オイラーの目
2024-06-18
「長方形、ひし形、正方形」
この投稿では、テーマの中心となるのは長方形、ひし形、正方形とそのプロパティです。
正方形と長方形の歴史は古代にまで遡ります。当時、エジプトやメソポタミアなどの文明はすでにこれらの幾何学的形状を土地の測量、記念碑の建設、宗教的概念の象徴に使用していました。
導入
注目すべき四角形は、数学において基本的な役割を果たす幾何学図形です。その歴史的起源と特性を探ってみましょう。
ユークリッドと注目すべき四角形
起源: 今日私たちが知っている幾何学は、紀元前 300 年頃にギリシャの数学者ユークリッドの著作『元素』に起源を持ちました。
ユークリッドの定義:
菱形 (今日では平行四辺形と呼ばれています): 向かい合う辺と角は等しいが、等しい辺や直角はありません。
長方形 (現在では長方形と呼ばれています): 直角ですが、4 つの等しい辺を持ちません。
ひし形 (今日ではひし形と呼ばれます): 4 つの等しい辺ですが、直角はありません。
正方形: 直角を持つ 4 つの等しい辺。
| 要素 - アレクサンドリアのユークリッド |
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エイドリアン＝マリー・ルジャンドルと幾何学的厳密性
ルジャンドルの定義 (1793):
平行四辺形: 対辺は平行です。
長方形: 等しい辺のない直角。
ひし形: 直角のない等しい辺。
正方形: 等しい辺と直角。
| アドリアン＝マリー・ルジャンドル | |
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アダマールと概念の拡張
アダマールによる定義 (1898):
平行四辺形: 2 つずつ 4 つの平行な辺。
長方形: すべての角度は等しい (したがって、正しい)。
ひし形: すべての辺が等しい。
正方形: すべての辺が等しく、直角です。
| ジャック・サロモン・アダマール |
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長方形
長方形にも古代のルーツがありますが、その体系的な研究は中世のアラブとヨーロッパの数学者によって洗練されました。
定義: 凸平らな四角形は、4 つの合同な角がある場合に限り、長方形になります。
長方形 - 合同な対角線
長方形のプロパティの 1 つは次のとおりです。
すべての長方形の対角線は合同です
デモンストレーション：
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $$ABCD ~\text{ は長方形です} \qquad\Rightarrow \qquad$$ | $$\overline{AC} \equiv \overline{BD}$$ |
仮説によると、$ABCD$ は長方形であるため、これは $ABCD$ が平行四辺形であることを意味し、これは $\overline{BC}\equiv \overline{AD}$ を意味します。
したがって、角度 $\hat{B}\equiv \hat{A}$ になります。
したがって、
$$\overline{AC} \equiv \overline{BD}$$$\blacksquare$
結果として：
合同な対角線を持つすべての平行四辺形は長方形です。
ひし形
菱形の研究も古代に遡りますが、その形式化は幾何学の歴史を通じて行われました。
定義: 凸平らな四角形は、その 4 つの辺が合同である場合に限り、菱形になります。
ひし形 - 垂直な対角線
ひし形の特性の 1 つは次のとおりです。
すべてのひし形の対角線は垂直です
デモンストレーション：
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $$ABCD ~\text{ はひし形} \qquad\Rightarrow \qquad$$ | $$\overline{AC} \perp \overline{BD}$$ |
仮説によると、$ABCD$ はひし形であるため、これは $ABCD$ が平行四辺形であることを意味し、これは $\overline{AM}\equiv \overline{CM}$ と $\overline{BM}\equiv \overline{DM} を意味します。 $。
したがって、
$$\overline{AC} \perp \overline{BD}$$$\blacksquare$
結果として：
垂直な対角線を持つすべての平行四辺形はひし形です。
四角
正方形の概念は古代に遡りますが、その性質を著書『要素』で形式化したのはギリシャの数学者ユークリッドです。
定義: 凸平らな四角形は、4 つの合同な角と 4 つの合同な辺がある場合にのみ正方形です。
正方形 - 垂直で合同な対角線
非常に重要な正方形のプロパティは次のとおりです。
すべての正方形は長方形であり、ひし形でもあります
デモンストレーション：
平行四辺形の特性に加えて、長方形とひし形の特徴的な特性があることを覚えておく価値があります。
$ABCCD$ が正方形であるのは、$ABCCD$ が以下の平行四辺形である場合に限ります。
$$\overline{AC} \perp \overline{BD}\quad \text{e} \quad \overline{AC} \equiv \overline{BD}$$$\blacksquare$
まとめ
半分に切れる対角線を持つすべての凸四角形は、平行線になります。
半分に切れて合同な対角線を持つすべての凸四角形は、長方形になります。
半分に切れて垂直な対角線を持つすべての凸四角形は、ひし形になります。
半分に切れ、合同で垂直な対角線を持つすべての凸型四角形は、正方形です。
これは長方形、ひし形、正方形の概念についての簡単な紹介です。次の投稿をお待ちください。