フェルマー数：予想と反例
数学者たちはずっと、素数だけを生み出す公式を夢見てきました。1640 年、フェルマーはそれを見つけたと思いました。
5 つ続いた素数 フェルマーは次の形の数を調べました。
$$F_n=2^{2^n}+1.$$指数は 2 のべき、$1,2,4,8,16,\ldots$ です。最初のいくつかを計算すると、
$$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$5 つとも素数です。$65\,537$ を手で確かめる（平方根まで割ってみる）だけでも、もう大変な作業でした。フェルマーはフレニクル・ド・ベシーへの手紙で、この形の数はすべて素数だと確信していると書きましたが、証明はないことも認めていました。
大きすぎる数 次の数は
$$F_5=2^{32}+1=4\,294\,967\,297.$$10 桁の数です。素数かどうかを調べるには、17 世紀に手作業で約 6 万 5000 まで割ってみなければなりません。フェルマーはその計算をしませんでした。
ほぼ 100 年後の 1732 年、若きレオンハルト・オイラーが計算しました。そして見つけたのです。
$$4\,294\,967\,297=641\times6\,700\,417.$$フェルマーの予想はまちがっていました。すべての数についての主張は、反例が一つあれば崩れます。
なぜ 641 なのか オイラーはやみくもに割ってみたわけではありません。$F_5$ の約数は $64k+1$ という特別な形でなければならないことを知っていて、それで探す範囲が大きく狭まりました。この形の素数の候補の 5 番目が 641 です。
割り算をしないで割り切れることを確かめる、エレガントな方法もあります。641 は二通りに書けることに注目しましょう。
$$641=5\cdot2^7+1=5^4+2^4.$$641 を法として、一つ目の形から $5\cdot2^7$ の余りは $-1$。4 乗すると $5^4\cdot2^{28}$ の余りは $1$。二つ目の形から、$5^4$ の余りは $-2^4$ と同じ。入れ替えると、
$$-2^4\cdot2^{28}=-2^{32}\equiv1\pmod{641}.$$したがって $2^{32}+1$ の余りは 0、つまり 641 の倍数です。計算の全体はオイラーのシリーズにあります。
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素数は今も 5 つだけ
コンピュータによって、$F_5$ から $F_{32}$ までのフェルマー数はすべて合成数であることがわかっています。最初の 5 つ以外にフェルマー素数を見つけた人はいません。今では多くの数学者が、フェルマーの予想とは逆のこと、つまりフェルマー素数はこの 5 つしかないのではないかと考えています。
