平面幾何学 — インタラクティブな本

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読書: ルジャンドル: 厳密で教訓的な幾何学を目指して

補足資料 補足資料 ルジャンドル: 厳格で教訓的な幾何学を目指して 古代ギリシャでは公理はあらゆる学問分野に共通の真理、公準は特定の分野の真理を意味していたようです。ユークリッドは 5 つの公準 (その中には、任意の点から他の点に直線が引かれること、すべての限られた直線が伸びること、任意の中心と半径で円が描かれること、直角は等しいこと、そして有名な 5 番目の平行線の公準) と、「同じものに等しいものは互いに等しい」や「全体は部分よりも大きい」などの 5 つの公理を仮定しました。それ以来、原論 は演習や応用なしで定理をガタガタ言い続けます。このテキストは現代の基準からするとあまり教訓的ではありません。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 18 世紀のフランスでは、ユークリッドをよりわかりやすくするための本がいくつか出版されましたが、その多くは厳密さを犠牲にしていました。注目すべき例外は、アドリアン・マリー・ ルジャンドルによる幾何学の要素 (1752 – 1833) でした。ルジャンドルは、楕円関数と二次相互法則を完全に説いた数論の研究で才能を発揮し、厳密さと教訓を調和させた彼の幾何学の本は、著者の存命中にフランスで20版を発行しました。 1809 ではリオデジャネイロで翻訳され、翌年創設された王立陸軍士官学校で採用されました。約 40 年間、ルジャンドルは他の公準から 5 番目の公準を証明しようとしましたが、これは不可能な作業でした。しかし、この試みにおいても彼は素晴らしい創意工夫を示しました。 アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ジュリアン＝レオポルド・ボイリーの風刺画。ジュリアン＝レオポルド・ボイリー · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

October 11, 2026 読んだ
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12 章の演習 — タレスの定理

演習と解決策 413 $r$、$s$、$t$ の平行線を使用して、以下のそれぞれの場合の $x$ の値を求めます。 解答を見るa) 3 ・ b) 12 ・ c) 15 ・ d) 6 414 図中、$r$、$s$、$t$ の線は平行です。 $x$と$y$の値を決定します。 解答を見るa) $x = \dfrac{10}{3}$ b) $x = \dfrac{25}{6}$ c) $x = \dfrac{10}{3}$ および $y = \dfrac{18}{5}$ 415 図において、$\overline{MN}$は三角形$ABC$の底辺$\overline{BC}$と平行です。 $x$の値を計算します。 解答を見る$x = 25$ 416 図では$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$となります。 $AB$の値を計算します。 解答を見る$AB = 18$ 417 図中、$x$の値を計算します。 解答を見る$x = 24$

October 11, 2026 読んだ
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角の二等分線 定理

三角形の角度の 角の二等分線 は、反対側の辺を他の 2 つの辺に比例する部分に分割します。 発見者 ザ 内部二等分定理 です 提案 VI.3 の 要素 の ユークリッド (紀元前300年頃)。だ 外二等分線 それはギリシャ語本文にはありません。それはスコットランド人によって第 VI 巻の「命題 A」として追加されました。 ロバート・シムソン、彼の版では 要素 1756 年に出版され、1 世紀以上にわたって英国で幾何学教育の基礎として機能しました。 2 つの二等分線は、 アポロニウスの円、によって研究されました ペルガのアポロニウス （紀元前3世紀）。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ロバート・シムソン。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 アポロニウスは、2 つの固定点までの距離の比が一定である点が円を形成することを示しました。内側と外側の 角の二等分線 は、比率を分割する 2 つの点でセグメントを切り取ります。これらの 2 点は、その円の直径の端になります。 平行線は三角形の辺を均等に切り取ります。補助三角形を使用すると、面積による証明が可能になります。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 ユークリッドの証明は 角の二等分線 との類似を使用し、前のトピックのタレスの定理に戻ります。これは、原論 の結果がどのように相互にサポートされるかを示すもう 1 つの例です。

