前回は三角形の平行度についてお話しました。ここで、平面幾何学、特に三角形の基本概念である直角度について話しましょう。

垂直性は、90 度の角度を形成して交わる 2 本の線または直線セグメント間の関係を記述する幾何学の基本概念です。これらの線は垂線と呼ばれます。

直角度の歴史

垂直性を発見したとされる特定の数学者は一人もいませんが、次のような数人の古代数学者や文化がこの概念の発展に貢献しました。

  • ギリシャ人: ユークリッド、ピタゴラス。
  • エジプト人とバビロニア人。

ユークリッド: ギリシャの数学者ユークリッド (紀元前約 300 年) は、直角の定義や垂線間の関係など、多くの幾何学的原理を確立しました。

ピタゴラス: 直角三角形の辺を関係付けるピタゴラスの定理も、垂直度と密接に関連しています。ピタゴラスは垂直性を特に研究したわけではありませんが、彼の研究はこの概念の発展に影響を与えました。

エジプト人: 古代エジプト人は、実用的な幾何学、特にピラミッドや記念碑の建設に熟練していました。彼らは直角度の概念を適用して、構造が安定して正確であることを保証しました。

バビロニア人: バビロニア人も幾何学的な知識を持っており、構造や測定に垂直性を利用していました。

垂直線

定義: 2 本の線が垂直 ($\perp$) であるのは、それらが同時であり、合同な補助隣接角を形成している場合に限ります。

$$a\perp b \quad \Leftrightarrow \quad a\cap b = \\{P\\} \quad\text{e} \quad a_1 \hat{P} b_1 = a_1 \hat{P} b_2$$

斜めの直線

定義: 2 本の線は平行であり、垂直ではないため、これらの線は斜めであると言います。

直角の存在

まず、直線 $r$ とその点 $O$ を考えます。 $r$ に関して反対側の半平面にある 2 つの点 $P$ と $Q$ を次のようにとります。

$$r_1\hat{O}P \equiv r_1\hat{O}Q $$

それは

$$\overline{OP} \equiv \overline{OQ} $$

ここで、$r_1$ は、原点 $O$ を持つ $r$ の光線の 1 つです。

線分 $\overline{PQ}$ は点 $X$ で $r$ と交差します。これで 3 つのケースができました。

ケース 1 ケース 2 ケース 3

ケース 2: $X=O$ があり、角度が合同です

$$P\hat{X}r_1 \equiv Q\hat{X}r_1$$

したがって、線分 r と線分 $\overleftrightarrow{PQ}$ は、次の記号で垂直になります。

$$r \perp \overleftrightarrow{PQ}$$

したがって、角度 $P\hat{X}r_1$ は正しいです。

ケース 1 と 3: 三角形 $POX$ と $QOX$ の間、または記号内に合同があります。

$$\Delta POX \equiv \Delta QOX$$

ポストのカオス LAL (側角側) 三角形合同 について

次に、角度 $P\hat{X}O$ と $Q\hat{X}O$ の合同を記号で求めます。

$$P\hat{X}O \equiv Q\hat{X}O$$

したがって、線分 r と線分 $\overleftrightarrow{PQ}$ は、次の記号で垂直になります。

$$r \perp \overleftrightarrow{PQ}$$

したがって、角度 $P\hat{X}O$ は正しいです。

垂線の存在と独自性

指定された直線上の指定された点を通る平面内で、指定された直線に垂直な 1 本の直線が通過します。

または

直線 $r$ 上の点 $P$ を通る平面内に、$r$ に垂直な 1 本の直線 $s$ があります。

ケース 1

存在 独自性

存在: $s_1$ を含む直線 $s$ は、$r_1 \hat{P} s_1$ が直線であるため、$r$ に垂直です。

一意性: $P$ を通る $x\neq y$ を持つ 2 本の別個の線 $x$ と $y$ が両方とも $r$ に垂直であると仮定します。

$x$ の $Px_1$ 光線と $y$ の $Py_1$ 光線は、$r$ によって決定される光線と同じ半平面に位置し、$r$ の $Pr_1$ 光線を使用します。それは次のことを意味します:

  • $P$ の $r$ ($x\perp r$) に垂直な $x$ は、$r_1\hat{P} x_1$ が直角に合同であることを意味します。
  • $P$ の $r$ ($y\perp r$) に垂直な $y$ は、$r_1\hat{P} y_1$ が直角に合同であることを意味します。

$Px_1$ が $Py_1$ と異なる場合、角度輸送公準によれば、上記の結果は不合理になります。

したがって、$r$ から $P$ までの垂直線は一意です。

ケース 2

存在 独自性

存在: 直角の存在のケース 1 と 3。したがって、$s$ は $r$ に対して垂直です ($s \perp r$)。

一意性: $P$ を通る $x\neq y$ を持つ 2 本の別個の線 $x$ と $y$ が両方とも $r$ に垂直であると仮定します。

$X$ と $Y$ を $x$ と $y$ と $r$ の交点とし、$Q$ を $\overrightarrow{YP}$ の反対側の光線上の点とし、次のようにします。

