オイラーの目
2024-07-04
「内接角」
前回の投稿では、円弧のプロパティについて説明しました。さて、円に内接する角度について話します。内接角とは、頂点が円上にあり、辺が他の 2 つの点で円と交差するセカントである角度のことです。内接角の最も注目すべき特性は、その寸法が円周上の円弧の寸法の半分に等しいことです。
歴史
幾何学への最も重要な貢献の 1 つは、円に内接する角度の研究から得られます。この概念は、エンジニアリングやデザインなどのさまざまな分野で実際に応用されているだけでなく、数学的発見の豊かな歴史もあります。
内接角の最も注目すべき特性は、その寸法が常に円周上で交差する円弧の寸法の半分であることです。この性質は幾何学の根本的な発見であり、ユークリッドやアルキメデスなどの古代ギリシャの数学者によるものと考えられています。
何世紀にもわたって、多くの数学者が円周角についての理解を深めることに貢献してきました。たとえば、12 世紀にペルシアの数学者オマル ハイヤームは、放物線と円の交点を使用して 3 次方程式を解くことについて説明しました。これは、内接角の理解に依存するテクニックです。
概念の使用法
円に内接する角は幾何学の興味深い研究分野であり、その応用は教室をはるかに超えています。日常生活では、これらの数学的概念はさまざまな実践的および理論的活動の基礎となります。これらのアプリケーションのいくつかを検討し、内接角がどのように私たちの日常生活に組み込まれているかを理解しましょう。
ナビゲーションと地図作成
航海においては、海でも空でも、内接角を理解することが重要です。ナビゲーターはこれらの角度を使用して、基本的に球 (地球) を平面に投影した地図に基づいてルートと方向を計算します。内接角が地球の円周上の特定の円弧をどのように表すかを理解することで、2 点間の最も効率的な経路を決定できます。
アーキテクチャとエンジニアリング
建築家やエンジニアは、アーチやドームなどの円形要素を含む構造を設計するという課題に直面することがよくあります。内接角を使用すると、必要な正確な曲率と寸法を計算できるため、これらの構造は見た目が美しいだけでなく、安定性と安全性も確保されます。
テクノロジーとデザイン
ユーザー インターフェイスのデザイン、特にタッチスクリーン デバイスでは、内接角はノブやスライダーなどのインタラクティブな円形グラフィック要素の作成に役立ちます。これらの要素は内接角に基づいて、仮想円内の位置と動きを決定します。
アートと装飾
アーティストやデザイナーは、内接角の原理を利用して、完全な円形や円のセグメントを含む作品を作成します。これは、ジュエリー、タイルのパターン、さらには放射状の対称性と調和のとれたプロポーションを含むより複雑な芸術的構成に見られます。
スポーツと身体活動
スポーツでは、回転や回転を伴う動きの分析は、関係する角度を理解することで改善できます。たとえば、スケートボードや体操では、アスリートは本質的に円運動の一部である操作を実行します。これらの角度を理解することは、これらの動きの技術と実行を向上させるのに役立ちます。
教育と学習
教育において、円周角について教えることは、生徒を数学の実践的な応用に結びつける方法となりえます。実際の問題に基づいた学習プロジェクトを開発して、生徒を魅了し、数学が日常生活のさまざまな側面にどのように存在するかを示すことができます。
これらは、円に内接する角度の多くの応用例のほんの一部です。数学の美しさはその宇宙にあります。
内接角
定義 (円に対する内接角): は円上に頂点があり、辺が円に割られる角度です。
| 説明 | スキーム |
|---|---|
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内接角の測定
内接角は対応する中心角の半分です。
または
内接角の寸法は、対応する円弧の寸法の半分です。
したがって、次の定理が成り立ちます。
定理: $A\hat{V}B$ を測定値 $\alpha$ の内接角、$A\hat{O}B$ を測定値 $\beta$ の対応する中心角とすると、
$$\alpha = \dfrac{\beta}{2} \quad \text{or} \quad\alpha = \dfrac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}$$
デモンストレーション：
$A\hat{V}B$ を測定値 $\alpha$ の内接角、$A\hat{O}B$ を測定値 $\beta$ の対応する中心角とすると、3 つのケースを考えてみましょう。
| ケース 1 | ケース 2 | ケース 3 |
|---|---|---|
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- ケース 1:
$\overline{OV}\equiv \overline{OA}\equiv \text{ radius}$ は、三角形 $OVA$ が二等辺であることを意味することに注意してください。結果として、$\hat{A}=\hat{V}=\alpha$ r $\beta$ は三角形 $OVA$ の外角になります。
それでも $\beta=\hat{A} + \hat{V}=\alpha+\alpha=2\alpha$
すぐ、
