このサイトの以前の記事は、この話題を一つの冗談から始めていました。二つの等しい数 $a=b$ をとり、害のなさそうな計算をしてみます。 $$\begin{aligned} a&=b\\ a^2&=ab\\ a^2-b^2&=ab-b^2\\ (a+b)(a-b)&=b(a-b)\\ a+b&=b\\ 2b&=b\\ 2&=1. \end{aligned}$$まちがいはどこでしょうか。四行目から五行目に移るとき、両辺を $a-b$ でわりました。でも $a=b$ なので $a-b=0$ で、ゼロでわってしまったのです。書き方が罪を隠しています。$a-b$ はふつうの数のように見え、最初の行を覚えている人だけが、それがゼロだと気づくのです。変装したゼロでのわり算は、数学者が不定形と呼ぶもの、有名な $\frac00$ のいちばん簡単な形です。 微積分が残した問題 ニュートンとライプニッツの微積分は、ゼロであると同時にゼロでない量に支えられていました。$x^2$ を微分するのに、ライプニッツは $\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}=2x+dx$ を計算し、それから $dx$ をゼロであるかのように「無視」しました。けれども $dx$ がゼロなら、二行前でそれでわることはできなかったはずです。うまくいくのに、なぜなのかだれにも説明できませんでした。 1734 年、アイルランドの主教ジョージ・バークリーは『解析家』という激しい攻撃文を出版しました。宗教的な信仰をあざ笑いながら、それよりはるかに奇妙なものを信じている「不信心な数学者たち」に向けたものです。 では、この流率とは何か。消えゆく増分の速さである。では、その消えゆく増分とは何か。それは有限の量でも、無限に小さい量でも、無でもない。それを死んだ量の亡霊と呼んではいけないだろうか。 — ジョージ・バークリー『解析家』（1734） バークリーは論理については正しく、微積分についてはまちがっていました。計算はうまくいっていました。欠けていたのは、それが何をしているのかを言う言語だったのです。 コーシー：到達せずに近づく その言語はフランスからやってきました。1821 年、オーギュスタン＝ルイ・コーシーはエコール・ポリテクニークの『解析教程』を出版し、中心となる考えを言葉で定義しました。 同じ変数に次々と与えられる値が、ある固定された値に限りなく近づき、ついにはそれとの差を望むだけ小さくできるとき、その固定された値を、ほかのすべての値の極限と呼ぶ。 — オーギュスタン＝ルイ・コーシー『解析教程』（1821） 秘密は「望むだけ小さく」にあります。$dx$ は決してゼロにはならず、いくらでも近くにとどまるのです。数十年後、ドイツのカール・ヴァイエルシュトラスはこの文を文字に置きかえました。どんなに小さくても、あらゆる誤差の幅 $\varepsilon>0$ に対して、近さを保証する距離 $\delta>0$ が存在する。これが有名な「イプシロン・デルタ」の定義で、今でも大学一年生を恐れさせています。 $$\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x)=L\iff{}&\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\\ &0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\end{aligned}$$記号 $\forall$（すべての）と $\exists$（存在する）に注目してください。論理学の記事でくわしく見ることになりますが、推論の書き方が微積分のために使われているのです。無限に小さいものは、ものであることをやめ、約束になりました。どんな $\varepsilon$ でもいい、言ってくれれば $\delta$ を見つけてみせる、という約束です。 lim、矢印、そしてそれらが隠すもの 記法にも時間がかかりました。1786 年、スイスのシモン・リュイリエが「極限」の略記としてピリオドつきの lim. を書きました。lim の下の小さな矢印 $x\to a$ が広まったのは 20 世紀のはじめで、おもにイギリスの G・H・ハーディの本『純粋数学教程』（1908）のおかげでした。最終的な書き方は、簡潔で生きています。