オイラーの目
2024-06-28
「ポリゴンのプロパティ」
前回の記事では正多角形についてお話しました。ここで、ポリゴンのプロパティについて話しましょう。
構成要素
各多角形は、頂点、辺、対角線、内角、外角などの基本要素で構成されます。頂点は 2 つの辺が交わる点であり、辺はこれらの頂点を接続する線分です。対角線は、連続しない 2 つの頂点を接続する直線セグメントであり、内角は、連続する 2 つの辺の交差によって形成されます。
多角形の対角線
定義: $n$ の辺 ($n\geq 3$) を持つ多角形である場合、多角形の 対角線は、端が多角形の不連続な頂点であるセグメントです。
| 凸四角形 | 凹型四角形 |
|---|---|
|
|
| $AC$ と $BD$ は対角線です | $AC$ と $BD$ は対角線です |
$n$ 辺を持つ多角形の対角線 $d$ の数 ($n\geq 3$) は次の式で与えられます。
$$d = \frac{n(n-3)}{2}$$
$A_1 A_2 \dots A_n$ を $n$ の辺を持つ多角形とします。一般性を失わずに頂点 $A_1$ の 1 つに端を固定すると、$(n-3)$ の対角線が得られます。この場合、残りの頂点には $(n-3)$ 個の頂点も存在します。これにより、合計で次のようになります。
$$n(n-3)~\text{ 対角線}$$ただし、各対角線は 2 つの頂点で終了するため、2 回カウントされます。たとえば、$\overline{A_1 A_3}$ と $\overline{A_3 A_1}$ は、$\overline{A_1 A_3}=\overline{A_3 A_1}$ であるため、対角線として 1 つとしてカウントされます。
したがって、対角線の数 $d$ は次のようになります。
$$d = \frac{n(n-3)}{2}$$凸多角形の内角
$n\geq 3$ の $n$ 辺を持つ凸多角形の内角の合計 $S_i$ は次の式で与えられます。
$$S_i = (n-2)~.~2 \text{ レクトス} $$$$S_i = (n-2)~.~180^\circ$$
$A_1 A_2 \dots A_n$ を $n$ の辺を持つ凸多角形とする。頂点の 1 つに端を固定することで、すべての対角線を描きます。このようにして、$(n-2)$ 個の三角形と多角形の内角の合計 $S_i$ を取得します。
$$S_i = i_1 + i_2 + \dots+ i_n$$は $(n-2)$ の三角形の内角の合計に等しくなります。
したがって：
$$S_i = (n-2)~.~2 \text{ レクトス} $$$$S_i = (n-2)~.~180^\circ$$
凸多角形の外角
$n\geq 3$ の $n$ 辺を持つ凸多角形の外角の合計 $S_e$ は次の式で与えられます。
$$S_e = 4 \text{ ストレート} $$$$S_e = 360^\circ $$
$A_1 A_2 \dots A_n$ を $n$ の辺を持つ凸多角形とする。外角を定義します。
$$e_1、e_2、\dots、e_n$$それぞれの内角に隣接する補足:
$$i_1、i_2、\dots、i_n$$
したがって、内角と外角の合計は次のように求められます。
前のプロパティから、$S_i = (n-2)~.~180^\circ$ が得られます。
正多角形の角度式
正多角形の内角は合同です。したがって、
$$n ~.~a_i = S_i$$$$n ~.~a_i = (n-2)~.~180^\circ$$
$$a_i =\frac{ (n-2)~.~180^\circ}{n}$$
同様に、外角についても次のようになります。
$$n ~.~a_e = S_e$$$$n ~.~a_e = 360^\circ$$
$$a_e = \frac{360^\circ}{n}$$
したがって、上記の式から次のようになります。
$$a_i + a_e = 180^\circ$$解決された演習
- 次の図で、角度の合計を求めます。 $$\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d}+ \hat{e} + \hat{f}$$
解決：
ここでは、垂直性 の投稿にある三角形の外角定理を使用します。この図には、それぞれの外角 $\hat{a}+\hat{b}$、$\hat{c}+\hat{d}$、$\hat{e}+\hat{ を持つ 3 つの三角形があります。 f} $。したがって、四角形の内角は $180^\circ$ の補数になります。つまり、
$$180^\circ-(\hat{a}+\hat{b})$$$$180^\circ-(\hat{c}+\hat{d})$$
$$180^\circ-(\hat{e}+\hat{f})$$
四角形の内角の和は $360^\circ$ なので。
$$120^\circ + 180^\circ-(\hat{a}+\hat{b}) + 180^\circ-(\hat{c}+\hat{d}) + 180^\circ-( \hat{e}+\hat{f})=360^\circ$$したがって、
$$\hat{a}+\hat{b} + \hat{c}+\hat{d} + \hat{e}+\hat{f} = 300^\circ$$
- 3 つの多角形の辺の数を表す数字は次のとおりです。 $$\\{n-3, ~n, ~n+3\\}$$ すべての内角の合計が $3240^\circ$ の価値があることがわかっているので、各多角形の対角線の数を決定します。
解決：
3 つの多角形の辺を $n_1 = n-3$、$n_2=n$、$n_3=n+3$ とします。三角形の内角の合計は次の式で与えられることを覚えておく価値があります。
$$S_i = (n-2)~.~180^\circ$$声明から次のことがわかります。
$$S_{i1} + S_{i2}+S_{i3} = 3240^\circ$$この情報を使用すると、次のことが得られます。
これは次のことを意味します:
$$n_1 = 8-3=5^\circ \quad \Rightarrow \quad d_1 = \frac{5(5-3)}{2}=5$$$$n_2 = 8^\circ \quad \Rightarrow \quad d_2 = \frac{8(8-3)}{2}=20$$
$$n_3 = 8+3=11^\circ \quad \Rightarrow \quad d_3 = \frac{11(11-3)}{2}=44$$
考慮事項
多角形の研究は、数学の豊かでダイナミックな分野です。その特性は、数学的探求のための肥沃な土壌を提供するだけでなく、多くの分野で実用的な応用も可能です。これらの驚くべき形状の探索を続けると、間違いなく、ポリゴンの特性と可能性についてさらに多くのことを発見することになるでしょう。
ここでは正多角形に少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。