前回の記事では三角形についてお話しました。さて、ポリゴンについて話しましょう。多角形は、太古の昔から数学と人類の文化に不可欠な部分である魅力的な幾何学的図形です。 「多角形」という言葉は、「多くの角度」を意味するギリシャ語の「poligonos」に由来しており、直線と可変数の辺によって制限されるこれらの形状の性質を反映しています。

歴史

多角形には、古代の数学者による発見からさまざまな知識分野への応用まで、興味深い歴史があります。ポリゴンの最初の記録は古代、エジプト文明とメソポタミア文明に遡ります。古代の人々はすでにこれらの形状を土地の測定、記念碑の建設、さらには宗教的概念の象徴に使用していました。

ユークリッドの著作。

数学では、多角形は辺と呼ばれる直線セグメントによって形成される平らな図形です。それらは古代から研究されており、ユークリッドとアルキメデスの著作に重点が置かれています。これらの数学者は、辺の数、内角と外角、辺の寸法など、多角形の特性の理解に大きく貢献しました。

Euclid による作品。

私は日常生活でポリゴンを使用しています

現代世界では、ポリゴンがいたるところに存在します。それらは建築、芸術、デザイン、さらには結晶の形状や化合物の分子構造などの自然界においても基本的なものです。デジタル テクノロジーは、特にコンピューター グラフィックスにおいて、3D モデルやアニメーションの構築に多角形の形状が使用されるなど、ポリゴンの恩恵を受けています。

クリスタル 分子

教育と研究

教育分野では、ポリゴンは数学的概念を教え、空間推論スキルを開発するために不可欠なツールです。ポリゴンの研究は進化し続けており、数学者は暗号化、最適化、ゲーム理論などの分野で新しい特性や応用を模索しています。

暗号化 ゲーム

定義

定義: $n\geq 3$ を持つ平面 $(A_1, A_2,\dots, A_n)$ 上の一連の点が与えられ、すべて別個であり、連続する 3 つの点が同一線上にありません (同じ直線上にない）。セグメント $\overline{A_1 A_2}$、$\overline{A_2 A_3}$、$\dots$、$\overline{A_{n-1} A_n}$、$\overline{A_{n} A_1 の和集合}$ はポリゴンと呼ばれます。

$$\overline{A_1 A_2} \cup \overline{A_2 A_3}\cup \dots \cup \overline{A_{n-1} A_n}\cup \overline{A_{n} A_1}$$
ポリゴン ポリゴンなし

要素

多角形を $A_1​​ A_2\dots A_n$ として、要素を定義します。

ポリゴン頂点: $A_1​​、A_2、\dots、A_n$。

多角形の辺: $\overline{A_1 A_2}、\overline{A_2 A_3}$、$\dots$、$\overline{A_{n-1} A_n}$、$\overline{A_ { n} A_1}$

ポリゴン角度: $\hat{A_1} = A_n \hat{A_1}A_2$, $\dots$, $\hat{A_n} = A_{n-1} \hat{A_n}A_1$

$n$ 個の頂点を持つ多角形、$n$ 個の辺と $n$ 個の角度があります。

単純なポリゴン

多角形は、連続しない辺の交点が空の場合に限り、単純です。

シンプルなポリゴン 複雑な多角形 絡み合う複雑なポリゴン

凹凸ポリゴン

単純な多角形が凸多角形であるのは、連続する 2 つの頂点によって決まる直線が他のすべての $n-2$ 頂点を同じ半平面上に残す場合に限ります。

凸多角形 凹多角形

ポリゴンの名前

$n$ 名前 側面
$3$ 三角形または三辺形 3面
$4$ 四角形または四角形 4面
$5$ 五角形 5面
$6$ 六角形 6面
$7$ 七角形 7面
$8$ 八角形 8面
$9$ エネゴン 9面
$10$ 十角形 10面
$11$ 十二角形 11面
$12$ 十二角形 12面
$13$ トリデカゴン 13面
$14$ 14角形 14面
$15$ 五角形 15面
$20$ イコサゴン 20面

考慮事項

ポリゴンの旅は、人間の創意工夫と知識への終わりのない探求の証です。古代の起源から現代の応用に至るまで、ポリゴンはインスピレーションとイノベーションの源であり続けています。それらは単なる形ではありません。それらは私たちの世界を形作り、宇宙についての理解を広げるツールです。ここではポリゴンに少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。