  1. $\overline{YQ}$ は $\overline{YP}$ と一致します
  2. $r$ に垂直な $y$ は、角度 $P\hat{Y}X$ と $Q\hat{Y}X$ が合同であることを意味します。
  3. $r$ に垂直な $x$ は、$P\hat{X}Y$ が直角であることを意味します。

ポストのカオス LAL (側角側) 三角形合同 について

次に、角度 $P\hat{X}Y$ と $Q\hat{X}Y$ の合同を記号で求めます。

$$P\hat{X}Y \equiv Q\hat{X}Y$$

項目 3 から、$Q\hat{X}Y$ が直線であることが暗示され、これは光線 $\overleftrightarrow{XQ}$ が $r$ に対して垂直であることを暗示します。

このことから、次の不条理がわかります。

直線 $r$ 上の点 $X$ を介して、2 つの異なる直線 $x$ と $\overleftrightarrow{XQ}$ があり、どちらも $r$ に垂直ですが、これはケース 1 と矛盾します。

したがって、$r$ から $P$ までの垂直線は一意です。

三角形の高さ

定義: 三角形の高さは、三角形の 1 つの辺を支持する直線に垂直な直線セグメントであり、端はこの直線上にあり、考慮されている辺の反対側の頂点にあります。

ケース 1 ケース 2 ケース 3
$\overline{AH_1}$ は、辺 $\overline{BC}\quad$ に対する相対的な高さです $\overline{AH_1}$ は、辺 $a\quad $ に対する相対的な高さです。 $\overline{AH_1 }$ は頂点 $A$ に対する相対的な高さです

セグメントの二等分線

定義: セグメントの垂直二等分線は、セグメントの中点を通り、セグメントに垂直な直線です。

解決された演習

1. $\overline{AH}$ が三角形 $ABC$ の辺 $\overline{BC}$ に対する相対的な高さである場合。角度 $\hat{B}$ と $\hat{C}$ を決定します。

解決：

a) 三角形の内角の合計は $180^\circ$ です

$\overline{AH}$ が相対高さ (仮説) であるため、底辺 $A\hat{H}C$ と $A\hat{H}B$ には直角 ($90^\circ$) が存在します。

このように、三角形の角度の内部和を使用します。

$$20^\circ+90^\circ+\hat{B}=180^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{B}=70^\circ$$

$$50^\circ+90^\circ+\hat{C}=180^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{C}=40^\circ$$

b) 三角形の内角の合計は $180^\circ$ です

$\overline{AH}$ が相対高さ (仮説) であるため、底辺 $A\hat{H}C$ と $A\hat{H}B$ には直角 ($90^\circ$) が存在します。

したがって、これらの角度では直角の補数を使用するだけです。

$$60^\circ+\hat{H1}=90^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{H1}=30^\circ$$

$$40^\circ+\hat{H2}=90^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{H2}=50^\circ$$

仮説によれば、辺 $\overline{AC}$ と $\overline{AC}$ に対する高さがわかります。したがって、これらの高さを表す直角が得られます。

このように、三角形の角度の内部和を使用します。

$$30^\circ+90^\circ+\hat{B}=180^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{B}=60^\circ$$

$$50^\circ+90^\circ+\hat{C}=180^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{C}=40^\circ$$

2. 下の三角形 $ABC$ は底辺 $\overline{BC}$ を持つ二等辺三角形です。 $x$を決定します。

解決：

三角形 $ABC$ は二等辺であるため、角度 $\hat{B}$ と $\hat{C}$ は等しいです。

$$40^\circ+\hat{B}+\underbrace{\hat{C}}_{\hat{B}}=180^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{B}=70^\circ$$

これにより、次のことを行う必要があります。

$$15^\circ+\hat{C_1}=70^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{C_1}=55^\circ$$

$$35^\circ+\hat{B_2}=70^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{B_2}=35^\circ$$

後者から、三角形 $CBE$ は二等辺であり、$\overline{BD}$ は二等分線であり、この三角形に対する高さであることがわかります。したがって、角度 $P$ は直角 ($90^\circ$) です。

三角形 $B_1 CD_2$ から角度 $\hat{D_2}$ を取得します。

$$70^\circ+35^\circ+\hat{D_2}=180^\circ \quad \Rightarrow \quad \hat{D_2}=75^\circ$$

三角形 $D_3 E A$ の外角は、2 つの内角の合計で求められます。

$$40^\circ+\hat{D_3}=x+75^\circ \quad \Rightarrow \quad 35=x-\hat{D_3}\quad (*)$$

三角形 $CPD_2$ から外角を取得します。

$$90^\circ+15^\circ=x+\hat{D_3} \quad \Rightarrow \quad 105=x+\hat{D_3}\quad (**)$$

2 つの方程式 (*) と (**) を追加すると、次のようになります。

$$2x=105^\circ+35^\circ$$

$$2x=140^\circ$$

したがって、角度は次の式で与えられることがわかります。

$$x=70^\circ$$

ここでは垂直性について簡単に説明しました。次の投稿をお待ちください。