オイラーの目
2024-05-31
「三角形の相似性」
前回の記事では直角度についてお話しました。さて、平面幾何学、特に三角形の基本概念である三角形の相似性について話しましょう。
三角形の相似の歴史
入学試験に使用される光学系は、ピエール フェルマーによって 1679 年の著作『ヴァリアル オペラ マテマティカ』で発見されました。彼の元の名前はクレマン サミュエル フェルマーですが、ピエール フェルマーとして知られるようになりました。フェルマーの研究から、2 つの重要な結果を強調します。
| 光の反射 | 光の反射光の屈折 | ピエール・フェルマー |
|---|---|---|
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|
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これは三角形の相似性を利用した例です。三角形の相似とは、2 つの三角形の辺と角の比率が同じであれば相似であるという概念です。
紀元前約 600 年 (紀元前) のミレトスのタレスは、杖と影を使って、クフ王のピラミッドの高さを決定する際の三角形の相似性の実際的な応用例を示しました。ファラオの依頼で、彼はクフ王のピラミッドの高さを計算しました。これを行うために、彼は棒を地面に垂直に刺し、影と棒自体の大きさが同じになる瞬間を待ちました。
ピラミッドの高さの正確な値を取得するには、タレスはピラミッドの底面の半分をその影に追加するよう要求する必要もありました。広い土台を手に持っているので、ピラミッドの影の一部が地面にありませんでした。
タレスは計算を実行するために、以下に示す 2 つの仮想三角形を想像しました。
日常生活での応用
三角形の相似性は幾何学の強力なツールであり、多くの問題の解決に適用できます。三角形の相似性を利用する戦略と例をいくつか紹介します。
$$\angle A \cong \angle D$$未知の測定値の決定: 2 つの類似した三角形の角度と、それらの一方の辺の測定値がわかっている場合は、相同な辺間の比率を使用して、もう一方の三角形の対応する測定値を見つけることができます。 たとえば、2 つの相似な三角形 ABC と DEF について考えてみましょう。
それは
$$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$$。
高さと距離の問題の解決: 高い柱と遠く離れた地点にいる観察者を想像してください。観察者の高さ、観察者と柱の間の距離、仰角がわかっている場合は、三角形の相似性を利用して柱の高さを見つけることができます。 相似な三角形の高さの比率は、距離の比率に等しい。 たとえば、次の場合
$$\frac{h_{\text{観察者}}}{d_{\text{観察者}}} = \frac{h_{\text{poste}}}{d_{\text{poste}}}$$
縮尺と地図の問題: 地図では、縮尺は実際の距離と地図上で表現されている距離との比率を示します。 地図上の縮尺と距離がわかっている場合は、三角形の相似性を利用して実際の距離を求めることができます。 たとえば、縮尺が 1:50,000 で、地図上の距離が 5 cm の場合、実際の距離は ($5 \times 50,000 = 250,000$) cm となります。
影とオブジェクトの高さの問題: オブジェクトが影を落とすとき、三角形の相似性を利用してオブジェクトの高さを見つけることができます。たとえば、街灯柱が地面に 10 メートルの影を落とし、太陽の仰角がわかっている場合、三角形の相似性を利用して街灯柱の高さを見つけることができます。
概念
定義: 2 つの三角形は、規則的に合同な 3 つの角と、対応する比例した辺 (ho = 同じ、ロゴ - 場所) を持っている場合に限り、相似です。これらの辺の比を比例比といいます。
基本定理
基本定理: 直線が三角形の辺の 1 つに平行で、他の 2 辺と異なる点で交差する場合、その直線によって決定される三角形は最初の三角形と類似します。
デモンストレーション：
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $\overleftrightarrow{DE} \Parallel \overleftrightarrow{BC}\quad \Rightarrow \quad$ | $\Delta ABC \cong \Delta ADE$ |
類似性を証明するには、三角形が合同な角と比例した相同な辺を持つ必要があります。
- 合同な角度
これらの三角形のうち、共通の角度 $\hat{A}$ があります
- 比例辺
。
$E$ によって、$\overleftrightarrow{AB}$ と平行に $\overleftrightarrow{EF}$ を構築し、$F$ を $\overline{BC}$ に置きます。
これにより、次のようになります。
$$\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{BF}}{\overline{BC}}$$。
それで、私たちは、
$$\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}= \frac{\overline{DE}}{\overline{BC }}$$。
したがって、三角形 $ABC$ と $ADE$ は類似しているか、記号で表されています。
$$\Delta ABC \cong \Delta ADE$$解決された演習
クラシック: 次の 2 つの三角形は似ています。セグメント DF の寸法を決定します。
解決：
三角形の相似性から次のことが得られます。
$$\dfrac{\bar{AC} }{\bar{AB} } = \dfrac{\bar{DF} }{\bar{DE} }$$$$\dfrac{5 }{4 } = \dfrac{x }{14 }$$
$$x = \dfrac{35 }{2 }$$
入学試験例（Fuvest）
Fuvest: 次の図では、三角形 ABC は A で直角、ADEF は正方形、$AB=1$ および $AC=3$ です。正方形の一辺の長さはどれくらいですか?
解決：
最初に、基準 (辺、角度、辺) を適用します。角度 A が正しいので、基準 (辺、辺、辺) を適用できます。
$$\dfrac{\bar{DB} }{\bar{DE} } = \dfrac{\bar{FE} }{\bar{FC} }$$
このようにして、以下が得られます。
$$\dfrac{1-x }{x } = \dfrac{x }{3-x }$$$$(1-x)(3-x) = x~.~x$$
$$x = \dfrac{3}{4}$$
したがって、$x$ をゼロにすることはできないため、正方形の辺は $\dfrac{3}{4}$ になります。
ここでは三角形の相似性について簡単に紹介しました。次の投稿をお待ちください。