オイラーの目
2024-07-11
「直角三角形の関係」
直角三角形は、その単純さと複雑さが同時に存在するため、数学者や学生を魅了する幾何学図形です。直角三角形の計量関係は、辺の長さと斜辺上の脚の投影を関連付ける一連の公式です。これらの関係は、三角法と解析幾何学のより高度な概念を理解するための基礎です。
これらの関係の中で最もよく知られているのはピタゴラスの定理です。これは、直角三角形では、斜辺 (直角の反対側の辺) の 2 乗が、他の 2 つの辺、脚の 2 乗の合計に等しいと述べています。数学的には、これは $a^2 = b^2 + c^2$ として表されます。ここで、$a$ は斜辺、$b$ と $c$ は脚です。
この記事では、他の重要なメトリクスの関係についても説明します。これらの関係は、エンジニアリング、建築、さらにはナビゲーションなど、いくつかの実際のアプリケーションで非常に役立ちます。これらを使用すると、アクセスできない距離を計算し、複雑な問題を比較的簡単に解決できます。
ピタゴラススーツ
最初に、ピタゴラススーツとは何かを定義します。詳細については、ピタゴラススーツ による投稿を参照してください。
定義 (ピタゴラス テルノ): は、次のような自然数 $x,y$ および $z$ (アジサシ) のセットです。
$$x^2 + y^2 = z^2$$
この定義は、アレクサンドリアのユークリッドによって使用され、直角三角形に対応するピタゴラスの定理の概念を使用しました。
シュメール人は最も有名な著者よりずっと前からピタゴラスの定理を知っていたことを覚えておく価値があります。彼らは、当時最も一般的な関係を知っていました。それは、次の式で与えられる集合 $(x,y.z) = (3,4,5)$ でした。
$$3^2+4^2 = 5^2$$
しかし、$x^2 + y^2 = z^2$ となるような自然数 $(x,y,z)$ の集合が存在することを証明したのはピタゴラスだけです。
直角三角形における計量関係の歴史
直角三角形のメトリック関係は、直角三角形の辺の長さを関連付ける一連の式です。これらの関係は三角法と解析幾何学の基礎であり、歴史を通じてさまざまな実践的および理論的問題を解決するために使用されてきました。
ピタゴラスの定理に加えて、直角三角形には同様に重要な他の計量関係があります。例えば、脚の斜辺への投影と斜辺からの高さも、互いに特定の関係を有する要素である。これらの関係を使用すると、他の長さがわかっている場合に未知の長さを見つけることができます。これは、数学の多くの分野で非常に役立つテクニックです。
これらの計量関係の発見と証明は、歴史を通じて数人の数学者によるものと考えられています。ピタゴラスの定理はピタゴラスと関連付けられていますが、他の計量関係の多くは、中世とルネサンスの古代ギリシャ、インド、イスラム世界、ヨーロッパの数学者によって発見されました。ユークリッドやバスカラなどの数学者は、これらの関係の理解の発展に大きく貢献しました。
ピタゴラスの定理
この本の序文では、正方形の辺の概念から始めました。私たちの「基数方形体」。
この図から、正方形の面積があることがわかります。これは、現在の数学では辺 $\times$ です。
例 1:
$$\text{エリア 1} = 3\times 3 = 9$$$$\text{エリア 2} = 4\times 4 = 16$$
$$\text{エリア 3} = 5\times 5 = 25$$
$$\text{エリア 1} + \text{エリア 1} = \text{エリア 3}$$
例 2:
$$\text{エリア 1} = 6\times 6 = 36$$$$\text{エリア 2} = 8\times 8 = 64$$
$$\text{エリア 3} = 10\times 10 = 100$$
$$\text{エリア 1} + \text{エリア 1} = \text{エリア 3}$$
この概念を一般化すると、ピタゴラスの定理が得られます。
辺 (latus) a の正方形 (quadratum) に (et) を加えたもの 辺 (latus) b の正方形 (quadratum)
辺 (latus) c の正方形 (quadratum) に等しい (aequalis)。
直角三角形の表現
直角三角形は、名前の由来により、直角の 1 つ (90 度) を持ちます。つまり、三角形の 2 つの辺のように、三角形の 2 つの辺が垂直1です。 四角。以下に、歴史に従って、教科書によって強制的に押し付けられた名前を紹介します。
私たちが「カテトス」として知っているものは、垂直 ⊥ であるものを表し、「斜辺」として私たちが知っているものは、下にあるものを表します。 2 本の垂直線 (引き伸ばされた)。
次に、いくつかの用語を定義しましょう。
- 面: AB、BC、AC
- 内角: $B\hat{A} C$、$A\hat{B} C$、$A\hat{C} B$
- 側面寸法:
- a = BC 測定
- b = AC測定
- c = AB の測定値
- 角度測定:
- $\hat{A}$= $B\hat{A} C$ の単位
- $\hat{B}$ = $A\hat{B} C$ の測定
- $\hat{C}$= $A\hat{C} B$ の測定
正三角形
正三角形は、equi (equal) latero (sides) という単語から派生し、直角三角形から得られます。直角三角形は正三角形の半分 (½) です。
直角三角形から、次の例の斜辺には距離 a があり、一方の脚には距離 h があり、もう一方の脚には距離があることがわかります。 a/2。次の図に示すように:
直角三角形を展開すると、下の正三角形（3つの等しい辺）が得られます。
例 1:
