在之前的文章中，我们定义了命题、定理、推论等。为了证明定理，这意味着给定的命题是一个重言式，其中我们通过真值表获得。下面，我们介绍一些展示结果的方法。

演绎法

演绎方法是通过使用定义和其他预先建立的结果获得的。为此，我们使用蕴涵 $(\Rightarrow)$ 和逻辑双蕴涵 $(\Leftrightarrow)$。

**示例1：**通过下面的陈述，我们将证明它是否是一个定理。为此，提出以下假设：

  • $H_1$：时间就是金钱。
  • $H_2$：流浪汉有很多时间。

以及论文：

  • $T$：流浪汉有很多钱。

命题 $H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$ 是定理吗？

我们假设：

  • $p$：“有时间”。
  • $q$：“有钱”。
  • $r$：“是个流浪汉”。

和：

  • $H_1$：$p\wedge q$（有时间有金钱）。
  • $H_2$：$q\rightarrow r$（有钱就意味着是流浪汉）。
  • $T$：$r\rightarrow q$（流浪汉意味着有钱）。

这样，我们就可以写出命题：

$$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$$

假设1和假设2意味着论文。

同义反复如何有效：

$$(p\rightarrow q)\wedge (r \rightarrow p) \Rightarrow (r \rightarrow q)$$

（有时间意味着有钱）和（成为流浪汉意味着有时间）意味着（成为流浪汉意味着有钱）。

因此，给定的命题是一个定理。

从实际的角度来看，这个结果可能没有意义，但根据所使用的陈述，我们可能会得出荒谬的结论。

**示例2：**通过下面的陈述，我们将证明它是否是一个定理。为此，提出以下假设：

  • $H_1$：我思故我在。
  • $H_2$：石头不会思考。

以及论文：

  • $T$：石头不存在。

命题 $H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$ 是定理吗？

我们假设：

  • $p$：“想”。
  • $q$：“存在”。

和：

  • $H_1$：$p\rightarrow q$（思考意味着存在）。
  • $H_2$：$\sim p$（不认为）。
  • $T$：$\sim q$（不存在）。

这样，我们就可以写出命题：

$$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$$

假设1和假设2意味着论文。

因为它不是同义反复：

$$(p\rightarrow q)\wedge (\sim p) \Rightarrow (\sim q)$$

（思考意味着存在）和（不思考）意味着（不存在）。

因此，给定的命题不是定理。

最后一个结果甚至不是一个结果，因为它甚至不是一个定理。如此一来，荒谬就自然而然了。

演示方法

在本节中，我们将展示如何证明定理 $p\Rightarrow q$。大多数损益表属于以下三种方法之一：

  • 直接法。
  • 对位法。
  • 矛盾法 (Reduction ad absurdum)。

直接法

该方法是通过演绎法获得的，假设命题$p$为真，并且命题$q$是逻辑等价的。因此，目标是推断 $q$ 为真。

**示例3：**如果$x$是偶数，则$x^2$是偶数。

演示：

为了构造这个结果，我们假设命题$p$为真，即$x$是偶数。

因此，我们知道 $x$ 可以被 2 整除（请参阅关于偶数的帖子）。

根据定义，$x$ 是 2 的倍数。

因此，存在$n\in \mathbb{Z}$使得$x = 2n$。

当我们对等式两边求平方时，我们有：

$$x^2 = (2n)^2 = 4n^2 = 2(2n^2)=2m, \qquad \text{para algum } m\in \mathbb{Z}$$

因此，$x^2$是偶数。

$\square$

对位法

通过逻辑等价得到对位法：

$$p \rightarrow q \Longleftrightarrow ~ \sim q \rightarrow \sim p$$

更具体地说，为了证明该定理：

$$p \Rightarrow q$$

我们用直接法简单演示一下：

$$\sim q \Rightarrow \sim p$$

示例 4： 如果 $x$ 是一个整数，且 $x^2$ 是奇数，则 $x$ 是奇数整数。

演示：

设 $p$ 和 $q$ 为命题：

  • $p$：$x^2$为奇数。
  • $q$：$x$为奇数。

我们要证明$p \Rightarrow q$的含义。在这种情况下，直接法不适用，因为当我们假设$x^2$是奇数整数时，存在$n\in \mathbb{Z}$使得$x^2 = 2n+1$。

这样，我们就不能推断出存在$m\in \mathbb{Z}$，例如$x = 2m+1$。

相反，让我们使用逻辑等价。

让我们假设命题$\sim q: $ $x$不是奇数真，即$x$是偶数。

从直接法的例子来看，这个结果意味着$\sim p:$ $x^2$不是奇数，即$x^2$是偶数。

因此，$p \Rightarrow q$。

$\square$

矛盾法

矛盾法通过逻辑等价得到：

$$p \rightarrow q \Longleftrightarrow ~ (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim p$$

更具体地说，为了证明该定理：

$$p \Rightarrow q$$

我们简单演示一下：

$$(p \wedge \sim q) \rightarrow \sim p$$

我们得出了一个荒谬的结论，因为如果 $p$ 为真，我们就得出结论 $\sim p$ 也为真。在这种情况下我们得到一个结果

$$p \wedge \sim p$$

确实如此，这是一个矛盾。

示例 5： 如果 $x$ 是一个整数，且 $x^2$ 是偶数，则 $x$ 是一个偶数。

演示：

设 $p$ 和 $q$ 为命题：

  • $p$：$x^2$是偶数。
  • $q$：$x$是偶数。

我们要证明$p \Rightarrow q$的含义。

通过直接法，我们假设$(p \wedge \sim q)$为真，即

  • $x^2$ 是偶数。
  • $x$是奇数。

由此，我们得到一些 $n \in \mathbb{Z}$ 的 $x=2n+1$。

当我们对等式两边求平方时，我们有：

$$x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1 = 2m+1$$

对于一些$m\in \mathbb{Z}$

这意味着 $\Longrightarrow$ $x^2$ 是奇数整数 ($\sim p$)。因此，我们甚至假设 $x^2$，这就是荒谬的。

通过这种方式，我们总结了一些展示结果的技术。