毕达哥拉斯定理是数学中最著名的基本命题之一，它在直角三角形的边之间建立了一种优雅的关系。这个定理的历史与其数学应用一样令人着迷，因为它跨越了文化和时代，揭示了数学知识是如何在代际间积累和共享的。

该定理传统上归因于希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯，他生活在大约公元前 570 到 495 BC 之间，该定理指出，在直角三角形中，斜边（与直角相对的边）的平方等于其他两条边（称为边）的平方和。

然而，毕达哥拉斯定理的历史是复杂而微妙的。有证据表明，比毕达哥拉斯早数千年，巴比伦、印度和埃及的数学家就已经知道并使用了该定理。早在古希腊正式定理之前，这些古代文明就将该定理应用于测量和建筑等实际目的。

毕达哥拉斯通常被认为是第一个以他的名字命名的定理的正式证明者，尽管他的证明没有直接的书面记录。他创立的毕达哥拉斯学派带来了一系列数学和哲学发现，该定理的证明很可能是这个思想家群体的集体努力。

欧几里得几何，以亚历山大的欧几里得命名，是对我们直观熟悉的几何空间的探索。它涉及平面、实体图形，这些图形在向各个方向无限延伸的维度系统（如直线和平面）中进行研究。在这个系统中，毕达哥拉斯定理是解决问题和证明与距离和面积相关的概念的重要工具。

毕达哥拉斯定理的应用超出了纯数学的限制。它被用于物理、工程、建筑甚至艺术等多个领域。例如，在导航中，它有助于计算两点之间的最短路线，而在施工中，它允许工人检查拐角是否成直角，以确保结构精度。

毕达哥拉斯定理有许多证明，其中一些是纯粹视觉的，而另一些则使用代数方法。最著名的演示之一涉及在一个正方形内排列四个相同的三角形，结果表明较小正方形（边）的面积之和等于较大正方形（斜边）的面积。

欧几里得距离是源自毕达哥拉斯定理的概念，用于计算任意维度空间中两点之间的最短距离。这一原理是数据分析和计算机图形学的基础，其中测量精度至关重要。

毕达哥拉斯定理

在本书的简介中，我们从正方形边的概念开始。我们的radix quadratum。

长方形 三角形。

从图中，我们注意到我们有正方形的面积，在当前的数学中是边$\times$边。

示例 1：

$$\text{Area 1} = 3\times 3 = 9$$

$$\text{Area 2} = 4\times 4 = 16$$

$$\text{Area 3} = 5\times 5 = 25$$

$$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$

示例 2：

$$\text{Area 1} = 6\times 6 = 36$$

$$\text{Area 2} = 8\times 8 = 64$$

$$\text{Area 3} = 10\times 10 = 100$$

$$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$

当我们概括这个概念时，我们就有了毕达哥拉斯定理。

长方形 三角形。

正方形 (quadratum) 横向 (latus) a 加上 (et) 正方形 (quadratum) 横向 (latus) b 等于 (aequalis) 与边 (latus) c 的平方 (quadratum)。

等边三角形

等边三角形 可以源自单词 equal (iguais) Lateralo (lados)，并且可以从直角三角形获得。直角三角形是 等边三角形 的一半 (½)。

从直角三角形中我们注意到下例中的斜边有距离 这，其中一条腿有距离 小时 和另一个人 一个/2。如下图所示：

长方形 三角形。

当我们展开直角三角形时，我们得到以下等边三角形（3等边）。

示例 1：

$$ \begin{aligned} h~.~h + \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2}&= a~.~a\\ h~.~h + \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2}&= a~.~a - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \\ h~.~h &= 4~.~\frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \\ h~.~h &= 3~.~\frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \end{aligned} $$
长方形 三角形。