$$\alpha =\frac{\beta}{2}=\frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}$$- ケース 2:
$\overrightarrow{VO}$ と円の交点 $A\hat{V}C=\alpha_1$, $A\hat{O}C=\beta_1$, $C\hat{ V }B=\alpha_2$, $C\hat{O}B=\beta_2$ となります:
ケース 1 から、$\beta_1=2\alpha_1$ と $\beta_2=2\alpha_2$ が得られます。
すぐ、
$$\alpha =\frac{\beta}{2}=\frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}$$- ケース 3:
$\overrightarrow{VO}$ と円の交点 $B\hat{V}C=\alpha_1$, $B\hat{O}C=\beta_1$, $A\hat{ V }B=\alpha_2$, $A\hat{O}B=\beta_2$ となります:
ケース 1 から、$\beta_1=2\alpha_1$ と $\beta_2=2\alpha_2$ が得られます。
したがって、
$$\alpha =\frac{\beta}{2}=\frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}$$$\blacksquare$
半円に内接する角度
| 説明 | スキーム |
|---|---|
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実際、内接角測定定理から $A\hat{V}B$ が $90^\circ$ で内接されるとします。
$$90^\circ = \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}$$したがって $\stackrel{\frown}{AB}=180^\circ$ となり、これは半円になります。
逆に、三角形を $AVB$ とすると、$A$ と $B$ が $\stackrel{\frown}{AB}=180^\circ$ の半円の両端であるとすると、$A\hat{V }B= 90^\circ$。
したがって、$V$ では三角形 $AVB$ は長方形になります。
すべての直角は半円に内接し、逆に、辺が端を通る半円に内接するすべての角度は直角です。
書き込み可能な四角形
頂点が円上にある四角形は、円に内接する四角形です。
命題 1: 凸四角形が円に内接する場合、対角は補角になります。
デモンストレーション：
$\lambda$ を円とします。角度 $\hat{A}$ と $\hat{C}$ が内接するので、次のようになります。
$$\hat{A} =\frac{\stackrel{\frown}{BCD}}{2}$$$$\hat{C} =\frac{\stackrel{\frown}{DAB}}{2}$$
したがって、次のことがわかります。
$$\hat{A}+ \hat{C}= \frac{\stackrel{\frown}{BCD}+\stackrel{\frown}{DAB}}{2}=\frac{360^\circ}{ 2} = 180^\circ$$$\hat{A}+ \hat{B}+ \hat{C}+ \hat{D} = 360^\circ$ であることに注意してください。これにより、次のように結論付けられます。
$$\hat{B}+ \hat{D}= 180^\circ$$$\blacksquare$
命題 2: 凸四角形が補足的な対角を持っている場合、それは内記できません。
デモンストレーション：
$ABCD$ を凸四角形とします。 $ABCD$ が信じられないほどではないと仮定すると、$\lambda$ は点 $A$、$B$、$C$ を通る円であると考えられます。この円は $D$ を通過せず、図に示すようなスキームが得られます。 。
直線$\overleftrightarrow{CD}$と$\lambda$の交点$E$に四角形$ABCE$が内接します。
$ABCE$ と刻印されているのは、
$$\hat{B}+ \hat{E}= 180^\circ$$$$\hat{B}+ \hat{D}= 180^\circ$$
三角形 $ADE$ の外角定理によれば、不合理な $\hat{D}\equiv \hat{E}$ が得られます。
$\blacksquare$
定理: 凸四角形が内接可能であるための必要十分条件は、補足的な対角を持つことです。
デモンストレーション：
命題 1 と 2 を使ってみましょう。
$\blacksquare$
解決された演習
- 72°の円周円弧があるとします。円周角の単位はどれくらいですか?
解像度: $ 36° = \frac{72°}{2} $ であるため、この円弧の範囲を定める内接角は 36° になります。
考慮事項
内接角は、幾何学の世界とその多くの応用への窓です。これらは、数学が理論的であるだけでなく、信じられないほど実践的であり、私たちの日常生活に関連していることを示しています。内接角を研究することで、私たちは心を開いて周囲の空間や形状をよりよく理解できるようになります。ここでは、円に内接する角度に少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。