オイラーの目
2024-07-12
「任意の三角形の定理」
前回の記事ではポイントパワーについてお話しました。正弦定理は三角法の基本的な数学ツールであり、三角形の辺とその角度の正弦との間の重要な関係を確立します。この定理は、鋭角、鈍角、不等辺三角形など、あらゆるタイプの三角形に適用でき、三角形の幾何学に関する問題を解決するために不可欠です。
正弦の法則は、どの三角形でも、1 つの辺の長さと反対側の角の正弦との比は一定であり、三角形の 3 つの辺と角度すべてで等しいと述べています。
たとえば、あなたが島にいて、地平線上に見える他の 2 つの島までの距離を計算したいとします。 2 つの島への視線の間の角度と、自分の島のランドマークとの間の距離を測定することで、正弦の法則を適用して未知の距離を見つけることができます。
正弦の法則は、三角形の辺をその対角に関連付ける三角法の基本定理です。これは今日広く使用されている数学ツールですが、その起源は古代の数学者の研究にまで遡ります。
歴史
サインの法則の歴史は興味深いものであり、その発見は一人の数学者によるものではありません。むしろ、それは何世紀にもわたる研究とさまざまな文化からの貢献の結果です。今日私たちが知っているサインの法則は、ルネサンス時代に西洋で正式に制定されましたが、そのルーツはギリシャとアラブの数学者にまで遡ることができます。
アレクサンドリアのメネラウスなどの古代ギリシャ人は球面三角法に多大な貢献をし、その後の正弦の法則の発展に影響を与えました。
しかし、正弦の法則が具体化し始めたのは中世のイスラム数学者たちでした。ペルシャの数学者アル・フワリズミは数学と天文学に大きな進歩をもたらし、後に正弦の法則となるものに貢献しました。
もう一人のイスラム数学者、アブ・アル＝ワファは、独立した研究分野としての三角法の発展に重要な役割を果たしました。三角関数の表と三角形の要素間の関係に関する彼の研究は、正弦の法則の基礎を築くのに役立ちました。
ヨーロッパでは、15 世紀にドイツの数学者レジオモンタヌスが著作やアラビア語文書の翻訳を通じて、正弦の法則を含む三角関数の知識の普及に貢献しました。
アプリケーション
正弦の法則は、多くの分野でさまざまな実用的な応用が可能な強力な数学ツールです。正弦の法則が現実世界で使用される方法の一部を次に示します。
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ナビゲーション: 正弦の法則は、海と空のナビゲーションにおいて正確なルートを計算するために重要です。航海士が固定基準点と 2 つの位置角度を持っている場合、正弦の法則を使用して船や飛行機の正確な位置を決定できます。
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エンジニアリング: エンジニアは、三角形要素を含む構造を扱うことがよくあります。正弦の法則を使用すると、橋、建物、その他の構造物の未知の力と寸法を計算できます。
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天文学: 天文学者は正弦の法則を適用して星と惑星の間の距離を測定します。たとえば、地球上の異なる地点から 2 つの天体間の角度を観測することで、それらの天体までの距離を計算できます。
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測地学: 地球の測定と理解の科学である測地学では、正弦の法則を使用して地理上の点間の距離を計算します。これは地図作成や地形測量に不可欠です。
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建築: 建築家は正弦の法則を使用して、角度と距離の正確な計算が必要な傾斜天井、アーチ型天井、その他の構造要素を備えた建物を設計します。
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物理学: 物理学では、正弦の法則を使用して、非平行な力が関係する問題を解決し、点に作用する複数の力の結果として生じる方向を見つけることができます。
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犯罪学: 正弦の法則は、特に発射体の軌道や基準点に対する物体の位置を計算する場合に、犯罪現場を再構築するために犯罪学に適用されます。
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アートとデザイン: アーティストやデザイナーは正弦の法則を適用して、幾何学的な基礎を持つ作品を作成し、正しい比率と正確な遠近感を確保できます。
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電気通信: 電気通信アンテナとタワーを設置する場合、正弦の法則は角度と距離を計算して信号範囲を最適化するのに役立ちます。
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スポーツ: スポーツ、特にセーリングやアーチェリーなどの活動では、正弦の法則を使用して軌道を計算し、精度を向上させることができます。
サイン定理
正弦定理: どの三角形でも、三角形の辺は反対の角の正弦に比例し、比例定数は三角形に外接する円の直径です。
デモンストレーション：
三角形$ABC$と外接円があり、$O$が半径$R$の円の中心であるとします。
直径 $\overline{BD}$ をプロットすると、次のようになります。
$$\hat{D}=\frac{\stackrel{\frown}{BD}}{2} \quad \text{e}\quad \hat{A}=\frac{\stackrel{\frown}{BD }}{2}$$これから、$\hat{D}\equiv \hat{A}$ が得られます。 $C$ の直角三角形 $DCB$ では、次のようになります。
$$\sin D = \frac{a}{2R}$$$$\sin A = \frac{a}{2R}$$
$$2R = \frac{a}{\sin A}$$
同様に、私たちは次のことを行う必要があります
$$2R = \frac{b}{\sin B}$$$$2R = \frac{c}{\sin C}$$
したがって、正弦の法則が得られます。
$$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$
$\blacksquare$
メトリックの関係
a) どの三角形でも、鋭角の反対側の辺の正方形は、他の 2 つの辺の正方形の合計から、これらの辺の 1 つともう 1 つの辺の投影の積の 2 倍を引いたものに等しい。それ。
