オイラーの目
2024-06-05
『テイルズの定理』
前回の記事では三角形の相似についてお話しました。さて、タレスの定理について話しましょう。これは平面幾何学、特に三角形の基本概念です。
ミレトスのタレスの物語
ミレトスのタレスは、ソクラテス以前の重要なギリシャの思想家、哲学者、数学者でした。彼は「科学の父」および「西洋哲学」であると考えられている人もいます。彼の主なアイデアは、数学、哲学、天文学の分野で理論的視野を広げました。彼の人生と貢献について詳しく見てみましょう。
ミレトスのタレスの伝記
タレスは紀元前 623 年か 624 年頃に、イオニア地方 (現在のトルコ) に位置する古代ギリシャの植民地ミレトスで生まれました。 彼は多くの技術と学問に優れた人物で、ギリシャ国民から尊敬されていました。 その中で彼は、当時の宗教的な観点を打ち破り、自然現象と存在理由に対する合理的な答えを追求しました。
彼は最古の哲学学派と考えられる「イオニア学派」を設立し、思想家は自然の観察を通じて宇宙論的な説明を模索しました。タレスはエジプトとバビロンを旅し、知識を深め、大いに賞賛される人物になりました。
アナクシマンドロスやアナクシメネスなどの他の哲学者とともに、彼は「ミレトスの学派」（ミレシマ）を設立し、その信奉者は擬人化された神々や自然現象に基づいた哲学の信奉者でした。
天文学と数学
タレスは多くの天体観測を行い、紀元前 585 年には日食を予測しました。 数学では、三角形、平行線、円の性質の類似性に関する理論に貢献しました。
ミレトスのタレスの哲学
タレスは 3 つの主要な理論に基づいていました。
- 私たちが知っているものはすべて水でできており、人間もこの環境では別の存在です。
- 無生物を含むすべてのものは生命に満ちています。
- 変化と生成は凝縮と希薄によってのみ達成されます。
タレスにとって、知識の探求は私たちが持つことのできる最も美しい対象でした。ミレトスのタレスは紀元前 556 年か 558 年頃に故郷で亡くなりました。
定義
平行線のビーム (F): は、互いに平行な同一平面上の線のセットです。
平行線の束の横断線 (T): は、ビーム内のすべての直線と競合するビーム平面内の直線です。
2 つの横断点の対応点: は、ビームの同じ直線上にある横断点です。
2 つの横断線の同時セグメント: は、端がそれぞれ対応する点であるセグメントです。
財産
2本の直線が別個の平行線の束の横線であり、そのうちの一方の線分が互いに合同な $p$ 部分に分割され、分割点を通って束から導出される場合、もう一方の対応する線分は、横方向:
- も$p$部分に分かれています
- これらの部分も互いに合同です
パート 1 $\overline{AB}$ と $\overline{A' B'}$ を対応するセグメントとし、$\overline{AB}$ を梁の直線によって $p$ の部分に分割します。
$\overline{A' B'}$ がより少ない部分 (またはより多くの部分) に分割されている場合、$\overline{AB}$ (または $\overline{ A' B'}$)、
ビームの直線は平行なので、これは不合理です。
パート 2 $\overline{AB}$ は、$x$ に適合する部分に分割されます。
$\overline{A' B'}$ の分割点を経由し、$\overline{AB}$ への平行線を取り、各分割の三角形を取得します。
ALA の場合、すべての三角形は合同です。平行四辺形と平行辺の角が得られることに注意してください。
このように、$\overline{A' B'}$ は分割点によって合同な部分に分割されます
タレスの定理
比例を使った次のトピックは、ミレトスのタレスの定理です。この偉大な幾何学は紀元前 6 世紀に高く評価されました。
これらの多大な貢献により、彼は記述幾何学の先駆者の一人として認められるようになりました。
テイルズの定理: 幾何学に適用される比例性です。 少なくとも 3 本の直線を含む平行線の束が 2 本の横断線と交差する場合、一方の横断線の任意の 2 つのセグメントは、もう一方の横断線の対応するセグメントに比例します。
3 つの平行線が 2 つの横線で切断され、4 つのセグメントが形成されます。
三角形の相似性の概念を使用すると、次の図が観察されます。
したがって、次のような比例関係が得られます。
$$\dfrac{\bar{AB} }{\bar{A^\prime B^\prime} } = \dfrac{\bar{BC} }{\bar{B^\prime C^\prime} }$$タレスの定理の証明
当初は以下のものがありました:
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ はトランスバーサルの 2 つのセグメントであり、$\overline{A' B'}$ と $\overline{C' D'}$ はそれぞれ他のセグメントの対応物です。 | $$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{A' B'}}{\overline{C' D'}}$$ |
ケース 1
$\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ を可使可能とします (可使可能な線分とは 1 単位の倍数です)。
$\overline{AB}=px$ と $\overline{CD}=qx$ の約数であるセグメント $x$ があります。 2 つのセグメントの比率を取ると、次のようになります。
$$\frac{AB}{CD}=\frac{p}{q}$$同じ類似の方法で、$\overline{A' B'}=px'$ と $\overline{C' D'}=qx'$ のプロパティを使用すると、次のようになります。
$$\frac{A' B'}{C' D'}=\frac{p}{q}$$その結果
$$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{A' B'}}{\overline{C' D'}}$$ケース 2
$\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ を通約不可能なものとします (通約不可能とは、$\pi$ などの無理数の倍数です)。
$\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ に共通の約数セグメントはありません。
最初のステップは、$\overline{CD}$ の約数であるセグメント $y$ を取得することです ($n$ はこの約数の整数です)。
$$\overline{CD}=n.y \quad (*)$$仮説により、$\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ は通約不可能であるため、$\overline{AB}$ 内の $y$ を特定の整数 $m$ 回連続してマークします。これから、$\overline{AB}$ が $m$ とその後継 $m+1$ の間にあることがわかります。
$$m.y < \overline{AB} < (m+1).y \quad (**)$$(**) を (*) で割ると、次のようになります。
$$\frac{m}{n} < \frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} < \frac{m+1}{n}$$ここで、$\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ の分割点を通るビーム直線を実行します。このポストの性質により、次のようになります。
$$\overline{C' D'}=n.y' \quad (1)$$$$m.y' < \overline{A' B'} < (m+1).y' \quad (2)$$
(1) を (2) で割ると、次のようになります。
$$\frac{m}{n} < \frac{\overline{A' B'}}{\overline{C' D'}} < \frac{m+1}{n}$$数値 $\frac{m}{n}$ と $\frac{m+1}{n}$ は一意であり、隣接するクラスを形成し、実数に非常に近いものになります。
$$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{A' B'}}{\overline{C' D'}}$$$\blacksquare$
物語の例
$x$ を見つけます。
テイルズの定理から、次のことが得られます。
$$\dfrac{15}{5} = \dfrac{20 }{x }$$$$x = \dfrac{100 }{15 }$$
$$x = \dfrac{20 }{3 }$$
ここではタレスの定理について簡単に紹介しました。次の投稿をお待ちください。