オイラーの目
2024-06-14
「平行線図」
この投稿では、平行四辺形とそのプロパティがトピックの中心となります。平行四辺形は、向かい合う辺が平行な 4 つの辺を持つ四角形です。
導入
すべての平行四辺形には、サブセットとして長方形、ひし形、正方形があります。
定義: 凸平らな四角形は、その対辺が平行である場合にのみ、平行四辺形になります。
- $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DA}$ は並列です。
平行四辺形の一般的な概念
- 平行四辺形の対辺は合同です。つまり、寸法が同じです。
- 平行四辺形の対角は合同です (同じ測定値)。
- 平行四辺形の連続する角度は補助的であり、その合計は 180°です。
- 内角または外角の合計は 360° になります。
- 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点 (図の中央) で交差します。
ちょっとした歴史
数学における平行四辺形の歴史は、幾何学の進化と本質的に結びついています。平行な対辺を持つ四角形のような平行四辺形は、平面幾何学の基本的な図形です。
平行四辺形を含む四角形の導入は、基本的な幾何学から高度な幾何学への移行という数学的な旅における重要な瞬間を示しています。平行四辺形とその特性を研究することは、幾何学への理解を深め、他の複雑な幾何学図形を探索するための基礎を提供します。
平行四辺形の概念は、せん断変換などの幾何学的変換の開発にも重要な役割を果たしました。これらの変換は、幾何学的図形の形状や位置を特定の方法で変更する操作であり、これらの概念を説明するために平行四辺形がよく使用されます。
したがって、平行四辺形は単なる幾何学図形ではなく、数学の歴史と幾何学の発展における基本的な部分です。これは世界中の数学カリキュラムにおいて引き続き重要なテーマであり、生徒が幾何学原理をより深く理解するのに役立ちます。
日常生活での応用
平行四辺形には、さまざまな分野でいくつかの実用的な用途があります。
数学: 平行四辺形は、面積や周長の計算などの幾何学問題を解くために使用されます。
エンジニアリング: エンジニアリングでは、安定した構造を構築するために平行四辺形が使用されます。
建築: 建築家は、計画やプロジェクトを描くために平行四辺形を使用します。
地理: 平行四辺形は、地図や住宅計画を解釈するために使用されます。
これらは、平行四辺形の多くの実際的な応用例のほんの一部です。平行四辺形の特性を理解することは、これらの概念を現実の状況に適用するための基礎です。
合同な対角
定理: 対角は合同
- すべての平行四辺形では、任意の 2 つの対角は合同です。
- 対角が合同な凸四角形はすべて平行四辺形です。
デモンストレーション：
1 を証明するには、次のようになります。
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $$ABCD ~\text{ は平行四辺形 } \qquad\Rightarrow \qquad$$ | $$\hat{A}\equiv \hat{C}\quad \text{e}\quad \hat{B}\equiv \hat{D}$$ |
仮説によると、$ABCD$ は平行四辺形であるため、これは次のことを意味します。
$$\overleftrightarrow{AD} \parallel \overleftrightarrow{BC} \qquad\Rightarrow \qquad \hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$$$$\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD} \qquad\Rightarrow \qquad \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$$
したがって、$\hat{A}\equiv \hat{C}$、同様に $\hat{B}\equiv \hat{D}$ となります。
2 番目のプロパティを証明するには、次のようになります。
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $$\hat{A}\equiv \hat{C}\quad \text{e}\quad \hat{B}\equiv \hat{D} \qquad\Rightarrow \qquad$$ | $$ABCD ~\text{ は平行四辺形 }$$ |
仮説 $\hat{A}\equiv \hat{C}\quad \text{e}\quad \hat{B}\equiv \hat{D}$ によれば、これは次のことを意味します。
$$\hat{A} + \hat{B} = \hat{C} + \hat{D}$$$ABCD$ は四角形であるため、 $\hat{A} + \hat{B}+ \hat{C} + \hat{D} = 360^\circ$ であることを覚えておく価値があります。
結果として
$$\overleftrightarrow{AD} \parallel \overleftrightarrow{BC}$$$$\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$$
したがって、$ABCD$ は平行四辺形になります。
$\blacksquare$
結果として、次のようになります。
すべての長方形は平行四辺形です。
合同な対辺
定理: 対辺は合同
- すべての平行四辺形では、向かい合う 2 つの辺は合同です。
- 対角が合同な凸四角形はすべて平行四辺形です。
デモンストレーション：
1 を証明するには、次のようになります。
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $$ABCD ~\text{ は平行四辺形 } \qquad\Rightarrow \qquad$$ | $$\overline{AB}\equiv \overline{CD}\quad \text{e}\quad \overline{AB}\equiv \overline{CD}$$ |
仮説によると、$ABCD$ は平行四辺形、$\hat{B}\equiv \hat{D}$ であり、$\overline{AB}$ は平行な $\overline{CD}$ であるため、これは $B\hat{ を意味します。 A}C = D\hat{C}A$
したがって、 $\overline{AB}\equiv \overline{CD}\quad \text{e}\quad \overline{AB}\equiv \overline{CD}$
2 番目のプロパティを証明するには、次のようにします。
| 仮説 | 論文 |
|---|---|
| $$\overline{AB}\equiv \overline{CD}\quad \text{e}\quad \overline{BC}\equiv \overline{DA} \qquad\Rightarrow \qquad$$ | $$ABCD ~\text{ は平行四辺形 }$$ |
仮説によると、$ABCD$ は平行四辺形であるため、$\overline{AB}\equiv \overline{CD}$ と $\overline{BC}\equiv \overline{DA}$ が暗示されます。
$$\overline{AD} \parallel \overline{BC}$$$$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$$
したがって、$ABCD$ は平行四辺形になります。
$\blacksquare$
結果として、次のようになります。
すべてのひし形は平行四辺形です。
対角線を中点として使用
対角線を中点として
- すべての平行四辺形では、対角線はそれぞれの中点で交差します。
- 対角線がそれぞれの中点で交差する凸状の四角形はすべて平行四辺形です。
結果として、次のようになります。
2 つの直線セグメントがそれぞれの中点で交差する場合、それらの端は平行四辺形の頂点になります。
平行で合同な 2 つの辺
平行で合同な 2 つの辺
- 平行で合同な 2 つの辺を持つすべての凸四角形は、平行四辺形です。
- 2 つの線分が平行で合同であれば、それらの端は平行四辺形の頂点になります。
デモンストレーション：
合同の対辺と合同の対角の定理を使用するだけです。
したがって、$ABCD$ は平行四辺形になります。
$\blacksquare$
これは 平行四辺形 の概念についての簡単な紹介です。次の投稿をお待ちください。