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 mc $$
b) どの三角形でも、鈍角の反対側の辺の正方形は、他の 2 つの辺の正方形の合計に、これらの辺の 1 つともう 1 つの辺の投影の 2 倍を加えたものに等しい。それまたはそれを含む行に書きます。
$$a^2 = b^2 + c^2 + 2mc $$
デモンストレーション：
三角形 $CDB$ から、辺 $c$ に対する高さを $CD=h_c=$ とします。
$$a^2 = h^2_c + (c\pm m)^2$$三角形 $CDA$ から、次のようになります。
$$h^2_c = b^2 - m^2$$2 つの方程式から次のことがわかります。
$$a^2 = b^2 - \cancel{m^2} + c^2 \pm 2mc + \cancel{m^2}$$したがって、次のようになります。
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 mc $$または
$$a^2 = b^2 + c^2 + 2mc $$$\blacksquare$
コサイン定理
どの三角形でも、1 つの辺の 2 乗は、他の 2 つの辺の 2 乗の合計から、これら 2 つの辺の積の 2 倍とそれらの辺がなす角度の余弦を引いたものに等しくなります。
デモンストレーション：
ケース 1:
三角形 $ABC$ では $a^2 = b^2 + c^2 - 2mc$ が得られ、三角形 $CDA$ では次のようになります。
$$\cos A = \frac{m}{b} \quad \Rightarrow \quad m = b~.~\cos A$$2 つの方程式から次のことが得られます。
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2c(b~.~\cos A)$$ケース 2:
三角形 $ABC$ では $a^2 = b^2 + c^2 + 2mc$ が得られ、三角形 $CDA$ では次のようになります。
$$\cos (180^\circ - A) = -\cos A = \frac{m}{b} \quad \Rightarrow \quad m = -b~.~\cos A$$2 つの方程式から次のことが得られます。
$$a^2 = b^2 + c^2 + 2c(-b~.~\cos A)$$したがって、どちらの場合も次のようになります。
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc~.~\cos A$$他の側についても同様に、次のようになります。
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac~.~\cos B$$$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab~.~\cos C$$
$\blacksquare$
三角形の性質の認識
三角形の辺の寸法を最大のものを $a$ と呼び、他の 2 つの辺を $b$ と $c$ と呼び、次の条件を満たすものとします。
$$|b-c|< a< b+c$$
上記の定義に基づく三角形の性質は次のとおりです。
- 鋭角三角形 $a^2 < b^2 + c^2 $
- 直角三角形 $a^2 = b^2 + c^2 $ (ピタゴラスの定理)
- 鈍角三角形 $a^2 > b^2 + c^2 $
解決された演習
- x の値を決定します。
解決：
a) 計量関係 $a^2 = b^2 + c^2 - 2 mc $ を使用する場合
$$8^2 = 7^2 + 10^2 - 2 x~.~10 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{17}{4}$$b) 計量関係 $a^2 = b^2 + c^2 6 + 2 mc $ を使用する場合
$$(2\sqrt{29})^2 = 5^2 + 7^2 + 2 x~.~7 \quad \Rightarrow \quad x=3$$
- x の値を決定します。
解決：
a) サインの法則を使用する場合 $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $
$$ \frac{x}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{\sin 45^\circ} $$$$ \frac{x}{\frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$
$$x = 6\sqrt{2} $$
b) サインの法則 $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $ を使用する場合。角度 $\hat{B}=180^\circ-60^\circ = 120^\circ$ であることを覚えておく価値があります。
$$ \frac{x}{\sin 45^\circ} = \frac{18}{\underbrace{\sin 120^\circ}_{\sin 60^\circ}} $$$$ \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$
$$ x = 6\sqrt{6} $$
- 次の場合の三角形に外接する円の半径を決定します。
解決：
a) サインの法則を使用する場合 $ \frac{a}{\sin A} = 2R $
$$ \frac{12}{\sin 60^\circ} = 2R \quad \Rightarrow \quad R =4\sqrt{3} $$b) サインの法則 $ \frac{a}{\sin A} = 2R $ を使用する場合。
$$ \frac{18}{\underbrace{\sin 135^\circ}_{\sin 45^\circ}} = 2R \quad \Rightarrow \quad R =9\sqrt{2} $$考慮事項
サインの法則は、時間の経過とともに数学的知識がどのように蓄積され、それぞれの文化や時代が今日私たちが持つ知識体系に貢献しているかを示す完璧な例です。これは国際協力と科学と数学の累積的な性質の証です。サインの法則は、実際的な問題の解決に役立つだけでなく、人類の歴史や多くの文明の知的遺産と私たちを結びつけます。ここでは、三角形の定理に少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。