ガウスの物語から公式の正当化まで ガウスに関連する学校の物語は、合計の両端のグループ化を強調しています。このアイデアはその話を超えて有効です。どのような有限の等差数列に対してもそれを実証できます。 あなたの番です。 2、5、8、11、14、および以下の同じ順序を逆に書きます。列を追加します。各列の結果が同じなのはなぜですか? セント アンドリュース大学の MacTutor に関する史料を発見してください。 発見をチェックしてください 各列の合計は 16 になります。 5 つの列の合計は 80 ですが、シーケンスを 2 回カウントします。その合計は40です。一般に、n が奇数の場合でも、2Sₙ = n(a₁ + aₙ) です。 前回の投稿では、等差数列の歴史と考え方について少しお話しました。この投稿では、この概念についてさらに詳しく説明します。 等差数列 PA と比較してください。パターンを認識しても、一定の比率が保証されるわけではありません。 定義: 等差数列 (A.P.) は、次の式で与えられる数列と呼ばれます。 漸化式: $$ \begin{cases} a_1 = a \\ a_{n} = a_{n-1} + r, \text{ para todo } n \in\mathbb{N}, n\geq 2 \end{cases} $$ ここで、$a$ と $r$ には実数が与えられます。 したがって、A.P. は、2 番目から始まる各用語が 指定された定数 $r$ を使用した前の値の合計。
学校の物語と試してみたいアイデア ガウスについてのよく語られる物語では、少年時代の彼が項をグループ化して和を素早く解く様子が描かれています。この物語をパターンを調査するための招待状として使用してみましょう。 あなたが調査する番です: 1 + 2 + … + 10 と書きます。最初の項を最後に結合し、2 番目の項を最後から 2 番目に結合して続行します。何ペア手に入れることができますか？各ペアの合計はいくらですか? セント アンドリュース大学の MacTutor に関する史料を発見してください。 発見をチェックしてください 5 個のペアがあり、すべての合計は 11 です。したがって、合計は5×11=55となります。項を順番に数えたり足したりすることで確認できます。 数学の歴史: 等差数列 算術級数 (AP) は数学の基本的な概念であり、その応用は古代文明にまで遡り、今日でも役に立ち続けています。それは、経済学、工学、社会科学などのいくつかの知識分野に現れます。この概念は比と呼ばれる定数加算規則に従う数列の考え方と結びついています。 アンティーク 等差数列の起源はエジプト人やバビロニア人などの古代文明に遡ります。これらの文化は、食料の数え方、収穫記録、さらには天文学的な計算などの文脈において、数列や単純な算術級数の合計に関する知識をすでに実証しています。 バビロニア人: たとえばバビロニア人は、紀元前約 2000 年の粘土板に初歩的な算術技術を使用していました。彼らの計算方法は現代の数学のように形式化されていませんでしたが、特に時間の経過によるリソースの増加を扱う場合には、AP の概念に近い加算と減算の概念がありました。 ギリシャ人: 古代ギリシャでは、ユークリッド (紀元前 300 年頃) などの数学者が、算術の研究により強固な基礎を与える役割を担っていました。ユークリッドは、有名な著書「要素」の中で、数と数列の性質を調査し、等差数列の理論の構築に不可欠な原則を確立しました。 中世 中世において、アラビア数学は算術の発展に不可欠でした。 「代数学の父」 として知られるアル・フワリズミー (780 - 850 AD) は、数列の理解も含めた計算の体系化を導入しました。アル・フワリズミーは代数学に重点を置いていましたが、彼の作品は後に等差数列の研究に使用される公式の開発の基礎を整えました。 ルネッサンス ヨーロッパの数学はルネサンスの時代にニッコロ・ タルターリアやガリレオ・ ガリレイなどの人物によって大きなルネサンスを迎えました。これらの数学者は、より科学的に厳密に等差数列を探索し始めました。有名な例はガリレオが等加速度運動を記述する際に数列を用いた例です。彼は、自由落下で物体が等時間間隔で移動する距離が等差数列を形成することを示しました。 17 世紀までにヨハン・ ファウルハーバーやピエール・ド・ フェルマーなどの数学者が累乗の和や数列を研究し、等差数列の和の公式の正式な開発に貢献しました。 形式化: 17 世紀と 18 世紀 等差数列の一般公式は、代数学の進歩とともに体系化され始めました。たとえば、PA の合計の公式は、級数の開発に携わった数学者によるものです。 興味深い有名な話は、史上最も偉大な数学者の一人と考えられているカール・フリードリヒ・ ガウス (1777-1855) の話です。ガウスは7歳のとき、1から100までの数字を素早く足して先生を驚かせたと言われています。彼は、数値を手動で追加する代わりに、数値をグループ化して計算を簡素化できることに気づきました。 合計 $1 + 100 = 101$、$2 + 99 = 101$、$3 + 98 = 101$ など。 これにより、彼は PA の合計の公式を発見しました。 $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$ここで、$S_n$ は数列の $n$ 項の合計、$a_1$ は最初の項、$a_n$ は最後の項です。