平面幾何学 — インタラクティブな本

競合するストレート

2 つの異なる交差線には、ちょうど 1 つの共通点があります。当然のことのように思えますが、まさにそれが、執筆にこれほど長い時間がかかった理由です。発見者ギリシャの幾何学者は常にこの事実を使用していましたが、ユークリッドはそれを公準に含めませんでした。原論の一部の古い版では、ギャップを埋めるために「2 つの直線はスペースを囲まない」という文言が追加されています。文献学者のJ. 19 世紀末にこの作品を批判的に編集した L. ハイバーグは、この抜粋は後から追加されたものであると考えました。現代版はデヴィッドヒルベルトの出現公理 (1899) から来ています。2 つの異なる直線に 2 つの共通点がある場合、2 つの点が 1 つの直線を決定するという公準に矛盾します。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインヨハン・ルートヴィヒ・ハイベルク。身元不明の写真家 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインデヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史この例は、ジオメトリがどのように成熟したかを示しています。図面を見れば、2 つの直線が 1 点で交差することが誰にでもわかりますが、図面は証拠ではありません。古代および中世の解説者は、ユークリッドがこの図を信頼した点に注目しました。 19 世紀には、これらの点は公理や定理に変換されました。点、線、および出現関係: 図面はオブジェクトと関係を表します。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。今日のデモンストレーションは 1 行に収まります。決定公準を使用するだけです。これは、不条理による証明の最初の良い例であり、この本で何度も登場する方法です。日常生活での応用交差点 2 本の直線道路が 1 つの交差点で交わります。住所「A 通りと B 通りの角」は 1 つの場所を示します。絵の中心を見つけます長方形の 2 つの対角線に糸で印を付けます。唯一の交わる点は釘が通る中心です。照準器と照準器。スコープやカメラの照準線は、2 本の競合する直線を使用してターゲット上の正確な点をマークします。ハサミ刃は唯一の共通点であるネジを中心に回転します。出典: Elements、book I (D. Joyce) · Hilbert (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ

原始的な命題

点、線、面が定義されていない場合は、誰かがゲームのルールを伝える必要があります。これらのルールは公準です。発見者理論を証拠なしに受け入れられたステートメントから始めるという考え方はギリシャ的です。アリストテレス (紀元前 4 世紀) は、すべての実証科学に初期原理が必要な理由をすでに議論し、ユークリッドはこれを原論で実践し、5 つの公準で作業を開始します。最初の公準では、ある点から別の点まで直線を引くことが可能であると述べています。 1899 ではデイヴィッド・ヒルベルトが、ユークリッドが明言せずに使用した規則を含む、約 20 個の公理を含むリストを完成させました。アリストテレス、後の芸術的表現。Lisipo による著作物のコピー · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインデヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史ユークリッドの方法は 20 世紀以上にわたって成功を収めてきました。すべての原論定理は、以前の公準または定理から推定されます。それが、この著作が 20 世紀まで教科書として使用され、他の分野のモデルとなった理由です。ニュートンはプリンキピアを組織し、スピノザは彼の倫理学を「幾何学者のやり方で」書きました。アイザック・ニュートン。ゴッドフリー・ネラー (1646–1723) · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインバルーク・スピノザ。正体不明の画家 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン 19 世紀に数学者は、原論の証明の一部は公準に含まれず、図面で「見られた」事実に依存していることに気づきました。ヒルベルトはすべてをグループ (発生、順序、一致、平行、連続) に再編成しました。そしてこの章の公準 (存在、決定、包含) は彼の発生公理のバージョンです。

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原始的な概念

点、線、面はすべてのジオメトリを組み立てる要素であり、興味深いことに、それらには定義がありません。発見者点や直線を「発見」した人はいません。それらは、土地を測ったり、計画を描く習慣と同じくらい古い考え方です。それらを最初に定義しようとしたのは、紀元前300 年頃のアレクサンドリアのユークリッドで、原論の中で「点とは部分を持たないもの」「線は幅のない長さである」と書かれています。 2000 年以上後、1899 でドイツ人のデイヴィッドヒルベルトは、点、線、面を未定義のままにして、それらが相互にどのように関係しているかのみを記述するという、今日採用されている解決策を提案しました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインデヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史ユークリッドの定義は明確に見えますが、証明には役立ちません。点に「部分がない」と言っても、定理の証明に使用できることは何もわかりません。すべての定義には別の単語が使用されており、その単語も定義する必要があり、その連鎖は決して終わりません。どこかで立ち止まらなければなりません。 888 日付の要素の原稿のページ: MS の書籍 X の付録。ドールヴィル 301、フォリオ 268r、ボドリアン図書館。それは作品が伝わってきた証です。ユークリッドの作品。中世の写本家。ボドリアンライブラリ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン。ヒルベルトは冒頭で立ち止まった。彼の著書幾何学の基礎では、点、直線、平面は原始的な用語であり、重要なのは「1本の直線が2点を通過する」など、それらが従う規則であると述べています。彼はこのアイデアを、「点、線、面」を「テーブル、椅子、ビールジョッキ」と交換することが可能である、つまりルールが適用され続ける限り、定理は真実であると述べて要約したと言われている。日常生活での応用地図と GPS。アプリ内で住所を示すピンはドットです。これは大きさではなく位置を示します。レーザーレベル。レンガ職人が壁に投影した赤い線は直線を表します。タイルと棚を位置合わせするための基準です。テーブルの天板と床。平面は平面のモデルです。家具が「ぐらつく」のは、床が平面のように機能していないためです。デジタル画面画像は、行と列に編成された色の小さな点であるピクセルで構成されます。出典: Euclid (MacTutor) · Hilbert (MacTutor) · 要素、定義 I.1。

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ちょっとした歴史

補足資料ジオメトリという言葉は、ギリシャ語のジオ（地球）とメトリ（測定）、つまり地球を測定することから来ています。エジプト人、バビロニア人、シュメール人、ヒンズー教徒、ペルシャ人は、洪水後に肥沃な土地を分配し、家や寺院を建て、空に従うために幾何学をすでに使用していました。しかし、それを定義、公準、定理を伴う演繹科学として初めて厳密に扱ったのはギリシャ人でした。ギリシャの伝統: 本や学校で体系化された知識。幾何学で最も有名な著作であるユークリッドの原論。原論の初英語版の口絵 (1570)。伝承によると、幾何学をエジプトからギリシャに持ち込んだのはミレトス物語です。彼の後には、サモスのピタゴラスによるピタゴラス学派と、プラトンによるプラトン学派という、分析と演繹によって図や数を研究する2つの学派が現れました。この時代の集大成は紀元前300 年頃にアレクサンドリアのユークリッドによって書かれた著作集原論です。それは平面図形、円、三角形、四角形を扱います。そして、この本で従う方法はそこから来ています。ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカジョルダーノ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインサモス島のピタゴラス、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインプラトン、後の芸術的表現。シラニオンの肖像画のローマ字コピー · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン

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