以前の投稿では、三角形の定理について説明しました。スチュワートの定理としても知られるスチュワートの関係は、三角形の辺の長さとセビアンの長さを関係付ける幾何学の重要な公式です。セビアンは、三角形の頂点から始まり、反対側の辺と交わる線分です。

この関係は、中央値、二等分線、高さなど、三角形内のセグメントの長さを決定する問題を解決するのに役立ちます。

歴史

スチュワートの定理としても知られるスチュワート関係は、スコットランドの数学者マシュー スチュワートによって発見されました。 1717 年に生まれたスチュワートは、幾何学と数学全般に多大な貢献をしました。彼はグラスゴー大学とエディンバラ大学で学び、そこでロバート・シムソンやコリン・マクローリンなどの著名な数学者の影響を受けました。

スチュワートの定理は、三角形の辺の長さを、三角形の頂点から反対側の任意の点に向かう直線セグメントであるセビアンの長さに関連付けます。定理の公式は平面幾何学の問題を解くのに役立ち、余弦の法則またはピタゴラスの定理を使用して証明できます。

マシュー・スチュワートは、1746 年に著書「数学の高等部でかなり使用される一般定理」の中でこの定理を発表しました。スチュワートの定理に加えて、彼は惑星の運動と太陽と地球の間の距離に関連する問題にも取り組みました。

アプリケーション

スチュワートの関係は、三角形の辺の長さとセビアン (頂点から反対側の任意の点に向かう直線セグメント) の長さを関係付ける数式です。これは幾何学では強力なツールですが、日常生活での応用はすぐには分からないかもしれません。ただし、この関係が役立つ実際的な方法をいくつか紹介します。

  1. 建築とエンジニアリング: 構造物を構築する場合、スチュワート比は構造コンポーネントの長さと角度を計算するのに役立ち、すべてが正しく適合し、構造が安定していることを確認します。

  2. グラフィック デザインとアニメーション: グラフィック デザイン、特にアニメーションと 3D モデリングでは、図のさまざまな部分間の関係を理解することが、正確で現実的なモデルを作成するために重要です。

  3. ナビゲーションと地図作成: スチュワート関係は、特に三角測量を使用する場合に、地図上の距離と位置を決定するためのナビゲーション計算に使用できます。

  4. ロボット工学: ロボット工学では、動作とコンポーネントの構造の精度が不可欠です。スチュワート関係は、ロボット アームやその他の機構の正確な動きを計算するのに役立ちます。

  5. 天文学: 天文学では、星と他の天体との間の距離を測定するために三角測量がよく使用されます。スチュワート比は、これらの計算に役立つツールとなります。

これらは、スチュワート関係の多くの実際的な応用例のほんの一部です。これは、精密な幾何学的計算が必要ないくつかの分野に適用できる多用途ツールです。

重要性

スチュワート関係は、三角形の辺の長さを、三角形の頂点から始まり反対側の辺と交差する直線セグメントであるセビアンの長さに関係付ける、平面幾何学の強力な公式です。この関係の実際的な応用例をいくつか示します。

  1. 中央値の計算: スチュワート関係を使用して、三角形の中央値の長さを求めることができます。これは、頂点から始まり反対側の辺を 2 つの等しいセグメントに分割するセビアンです。

  2. 内部二等分線の計算: 別の用途は、三角形の内部二等分線の長さを決定することです。これは、三角形の角を 2 つの等しい角度に分割する角度です。

  3. 高度な幾何学問題: この関係は、大きな円内の他の 3 つの円に接する小さな円の半径を求めるなど、より複雑な幾何学問題にも役立ちます。

これらのアプリケーションは、スチュワート関係がさまざまな幾何学的問題を解決するための多用途かつ不可欠なツールであることを示しています。実用的で詳細な例を見たい場合は、この関係をさまざまなコンテキストに適用する方法を段階的に説明する教育ビデオがいくつかあります。

三角形の中央値の計算

辺を $a$、$b$、$c$ とし、それぞれの中央値を $m_a$、$m_b$、$m_c$ とします。図に示すように、鈍角 $\hat{D}$ $ADC$ を持つ三角形と、鋭角 $\hat{D}$ を持つ三角形 $ADB$ の 2 つの三角形を考えます。

前回の投稿のメトリック関係を使用すると、次のようになります。

\begin{cases} b^2 = m^2_a + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2\frac{a}{2}x\\ c^2 = m^2_a + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2\frac{a}{2}x\\ \hline \end{cases} \[b^2 + c^2 = 2m^2_a + 2 \frac{a^2}{4} \]

結果として：

三角形の中線

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2) - a^2}$$

同様に

$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2) - b^2}$$

$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2) - c^2}$$

三角形の高さの計算

三角形$ABC$の辺を$a$、$b$ r $c$とし、高さ$h_a$、$h_b$、$h_c$を定義します。

三角形 $ADC$ から、$h^2_c = b^2 - m^2$ (1) が得られます。

前回の投稿の計量関係から $a^2=b^2 + c^2 \pm 2mc$ が得られ、$m$ を並べ替えて分離すると次のようになります。

$$m=\frac{b^2 + c^2 - a^2}{\pm 2c}\quad (2)$$

(2) から (1) までは次のようになります。

$$h^2_c = b^2 - \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{\pm 2c}\right)^2 = \frac{4b^2c^2 - (b ^2+c^2-a^2)^2}{4c^2}$$$$4c^2h^2_c = 4b^2c^2 - (b^2+c^2-a^2)^2$$
$$ \begin{aligned} 4c^2h^2_c &= (\underbrace{2bc+b^2+c^2}_{(b+c)^2}-a^2) (\underbrace{2bc-b^2-c^2 }_{-(b+c)^2}+a^2)\\ &= [(b+c)^2-a^2] [a^2 -(b+c)^2]\\ &\overset{x^2-y^2 = (x+y)(x-y)}{=} [(b+c+a)(b+c-a)] [(a+b-c)(a-b+ w )]\\ &= (b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\quad (3) \\ \end{aligned} $$

