交中心 - 高地

定理 3: 三角形の高さ (支持線) は点で交わります。

デモンストレーション：

三角形の頂点$A$、$B$、$C$を通り、対辺に平行な直線を引き、三角形$MNP$を求めます。

三角形の頂点は、外三角形と平行線で構成される線分に属します。

$$A\in \overline{NP} \quad \text{e} \quad \overline{NP} \parallel \overline{BC}$$

$$B\in \overline{MP} \quad \text{e} \quad \overline{MP} \parallel \overline{AC}$$

$$C\in \overline{MN} \quad \text{e} \quad \overline{MN} \parallel \overline{AB}$$

平行四辺形の性質から次のことが得られます。

$$APBC \text{ は平行四辺形} \quad \Rightarrow \quad \overline{AP}\equiv \overline{BC}$$

$$ABCN \text{ は平行四辺形} \quad \Rightarrow \quad \overline{AN}\equiv \overline{BC}$$

このことから、$A$ が $\overline{NP}$ の中点であることがわかります。

結果として、$\overleftrightarrow{AH_1}$ は $\overline{BC}$ に垂直で、$\overline{NP}$ は $\overline{BC}$ に平行です。これは、$\overleftrightarrow{AH_1}$ が $\overline{BC}$ に垂直であることを意味します。 $\ オーバーライン {NP}$。

したがって、直線 $\overleftrightarrow{AH_1}$ は $NP$ の垂直二等分線になります。他の二等分線も同様です。

したがって、三角形の辺の垂直二等分線 $\overleftrightarrow{AH_1}$、$\overleftrightarrow{BH_2}$、$\overleftrightarrow{CH_3}$ は点 $H$ で交差します。

$$\overleftrightarrow{AH_1}\cap \overleftrightarrow{BH_2} \cap \overleftrightarrow{CH_3} = \\{H\\}$$

$\blacksquare$

定義 (直交中心): 高さが交わる点です。

解決された演習

$G$ を三角形 $ABC$ の中心として、$x$、$y$、$z$ を次のように決定します。 $AG=10$、$BG=y$、$CG=14$

解決：

$G$ が重心であるため、三角形の 3 つの中央線は同じ点で交差し、頂点を含む部分のサイズが他の部分の 2 倍になるように、各中央線が 2 つの部分に分割されます。このような、

$$2x = \overline{CG}$$

$$x = \frac{14}{2} = 7$$

同じやり方で、

$$2y = 6$$

$$y = 3$$

そして最後に、

$$2z = \overline{AG}$$

$$z = \frac{10}{2} = 5$$

ここでは、三角形の注目すべき点に少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。