October 11, 2026 読んだ
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タレスの定理

平行線の束は、2 つの横断線を比例した部分に切断します。これは、計算を行わずにボードを均等な部分に分割するという考えに基づいています。 発見者 その結果はミレトスの物語 (紀元前6世紀) と呼ばれ、伝統により影による大ピラミッドの高さの測定と関連付けられています（章の冒頭でそれについての好奇心を参照）。私たちが知っている実証はユークリッドの原論の命題VI.2 (c. 300 BC) にあるもので、三角形の面積を使用しています。この結果に対する「テイルズの定理」という名前は、ブラジル、ポルトガル、フランス、スペイン、イタリアなどの国々の伝統です。ドイツ語と英語では、同じ名前が半円に内接する角度を指します。 ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカ ジョルダーノ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 タレスが定理を証明したという記録はありません。情報筋によると、彼は高さと距離を測定するために比例を使用したということです。ユークリッドの証明は不可分分にも機能する必要があり、そのため第 V 巻のエウドクソスの比例理論に基づいています。 この名前は 19 世紀末にフランスの教科書に載ったようで、そこからブラジルの教育に伝わりました。半円の角度をタレスに帰したものはさらに古く、ディオゲネス・ラエルシオに由来しています。 ディオゲネス・ラエルシオ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 板を均等な部分に分割します。 大工は、「丸い」寸法 (例: 30 cm ～ 5 部分) が端から端まで収まるまで板の上で巻尺を傾け、6 ～ 6 cm までのマークを付けます。マークは幅を均等な部分に分割します。 縮尺。 地図、モデル、平面図はオリジナルの比率を維持します。 譜表とグリッド。 等間隔の平行線は、傾斜した線を等分にカットします。 遠近感。 設計者は、図面内で離れて移動する柱や窓の間隔を比例的に配置します。 出典: Tales (MacTutor) · Elements、命題 VI.2 · Elements、book V。

October 11, 2026 読んだ
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11 の章の演習 — 円上の角度

演習と解決策 377 以下の場合の角度$x$の値を求めます。 解答を見るa) $35^{\circ}$ ・ b) $100^{\circ}$ ・ c) $60^{\circ}$ ・ d) $25^{\circ}$ ・ e) $50^{\circ}$ ・ f) $20^{\circ}$ 378 次の場合の円弧の値 $x$ を決定します。 解答を見るa) $80^{\circ}$ b) $30^{\circ}$ c) $60^{\circ}$ 379 図中、$x$の値を計算します。 解答を見るa) $35^{\circ}$ b) $10^{\circ}$ 380 図中、$\alpha$の値を計算します。 解答を見るa) $65^{\circ}$ b) $50^{\circ}$ 381 図において、円弧の値$\overset{\frown}{ABC}$を計算します。 解答を見るa) $130^{\circ}$ b) $245^{\circ}$ 382 図中、$x$を計算します。 解答を見るa) $70^{\circ}$ b) $98^{\circ}$ c) $150^{\circ}$ 383 図では$\overset{\frown}{ABC} = 260^{\circ}$として$\alpha$の値を計算します。 解答を見る$\alpha = 80^{\circ}$ 384 $x$の値を計算します。 解答を見るa) $65^{\circ}$ b) $112^{\circ}$