由此，我们得到：

$$h= \frac{a}{2}~.~\text{radix}~ 3$$

或

$$h= \frac{a}{2}~.~\sqrt{3}$$

正方形的对角线

给定一个边长为 $a$ 的正方形，让我们推导出对角线 $d$。

令 $ABCD$ 为边长 $a$ 的平方。

根据三角形 $ABC$ 中的毕达哥拉斯定理，我们有：

$$d^2 = a^2 + a^2$$

$$d^2 = 2a^2 $$
$$d = a\sqrt{2} $$

直角三角形中正弦、余弦和正切的前体

三角学的历史可以追溯到古埃及和巴比伦，但它是在古希腊才开始形成我们今天所知的。喜帕恰斯和托勒密等希腊数学家开始创建三角函数表，用于理解天体运动和导航。

正弦、余弦和正切在直角三角形中的定义源于印度数学家的工作。人们通常认为数学家 Aryabhata 在 5 世纪开发了正弦函数，而余弦和正切则在随后才被形式化。这些函数最初是为了解决天文学问题而设计的，后来被应用于数学。

在直角三角形中，角度的正弦定义为与该角度相对的边的长度与斜边长度的比率。余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。这些定义是三角学的基础，至今仍用于解决各种实际和理论问题。

几个世纪以来，三角学不断发展和扩展，融入了新的函数和定理。然而，正弦、余弦和正切仍然是基本和最常用的函数，对于工程、物理、建筑等领域的学生和专业人士来说至关重要。

直角三角形中的三角函数是一个强大的工具，可以让您计算难以到达的距离并测量角度，而无需量角器。例如，您可以使用切线来确定建筑物的高度或河流的宽度，将三角比率应用于实际情况。

“正弦”名称的由来

三角学是一个令人着迷的数学领域，其中充满了名称背后有有趣故事的术语，“正弦”就是其中之一。 “正弦”这个词有一个奇怪的起源，可以追溯到不同语言和文化之间的翻译。

这个术语的起源始于印度教数学家，他们将圆的弦的一半称为“jiva”。这个词后来被缩写为“jya”。当阿拉伯人接触印度教数学著作时，他们将“jya”音译为“jb”，因为阿拉伯语通常只写辅音，让读者推断元音。

当阿拉伯文本被翻译成拉丁语时，该术语的下一步发生了。 12世纪的翻译家切斯特的罗伯特将“jb”解释为“jaib”，在阿拉伯语中意为“海湾”或“海湾”。当翻译成拉丁语时，他使用了“sinus”一词，与“jaib”具有相似的含义。因此，“sinus”一词进入了欧洲数学词典，并最终演变成我们今天所知道的葡萄牙语中的“sine”。

显着角度的正弦、余弦和正切

令 $\alpha$ 为直角三角形锐角之一的度量。

角度 $\alpha$ 的正弦：

$$\sin \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{a}$$

角度 $\alpha$ 的余弦：

$$\cos \alpha = \frac{\text{cateto adjascente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{c}{a}$$

角度 $\alpha$ 的正切：

$$\tan \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjascente}} = \frac{b}{c}$$

显着角度的应用

角度 正弦 余弦 切线 几何图形
$45^\circ$ $$\sin 45^\circ= \frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2 }\quad$$ $$\cos 45^\circ= \frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad$$ $$\tan 45^\circ = \frac{a}{a} = 1\quad$$
$60^\circ$ $$\sin 60^\circ= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2 }\quad$$ $$\cos 60^\circ= \frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}\quad$$ $$\tan 60^\circ = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}\quad$$
$30^\circ$ $$\sin 30^\circ= \frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}\quad$$ $$\cos 30^\circ= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad$$ $$\tan 30^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\quad$$

注意事项

简而言之，毕达哥拉斯定理是欧几里得几何的瑰宝，是一种在广泛的科学和实践领域中不断证明其价值和多功能性的工具。它证明了数学能够简单而精确地描述我们周围的世界。

对于那些希望更多地探索这个引人入胜的主题的人来说，有大量的资源可以提供对该定理及其应用的更深入的了解。这里对毕达哥拉斯定理做了一点小小的贡献，等待下一篇文章。