話を簡単にするために、方程式 (3) を分解してみましょう。最初は $2p$ が周囲であり、三角形の辺を追加するために使用されます。

$$2p = a+b+c$$

他の用語については:

$$ \begin{aligned} -a+b+c = -a+b+c \color{red}{-a+a} &\overset{2p=a+b+c}{=}& 2p-2a = 2(p-a)\ \ a-b+c = a-b+c \color{red}{-b+b} &\overset{2p=a+b+c}{=}& 2p-2b = 2(p-b)\\ a+b-c = a-b+c \color{red}{-c+c} &\overset{2p=a+b+c}{=} 2p-2c = 2(p-c)\\ \end{aligned} $$

これにより、(3) が得られます。

$$ \begin{aligned} 4c^2h^2_c &= \underbrace{(a+b+c)}_{2p}\underbrace{(-ab+c)}_{2(p-a)}\underbrace{(a+b-c)}_ {2(p-b)}\underbrace{(a-b+c)}_{2(p-c)}\\ 4c^2h^2_c &= 2p~.~2(p-a) ~.~ 2(p-b)~.~ 2(p-c)\\ h^2_c &= \frac{1}{c^2}2p~.~2(p-a) ~.~ (p-b)~.~ (p-c)\\ \end{aligned} $$
$$h_c = \frac{2}{c} \sqrt{p(p-a) (p-b) (p-c)}$$

同様に

$$h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a) (p-b) (p-c)}$$

$$h_b = \frac{2}{b} \sqrt{p(p-a) (p-b) (p-c)}$$

スチュワート比

次の図のように、三角形 $ABC$ と $D$ を辺 $\overline{AB}$ 上の点とします。

スチュワートの定理の公式は次のように与えられます。

$$a^2y + b^2x = c(z^2 + xy)$$

何の上に：

  • $a$、$b$、$c$ は三角形の辺の長さです。
  • $z$ はセビアンの長さです。
  • $x$ と $y$ は、セビアンが反対側を分割するセグメントです。

三角形の内二等分線の計算

三角形 $ABC$ の各辺を $a$、$b$、$c$ とし、それぞれの内二等分線を $s_a$、$s_b$、$s_c$ とします。

$x+y=a$ であることに注意してください。二等分線 $s_a$ をとり、三角形の相似性を使用して次の値を取得しましょう。

$$\frac{x}{b} = \frac{y}{c}$$

$$\frac{\overbrace{x+y}^{a}}{b+c} = \frac{x}{b} = \frac{y}{c}$$

これにより、次が得られます。

$$x = \frac{ab}{b+c}$$

$$y = \frac{ac}{b+c}$$

三角形 $ABC$ でスチュワートの定理を使用する場合。

$$b^2y + c^2x - s^2_a ~.~a = x~.~y~.~a$$

上記の方程式で $x$ と $y$ を使用すると、次が得られます。

$$b^2\frac{\cancel{a}c}{b+c} + c^2\frac{\cancel{a}b}{b+c} - s^2_a ~.~\cancel{a } = \frac{ab}{b+c}~.~\frac{ac}{b+c}~.~\cancel{a}$$

方程式の両辺に $(b+c)^2$ を掛けます。

$$ \begin{aligned} s^2_a (b+c)^2 &= b^2c(b+c) + bc^2 (b+c) - bca^2 \\ &= bc[b(b+c) + c(b+c)- a^2] \\ &= bc[\underbrace{b^2+bc+bc+c}_{(b+c)^2}- a^2] \\ &= bc[\underbrace{(b+c)^2- a^2}_{x^2-y^2 = (x+y)(x-y)}] \\ &= bc[\underbrace{(b+c+a)}_{2p}\underbrace{(b+c-a)}_{2(p-a)}] \\ \end{aligned} $$

したがって

三角形の内二等分線

$$s_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp (p-a)}$$

同様に

$$s_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp (p-b)}$$

$$s_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp (p-c)}$$

解決された演習

  1. 円 $\lambda(O, 3 )$、および内部円 $\lambda_1(O_1, 2 )$、$\lambda_2(O_2, 1 )$、$\lambda_3(O_3, x )$ の場合。 図の半径 $x$ を計算します。

解決：

三角形 $O_1 O_2 O_3$ には次のようになります。

$$\overline{O_1 O_2} = 3$$

$$\overline{O_1 O_3} = 2+x$$

$$\overline{O_2 O_3} = 1+x$$ $$\overline{O O_1} = 1$$

$$\overline{O O_2} = 2$$

$$\overline{O O_3} = 3-x$$

スチュワート関係を使用すると、次のようになります。

$$(1+x)^2 ~.~1 + (2+x)^2 ~.~2 - (3-x)^2 ~.~3 = 1~.~2~.~3$$

$$1+x^2+2x + (4+x^2+4x) ~.~2 - (9+x^2-6x) ~.~3 = 6$$

$$1+x^2+2x + 8+2x^2+8x - 27-3x^2+18x = 6$$

$$28x = 24$$

$$x = \frac{6}{7}$$

ここでスチュワートとの関係に少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。