October 11, 2026 読んだ
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偏心角

角度の頂点が円の内側または外側にあり、中心または円上にない場合、その角度は偏心しており、その尺度は 2 つの円弧の平均になります。 発見者 偏心角の公式は原論には記載されていませんが、ユークリッドの命題III.20（内接角）とI.32（三角形の外角）を組み合わせたものから直接得られます。これらに関連する最も有名な問題の 1 つは、著者によるものです。1471 で、 ドイツの天文学者レギオモンタヌスは、 台座の上にある彫像が可能な最大の角度からどのくらいの距離から見えるかを尋ねました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン レギオモンタヌス。正体不明の記録者。スミソニアン博物館のコレクション · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 レギオモンタヌスの答えは外偏心角を使用しています。地面のどの位置からでも、彫像は 2 つのアーチの差の半分の角度で見えます。最も大きな角度は、足と像の頂上を通る円周が地面に接するときに発生します。これは、計算なしで解決された史上初の最大問題の 1 つでした。 同じ理由がラグビーにも現れます。トライの後、キッカーはラインに沿って、可能な限り最大の角度からポストが見える点を選択します。 日常生活での応用 美術館 目の上に掛けられた絵画を見るのに最適な距離は、レジオモンタヌスの問題からです。 ラグビー。 コンバージョン ポイントの選択も同じ原則に従います。 映画。 最初の行では、スクリーンは大きく、しかし非常に傾いた角度から見られます。偏心した角度は、部屋の中央が最適な理由を説明します。 写真。 背の高い物体をフレームに収めるために、写真家はその物体が視野の最大の角度を占める点を探します。 出典: Regiomontanus (MacTutor) · 要素、命題 III.20 · 要素、命題 I.32。 理論と作図 定理 · 内外偏心角 内部: 2 つの弦が中心とは異なる内部の点で交差する場合、それらの間の角度は、弦とその反対側の頂点が見る円弧のセミソマを測定します: $x = \dfrac{a + b}{2}$。 外側: 2 つの割線 (または接線、またはそれぞれ 1 つ) が外側の点から離れる場合、それらの間の角度によって、 遮断された円弧の半差が測定されます: $x = \dfrac{a - b}{2}$。 正当性。 内角の場合、$x$ は、隣接しない 2 つの内角が内接する三角形の外角で、測定値は $\dfrac{a}{2}$ と $\dfrac{b}{2}$ です。海外では、$\dfrac{a}{2}$は内角$x$と$\dfrac{b}{2}$を持つ三角形の外角です。

October 11, 2026 読んだ
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セグメント角度（半内接）

弦と接線の間の角度も円弧の半分を測定します。したがって、航海士が岩から逃げるために使用する有能な弓です。 発見者 セグメント角度の測定値は、 命題III.32 の 要素 の ユークリッド、の建設 弓が使える — セグメントを特定の角度で見たときの点の位置 — は、 III.33。最もよく知られている実用的な用途には 2 つの名前があります: オランダ語 ヴィレブロルド・スネリウス (1617) とフランス人 ローラン・ポテノ (1692) は、2 つの可能な円弧を横切る 3 つの既知の点が見られる角度から自分の位置を発見するという問題を解決しました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ヴィレブロルド・スネリウス。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 スネリウス・ポテノット問題は、三角測量地図作成の基礎となりました。スネリウスはこれを使用してオランダの都市間の距離を測定し、地球の大きさを推定しました。 GPS が到着するまで、測量士や船員は 3 世紀以上にわたってそれを利用していました。 沿岸航行の古い彫刻: 有名な塔や灯台は、船からの角度を測定するための基準として機能します。オイラーの目ブログのコレクション。 航海士たちは、2 つの灯台を通過し、岩の周りを回る円弧を海図上に描く危険角と呼ばれる手法を編み出しました。六分儀でヘッドライト間の角度を測定することで、車長は自分が円弧の内側にいるのか外側にいるのか、つまり危険に近いのか遠いのかを知ることができます。 日常生活での応用 沿岸航行。 危険角度は、GPS の代替として航海コースで今でも教えられています。 地形。 ポテノット問題は、3 つの既知のランドマークからフィールド内の点を特定します。 ステージと観客。 可能なアークには、ステージを同じ角度から見たすべての場所が表示されます。 スポーツ。 ゴール上のシュートにおいて、有能な弧はゴールと同じ開口部を持つポイントを示します。 出典: 要素、命題 III.32 · 要素、命題 III.33 · Snellius (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ
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内接角