これにより、次が得られます。
$$h= \frac{a}{2}~.~\text{基数}~ 3$$または
$$h= \frac{a}{2}~.~\sqrt{3}$$直角三角形のメートル関係
直角三角形 ABC を取り、BC に D を入れて BC に垂直に AD を実行すると、次が得られます。
- AD = ハイポテン使用に対する相対的な身長 (測定: h)
- BD = 辺 AB の斜辺への投影 (測定: m)
- CD = 斜辺上の AC の投影 (測定値: n)
- $AB \perp AC$ および $BC \perp AD$ 以降の $\hat{B}\equiv \hat{1}$ および $\hat{C}\equiv \hat{2}$
プロパティ 1
三角形 $ABC$ と $ABD$ ($\Delta ABC \sim \Delta ABD$) の類似性は、$\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{m}$ を意味します。
$$c² = a. m$$
三角形 $ABC$ と $ACD$ ($\Delta ABC \sim \Delta ACD$) の類似性は、$\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{n}$ を意味します。
$$b² = a. n$$
プロパティ 2
三角形 $ABD$ と $ACD$ ($\Delta ABD \sim \Delta ACD$) の類似性は、$\dfrac{h}{n} = \dfrac{m}{h}$ を意味します。
$$h² = m。 n$$
プロパティ 3 (ピタゴラスの定理)
性質 1 から、$c^2 = a.m$ および $b^2 = a.n$ がわかります。これら 2 つの方程式を追加すると、次のようになります。
$$b^2 + c^2 = a.n + a.m = a(n+m) = a.a = a^2$$これにより、ピタゴラスの定理が得られます。
$$b^2 + c^2 = a^2$$
プロパティ 4 (円に内接する直角三角形)
直角三角形のもう 1 つの注目すべき特性は、辺の中点 (M、N、O) を取得し、図に示すようにそれらを接続すると見ることができます。
AMON 多角形は長方形であるため、次のようになります。
$$OA \equiv MN \equiv \dfrac{BC}{2}$$
つまり、斜辺に対する中央値はその半分に等しくなります。
結果として、次のことを行う必要があります。
$$OA \equiv OB \equiv OC \equiv \dfrac{BC}{2} \equiv r$$
ここで、$r$ は円の半径です。
解決された演習
練習問題 1: x を a の関数として決定します。
解決：
a) 直角三角形の底辺は斜辺の半分なので、この長方形を折ると正三角形ができます。この場合、$x$ は正三角形の高さで与えられます。
$$\text{高さ} = h = \frac{\text{横} \sqrt{3} }{2}$$
したがって、次のことを行う必要があります。
$$x = \frac{2a \sqrt{3} }{2} = a\sqrt{3}$$b) 項目 a と同様に、正三角形があります。したがって、$x$ は正三角形の辺の半分になります。
$$x = \frac{\text{side} }{2} = \frac{a}{2}$$演習 2: x、y、z、t を決定します。
解決：
$t$ については、$t$ が斜辺であるため、ピタゴラスの定理を使用するだけで済みます。
$$t^2 = 5^2 + 12^2 $$$$t^2 = 252 + 144 $$
$$t^2 = 169 $$
$$t = \sqrt{169} $$
$$t = 13 $$
プロパティ 1 から、次の結果が得られます。
$$c^2 = y~。 ~t$$$$5^2 = y~。 ~13$$
$$ y= \frac{25}{13}$$
それは
$$b^2 = z~。 ~t$$$$144 = z~。 ~13$$
$$ z= \frac{144}{13}$$
プロパティ 2 から、以下が得られます。
$$x^2 = y ~.~ z$$$$x^2 = \frac{25}{13} ~.~ \frac{144}{13}$$
$$x^2 = \frac{25 ~.~ 144}{13 ~.~ 13} $$
$$x = \sqrt{\frac{5^2 ~.~ 12^2}{13^2} }$$
$$x = \frac{60}{13} $$
練習問題 3: 台形の x を決定します。
解決：
ピタゴラス：
$$a^2 = b^2 + c^2$$$$10^2 = x^2 + 8^2$$
$$x^2 = 100 - 64$$
$$x^2 = 36$$
$$x^2 = 6^2$$
$$x = 6$$
練習問題 4: 平行四辺形の x を決定します。
解決：
図のような関係を作ってみましょう。
これは古典的な直角三角形、有名な $3-4-5$ です。
したがって、$x=5$ の値になります。
考慮事項
要約すると、直角三角形の計量関係は、数学に取り組む人にとって不可欠なツールです。それらは、形やパターンを探求する際に可能性の世界を解き放つ鍵であり、数学が真に宇宙の言語であることを改めて証明しています。ここでは直角三角形関係に少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。
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垂直線とは、2 つの直線が交差し、それらの間に直角、つまり 90 度の角度を形成することです。 ↩︎