在之前的文章中我们讨论了斯图尔特定理，这里我们将讨论正多边形中的周长关系。圆和正多边形之间的关系是几何学中一个令人着迷且复杂的话题。正多边形是具有全等边和角的几何图形，而圆可以看作具有无限条边的正多边形的极限情况。

当正多边形内接于圆时，它的每个顶点都与圆相切，并且多边形的中心与圆的中心重合。这样可以在圆的半径和多边形的尺寸（例如边和 边心距）（从中心到边的距离）之间建立精确的关系。

例如，在圆内切正方形的情况下，圆的直径等于正方形的对角线，通过应用毕达哥拉斯定理，可以找到正方形的边长与圆的半径之间的关系。对于正内接六边形，六边形的边等于圆的半径，因为六边形的每条边都等于从中心延伸到顶点的半径之一。

历史

欧几里得是对这一领域做出贡献的最早也是最有影响力的数学家之一，他的著作《几何原本》建立了许多公理和定理，用于理解圆内接和外接的正多边形的性质。他将圆划分为全等弧以及从这些弧形成正多边形的工作仍然是几何研究的基础。

另一位著名的数学家是佩尔加的阿波罗尼乌斯，他以圆锥曲线的研究而闻名，这也有助于理解多边形和圆之间的关系。他对椭圆、抛物线和双曲线性质的研究有助于发展将多边形与其外接圆联系起来的理论。

贡献 佩尔加的阿波罗尼乌斯

在伊斯兰世界，比鲁尼和奥马尔·海亚姆等数学家也做出了重大贡献。 Al-Biruni 开发了计算面积和体积的方法，包括正多边形的面积和体积，而 Omar Khayyam 致力于分类和求解三次方程，这对多边形的几何有直接影响。

近代，被誉为“数学家王子”的卡尔·弗里德里希·高斯做出了深刻影响几何学的发现。他的正多边形定理证明，如果数字 n 是 2 的幂和任何不同的费马素数的乘积，则可以用直尺和圆规构造正 n 边多边形。

Leonhard Euler 的著名定理 V-E+F=2（其中 V 是多面体的顶点数，E 是边数，F 是多面体的面数）也有助于理解不同几何尺寸之间的关系，该定理可应用于分析正多边形及其与圆的关系。

这些只是塑造我们对几何关系理解的众多数学家中的一小部分。他的贡献继续影响着当代数学，并激励新一代数学家探索几何的深度。

日常生活中的应用

外接正多边形是那些边与内圆相切的多边形。这种独特的特性使工程师和建筑师能够利用这些形状来优化空间并确保结构中力的均匀分布，从而确保结构的稳定性和安全性。

自古罗马以来，工程师就使用外接多边形来设计耐用的建筑物。如今，这种做法仍然具有现实意义，证明了数学知识的永恒性和重要性。理解这些概念对于解决需要精度和效率的实际问题至关重要，尤其是在工程和建筑领域。

应用这些原理的一个典型例子是在圆的帮助下计算正多边形的测量值，例如边和 边心距。这些测量值是根据内接圆周的半径确定的，有利于桥梁、塔楼和具有复杂几何形状的建筑物等结构的设计。

此外，多边形边长与内切圆半径之间的精确数学关系是精确计算周长和面积的基础，为安全高效的建筑设计提供有力的工具。例如，边数较多的多边形往往接近圆形，这对于需要形状平滑度的设计是有利的。

这些数学关系不仅仅是理论上的；而且是真实的。它们对日常生活有直接影响。例如，当设计轮子、齿轮，甚至在圆形空间中布置家具时，都会应用外接多边形的原理来达到最佳效果。

