前回の記事では正多角形についてお話しました。ここで、ポリゴンのプロパティについて話しましょう。 構成要素 各多角形は、頂点、辺、対角線、内角、外角などの基本要素で構成されます。頂点は 2 つの辺が交わる点であり、辺はこれらの頂点を接続する線分です。対角線は、連続しない 2 つの頂点を接続する直線セグメントであり、内角は、連続する 2 つの辺の交差によって形成されます。 多角形の対角線 定義: $n$ の辺 ($n\geq 3$) を持つ多角形である場合、多角形の 対角線は、端が多角形の不連続な頂点であるセグメントです。 凸四角形 凹型四角形 $AC$ と $BD$ は対角線です $AC$ と $BD$ は対角線です $n$ 辺を持つ多角形の対角線 $d$ の数 ($n\geq 3$) は次の式で与えられます。 $$d = \frac{n(n-3)}{2}$$ $A_1 A_2 \dots A_n$ を $n$ の辺を持つ多角形とします。一般性を失わずに頂点 $A_1$ の 1 つに端を固定すると、$(n-3)$ の対角線が得られます。この場合、残りの頂点には $(n-3)$ 個の頂点も存在します。これにより、合計で次のようになります。 $$n(n-3)~\text{ 対角線}$$ただし、各対角線は 2 つの頂点で終了するため、2 回カウントされます。たとえば、$\overline{A_1 A_3}$ と $\overline{A_3 A_1}$ は、$\overline{A_1 A_3}=\overline{A_3 A_1}$ であるため、対角線として 1 つとしてカウントされます。 したがって、対角線の数 $d$ は次のようになります。 $$d = \frac{n(n-3)}{2}$$凸多角形の内角 $n\geq 3$ の $n$ 辺を持つ凸多角形の内角の合計 $S_i$ は次の式で与えられます。 $$S_i = (n-2)~.~2 \text{ レクトス} $$ $$S_i = (n-2)~.~180^\circ$$