内接角は、彼が見ている円弧の半分を測定します。特殊なケース、つまり半円に内接する角度が正しい場合は、タレスによるものと考えられています。 発見者 ギリシャの伝統では、 半円に内接するすべての角度が正しいという発見はミレトス物語（紀元前6世紀）にあるとされています。 ディオゲネス・ ラエルシオは作家パンフィラの言葉を引用しながら、タレスは結果を祝うために牛を犠牲にしたと述べている。一般的な関係、つまり中心角が同じ円弧に内接する角の２倍であるという関係はユークリッドの原論の命題III.20であり、 半円の場合はIII.31である。 ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカ ジョルダーノ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ディオゲネス・ラエルシオ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ドイツ語と英語の「タレスの定理」 (Satz des Thales) は、正確には半円の角度の定理であり、12 章で学習する平行線の定理ではありません。牛の物語はタレスの 8 世紀後に生きた作家によるものですが、ギリシャ人がその結果を驚くべき成果とみなしていたことを示しています。 中心角と同じアーチに内接: 半径により 2 つの開口部を比較できます。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 ユークリッドの証明は、内接角の頂点を通る直径を追跡し、半径によって形成される 二等辺三角形 を使用します。同じ推論は命題 III.22 につながります。内接四角形では、対角の合計は 180° になります。 日常生活での応用 円盤の中心を見つけます 正方形の角を端に当て、辺が円を切る位置に印を付けます。この部分が直径になります。他の場所でも繰り返します。 2 つの直径の交点が中心になります。 劇場と映画館 同じ円弧上の座席からは、同じ角度から舞台を眺めることができます。 写真。 2 つの建物を同じ角度から見せるには、写真家はそれらを通過する円弧に沿って移動できます。 サッカー。 ゴールの開口部を同じ角度から見た点は円弧上にあります。 出典: テイルズ (MacTutor) · 要素、命題 III.20 · 要素、命題 III.31。

October 11, 2026 読んだ
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中心角

中心角は円の中心に頂点があり、その円弧と同じ大きさになります。この考えに基づいて、地球の大きさが測定されました。 発見者 中心角と円弧の関係は、ユークリッドの原論の命題III.26の基礎となっており、等しい円では、等しい中心角は等しい円弧に対応します。最も有名な使用法は、アレクサンドリア図書館の館長であるキレネのエラトステネス (紀元前276年～194年頃) によるもので、中心角から地球の円周を計算しました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン キレネのエラトステネス、後の芸術的表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 エラトステネスは、夏至の正午に太陽がエジプト南部のシエナの井戸の底を照らしていることを知っていました。同じ頃、アレクサンドリアではノーモンの影によって、 太陽の光が1/50 後方からの角度（7,2°）で到達していることが分かりました。太陽の光線はほぼ平行であるため、この角度は 2 つの都市の間の地球の中心角に等しくなります。シエナ - アレクサンドリアの距離に 50 を掛けるだけです。 目盛り付き円盤の中心から空の角度を測定する器具であるアストロラーベを持つ中世の学者。オイラーの目ブログのコレクション。 250 000 スタジアム付近の結果は実際の値に近いですが、彼が使用したスタジアムがどのくらいの長さであったかは正確には不明です。これは幾何学的な推論に基づいた初めての地球の測定でした。 日常生活での応用 円グラフ。 1801 で ウィリアム プレイフェア によって考案され、合計の各部分を中心角で表します。25% は 90°です。 時計の針。 針の間の角度は中心です。 2h では 60° を測定します。 観覧車。 12 個のキャビンが等間隔に配置されており、各キャビンは軸から測定して次のキャビンから 30 度離れています。 速度計と圧力計 指針が中心を中心に回転し、中心の角度が目盛りの値を示します。 出典: エラトステネス (MacTutor) · 要素、命題 III.26 · ウィリアム プレイフェア (Wikipedia)。

October 11, 2026 読んだ
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円弧の合同、加算、不等式