概念

具有全等边的多边形为 等边，如果具有全等角，则为 等角。

等边四边形 等角四边形

定义：凸多边形是正多边形当且仅当它具有所有全等的边 (等边) 和所有全等的角 (等角)。

正三角形 (等边) 正四边形（正方形）

特性

**定理：**当我们将圆分成$n$时，其中$n$大于或等于3，全等弧。所以：

1。由两个连续分割点确定的所有弦连接在一起，形成一个正多边形，其边长$n$内接于圆。 2。由分割点绘制的切线确定一个正多边形，其$n$边外接于圆周。

演示：

案例 1：

设$A$、$B$、$C$、$D$、$\dots$、$M$和$N$为圆$\lambda$的$n$分割点。多边形 $ABCD\dots MN$ 内接于圆。

这样，弧就全等了：

$$\stackrel{\frown}{AB} \equiv \stackrel{\frown}{BC}\equiv \stackrel{\frown}{CD} \equiv \stackrel{\frown}{DE} \equiv \dots \equiv \stackrel{\frown}{MN} \equiv \stackrel{\frown}{NA}$$

结果是：

$$\overline{AB} \equiv \overline{BC}\equiv \overline{CD} \equiv \overline{DE} \equiv \dots \equiv \overline{MN} \equiv \overline{NA}$$

事实上，就像在同一个圆中一样，全等弧与之前帖子中的全等和弦相同。

此外，角度$\hat{A}$、$\hat{B}$、$\hat{C}$、$\hat{D}$、$\dots$、$\hat{M}$和$\hat{N}$是全等的，因为它们中的每一个都内接于$\lambda$中。值得记住的是，这些角度的大小是圆所划分的全等弧 $(n-2)$ 的一半。

对于五边形，我们有：

$$\hat{A} = \frac{\stackrel{\frown}{BC}+ \stackrel{\frown}{CD} + \stackrel{\frown}{DE}}{2}$$

$$\hat{B} = \frac{\stackrel{\frown}{CD}+ \stackrel{\frown}{DE} + \stackrel{\frown}{EA}}{2}$$

$$\hat{C} = \frac{\stackrel{\frown}{DE}+ \stackrel{\frown}{EA} + \stackrel{\frown}{AB}}{2}$$

$$\hat{D} = \frac{\stackrel{\frown}{EA}+ \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC}}{2}$$

$$\hat{E} = \frac{\stackrel{\frown}{AB}+ \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{CD}}{2}$$

由多边形的边全等和多边形的角全等，我们知道多边形$ABCD\dots MN$与$n$边是正则多边形，并且内接于圆$\lambda$。

案例 2：

根据点$A$、$B$、$C$、$D$、$\dots$、$M$和$N$的划分，我们绘制圆$\lambda$的切线，并得到多边形$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，由圆周$\lambda$外接的$n$边的$\dots$、$M'$和$N'$。

从切线到圆的三角形是等腰三角形。

通过三角形 $ALA$ 的全等，并假定多边形 $ABCD\dots MN$ 是正多边形（部分 1），并且这些三角形的边全等，我们可以得到角全等、边全等的符号：

$$\hat{A'} \equiv \hat{B'}\equiv \hat{C'} \equiv \hat{D'} \equiv \dots \equiv \hat{M'} \equiv \hat{N'}$$

e

$$\overline{A' B'} \equiv \overline{B' C'}\equiv \overline{C' D'} \equiv \overline{D' E'} \equiv \dots \equiv \overline{M' N'} \equiv \overline{N' A'}$$

根据这两个结果，我们得出结论，多边形 $ABCD\dots MN$ 是正多边形，其边长为 $n$，并且内接于圆 $\lambda$。

$\blacksquare$

可写正多边形

每个正多边形都内接于一个圆

或者

给定一个正多边形，有一个圆穿过其顶点。

演示：

$\blacksquare$

可外接正多边形

每个正多边形都可外接圆

或者

给定一个正多边形，该多边形中有一个内切圆。

演示：

$\blacksquare$

注意事项

数学是一种通用语言，使我们能够理解周围的世界，正多边形和圆形之间的关系是一个完美的例子，说明简单的原理如何带来深刻的发现和广泛的应用。无论您是学生、专业人士，还是只是对几何感到好奇，关于这个有趣的话题，总有一些新的、有趣的东西值得学习。这里对“正多边形的周长比”做了一个小小的贡献，等待下一篇文章。