「アーチのプロパティ」

前回の投稿では、外接可能なセグメントについて説明しました。ここで、円弧の性質について話します。

円の弧は、2 つの点で囲まれた円の一部です。円周は、平面内の中心点から等距離にあるすべての点のセットです。特性の 1 つは円弧の合同です。 2 つの円弧は、それらの中心角が一致する場合、合同です (つまり、寸法が同じです)。これは、たとえば、すべての辺と角度が等しい、円に内接する正多角形を作成する場合に便利です。

円弧のプロパティは、円弧の面積 (円の「スライス」) や円弧の長さを求めるなどの幾何学問題に適用されます。また、三角形の辺と角度の関係を研究する三角法のような、より高度な概念を理解するためにも不可欠です。

これらの特性を理解することは、数学的知識を豊かにするだけでなく、教室をはるかに超えた実践的な応用への扉を開き、私たちが周囲の世界と対話する方法に影響を与えます。

歴史

幾何学における最も基本的な図形の 1 つである円周円弧は、歴史を通じて数学者によって研究されてきました。そのそれぞれが、この完璧で本質的な形状についての現在の理解に貢献しています。

円弧の特性を詳しく研究した最初の数学者の 1 人は、紀元前 4 世紀のギリシャの哲学者、天文学者、数学者であるクニドゥスのエウドクソスです。エウドクソスは、比例理論への貢献と、その先駆者である消尽法で知られています。積分計算に。

さらに時代が進むと、ユークリッドやアルキメデスといった偉大な数学者の時代が到来します。「幾何学の父」と呼ばれることが多いユークリッドは、2,000 年以上にわたって主要な数学の教科書として機能する作品「Elements」を書きました。アルキメデスは、円周円弧を使用して面積と体積を計算し、今日私たちが積分計算として知っているものに近づきました。

ユークリッド	アルキメデス

ルネサンスでは、レオナルド・ダ・ヴィンチやアルブレヒト・デューラーなどの数学者が芸術作品や科学作品の中で円弧の特性を研究し、芸術と数学の深いつながりを実証しました。その後、17 世紀に微積分の出現により、アイザックニュートンやゴットフリートヴィルヘルムライプニッツなどの人物が円弧についての理解をさらに拡大し、円弧を物理法則や惑星の運動の定式化に適用しました。

レオナルド・ダ・ヴィンチ	レオナルド・ダ・ヴィンチアルブレヒト・デューラー

19 世紀に、ドイツの数学者ベルンハルトリーマンは、円弧に沿った積分の概念を導入しました。これは、複素解析の発展の基礎となる進歩です。そして 20 世紀には、デイヴィッドヒルベルトやアンリポアンカレなどの数学者が円弧の位相幾何学的な性質を研究し、計量空間と位相空間の現代理論への道を切り開きました。

デヴィッド・ヒルベルト	アンリ・ポアンカレ

合同な円弧

まず、合同な円弧について説明する前に、合同な円を定義します。

合同の円: 2 つの円は、半径が等しい場合に合同です。

これにより、合同の円弧を定義します。

合同な円弧: 中心 $O$ の円の 2 つの円弧 $\stackrel{\frown}{AB}$ と $\stackrel{\frown}{CD}$ が合同であるのは、角度 $A\hat{O}B$ と $C\hat{O}D$ は合同です。記号の場合:
$$\stackrel{\frown}{AB} \equiv \stackrel{\frown}{CD}\quad \Leftrightarrow \quad A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D$$

円弧の追加

円弧の追加: 中心 $O$ の円の場合、円弧 $\stackrel{\frown}{AB}$ は円弧 $\stackrel{\frown}{AC}$ との合計です $\stackrel{\frown}{CB}$ は、角度 $A\hat{O}B$ が角度 $A\hat{O}C$ と $C\hat{O}B$ の合計である場合に限ります。
$$\stackrel{\frown}{AB} = \stackrel{\frown}{AC}+\stackrel{\frown}{CB}\quad \Leftrightarrow \quad A\hat{O}B = A\hat{ O}C + C\hat{O}B$$

円弧の不平等

円弧の不平等: 中心 $O$ の円において、円弧 $\stackrel{\frown}{AB}$ が円弧 $\stackrel{\frown}{CD}$ より大きい場合、および角度 $A\hat{O}B$ が角度 $C\hat{O}D$ より大きい場合のみ。
$$\stackrel{\frown}{AB} > \stackrel{\frown}{CD}\quad \Leftrightarrow \quad A\hat{O}B > C\hat{O}D$$

中心角

円に対する中心角: は円の中心に頂点を持つ角度です。

定義: 中心 $O$ の円内で、中心角が円弧 $\stackrel{\frown}{AB}$ を決定する場合、次のように言います。

$\stackrel{\frown}{AB}$ は中心角 $A\hat{O}B$ に対応する円弧、または

$\stackrel{\frown}{AB}$ は、$A\hat{O}B$ によって囲まれた円弧です。

中心角と円弧の測定

円弧の合同、加算、不等号は、対応する中心角の合同、加算、不等号に対応して設定された。

円周上で単一の中心角によって円弧を定義します。円弧の寸法は、対応する中心角の寸法に等しい。

中心角と円弧の測定例

中心が $O$ の円の中に次のものが隣接します。

$m(A\hat{O}B) = 60^\circ$ の場合、$m(\stackrel{\frown}{AB})=60^\circ$、またはその逆 $$A\hat{O}B = 60^\circ \quad \Leftrightarrow \quad \stackrel{\frown}{AB}=60^\circ $$

$m(C\hat{O}D) = 150^\circ$ の場合、$m(\stackrel{\frown}{AB})=150^\circ$、またはその逆 $$C\hat{O}D = 150^\circ \quad \Leftrightarrow \quad \stackrel{\frown}{CD}=150^\circ $$

簡単にするために、円弧メジャーを $m(\stackrel{\frown}{AB})$ と書く代わりに、単に円弧 $\stackrel{\frown}{AB}$ として書きます。

シンボル学	幾何学模様
$$\beta = \stackrel{\frown}{AB}$$

解決された演習

$\stackrel{\frown}{AB}$ と $\stackrel{\frown}{CD}$ が円上の等しい長さの弧である場合、弦 $\overline{AB}$ と $ \overline{CD}$ は合同です。

解決：

$O$ を円の中心とし、三角形を $AOB$ と $COD$ とします。三角形の辺は等しいです。

実際には：

$$OA = OB = OC = OD = \text{半径}$$

さらに、ステートメントから、円弧 $\stackrel{\frown}{AB}$ と $\stackrel{\frown}{CD}$ が成り立つことから、角度 $A\hat{O}B$ と $C\hat{O}D$ は合同であることがわかります。眉をひそめるは合同です。

したがって、$LAL$ の場合 (辺角の辺)、三角形は合同です。

したがって

$$\overline{AB} \equiv \overline{CD}$$

数学は世界共通言語であり、円弧はその最も純粋な表現の 1 つです。その特性を発見した数学者の研究を研究することによって、私たちは数学について学ぶだけでなく、数学についても学ぶことができます。私たちは人類の歴史と、私たちの周囲の世界を理解したいという人類の飽くなき欲求について学びます。そして、円周弧の旅は、それが形成する曲線と同じように無限に続きます。ここではアーチのプロパティに少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。

オイラーの目