弧を度で測定することは今日ではあまりにも自然なことなので、それがどこから来たのか、つまり空の観察から来たのか忘れてしまいます。 発見者 バビロニアの天文学者は、空を横切る太陽の軌道を 12 個の星座と 30 個の部分に分け、合計 360 個にしました。ギリシャのニカイアのヒュパルコス (紀元前 2 世紀) は、この測定を幾何学に取り入れ、各円弧を対応する弦に関連付けた、 知られている最初の弦表を作成しました、これが三角法の始まりです。 クラウディウス プトレマイオスは、アルマゲスト (西暦 150 頃) の表を 0.5 度の和音で拡張しました。同じ円の円弧の比較と和はユークリッドの原論の第III巻に準拠しています。 ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 古代の天文学者にとって、空は地球の周りを回転する大きな球体であり、星の位置はその上にある弧でした。円弧を追加し、それらを比較し、2 つが等しい時期を知ることは、カレンダーを作成し、日食を予測する人々の毎日の仕事でした。 イスタンブールのタキ・アルディン天文台で 16 世紀のオスマン帝国のミニチュアの制作に取り組む天文学者。アストロラーベや天球儀などの機器は、空の弧を測定します。オイラーの目ブログのコレクション。 プトレマイオスのテーブルは千年以上使用されました。インドの数学者は文字列を計算により実用的なサインに置き換え、イスタンブール天文台のようなイスラム世界の天文学者はこれらの表を採用して改良しました。 サインという言葉は、アラビア語のジバの誤訳によってラテン語に伝わりました。 日常生活での応用 時計 文字盤は 30°の 12 個の等しい円弧に分割されています。時針は毎時そのうちの 1 つを通過します。 タイム ゾーン。 地球は 24 時間で 360°、1 時間あたり 15° 回転します。理論的には、各ゾーンは経度で 15° の弧に対応します。 コンパス ローズ。 基点と側点は、円周を 45° の円弧に分割します。 ピザとパイ。 8 個の等しいスライスに切断すると、エッジが 45° の 8 個の合同な円弧に分割されます。 出典: ヒパルコス (MacTutor) · プトレマイオス (MacTutor) · タキ アルディン (Wikipedia)。

October 11, 2026 読んだ
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章の演習 10 — 円周と円

演習と解決策 336 $AB = 3x - 3$ と $OA = x + 3$ が与えられた場合、中心円 $O$ の半径を決定します。 解答を見る$r = 12$ 337 円の半径は 16 cm、点は $P$ 中心から7cmの距離。間の距離を決定します $P$ そして周囲。 解答を見る9cm 338 次の場合の $x$ の値を決定します。 a) $s$ が $\overline{AB}$ に垂直である。 b) $\overline{PA}$ と $\overline{PB}$ は円の接線です。 解答を見るa) $x = 6$ b) $x = 9$ 339 以下の場合、$O$ を円の中心として $x$ の値を求めます。 解答を見るa) $125^{\circ}$ b) $145^{\circ}$ 340 図形の円周は外接線です。中心間の距離が28cm、半径の差が8cmの場合、半径を求めます。 解答を見る18 cm および 10 cm

October 11, 2026 読んだ
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接線セグメント - 外接する四角形

円の外側の点から2つの接線が出ており、その接点までの2つの線分は同じ長さになります。 発見者 接線セグメントの等価性は、外部点を通る接線の引き方を教えるユークリッドの原論の命題III.17の直接の結果です。ここから、 内接円を持つ四角形では対辺の和は等しいというピトーの定理が生まれます。フランスの技術者アンリ・ ピトー は、1725 でそれを発表しました (彼に関する好奇心については以下を参照)。この逆数 — 向かい合う辺の和が等しい場合、四角形は内接円周を持ちます — は 19 世紀に証明され、 通常はヤコブ シュタイナー によるものと考えられています。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アンリ・ピトー。作者不明 作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ジェイコブ・シュタイナー。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ピトーの定理の証明は、単純な性質がどのように多くの成果をもたらすかを示す良い例です。四角形の各頂点は円の外側の点であり、2 つの等しい接線セグメントを持っています。反対側を加算すると、各セグメントは各合計に 1 回だけ表示されます。 ピトーは職業的に数学者ではありませんでした。油圧工学者である彼は、フランス南部に水道橋と橋を建設し、 液体や気体の速度を測定し、現代の飛行機の動力にもなるピトー管を発明しました。 日常生活での応用 ベルトとプーリー 2 つのプーリーを包むベルトの直線部分は車輪に接しています。等しいプーリーでは、同じ長さになります。 自転車チェーン クラウンに接するように出発し、ラチェットに接するように到着します。 灯台の眺め 灯台の頂上から、丸い島に接する 2 つの視線は、その接点までの長さが同じです。 飛行機の速度 ピトー管は、定理と同じ技術者によって発明された、空気に対する飛行機の速度を測定するセンサーです。 出典: 要素、命題 III.17 · アンリ ピトー (Wikipedia) · シュタイナー (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